5.4奈奎斯特穩定判據15.4奈奎斯特穩定判據5.４.1特征函數F(s)=1+G(s)H(s)(1)開環頻率特性和閉環頻率特性之間的關系基本思想：利用開環頻率特性判別閉環系統穩定性。25.4奈奎斯特穩定判據閉環傳遞函數開環傳遞函數開環系統的特征方程式閉環系統的特征方程式特征函數35.4奈奎斯特穩定判據(２)

特征函數F(s)的特點：(1)F(s)的零點、極點分別為系統的閉環極點、開環極點；(2)F(s)的零點和極點個數相同(均為n)；(3)F(s)平面的坐標原點就是G(s)H(s)平面的點(-1，j0)。45.4奈奎斯特穩定判據由復變函數可知，對S復平面上除奇點外的任一點，經過特征函數F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到對應的象。設輔助函數的幅角為：

5.4.2幅角定理ImRe

0vF2F(s2)F(s1)F(s3)[F(s)]jws[s]

0s1()s2s3Γs55.4奈奎斯特穩定判據當s從s1開始沿任一閉合路徑Γs

(不經過F(s)的零點和極點)順時針旋轉一圈，F(s)的相角變化情況如下：(1)若特征函數的零點zj和pi極點沒有被曲線Γs包圍，則有：(２)若特征函數的零點zj和pi極點被包圍在曲線Γs里，則有：(順時針)(逆時針)65.4奈奎斯特穩定判據幅角定理：在s平面上任一封閉曲線包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，并且不經過F(s)的任一零點和極點，則當s沿閉合路徑順時針方向轉過一周時，映射到F(s)平面內的F(s)曲線逆時針繞原點（P

–Z）圈。即

R=P-Z75.4奈奎斯特穩定判據+j∞0+0--j∞0[s]［ＧＨ］０－１０［Ｆ］１R→∞5.4.3奈奎斯特穩定性判據85.4奈奎斯特穩定判據(1)幅角原理在閉環系統穩定性分析中的應用特征函數０［Ｆ］１［ＧＨ］０－１用曲線補足開環幅相頻率曲線，形成的奈奎斯特圍線，則有：Ｚ＝Ｐ－Ｒ閉環右極點個數開環右極點個數奈氏曲線圍繞(-1,j0)點的次數95.4奈奎斯特穩定判據a.若P=0，且Ｒ=0，即GH曲線不包圍（-1，j0）點，則閉環系統穩定；b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲線逆時針繞（-1，j0）點P圈，則閉環系統穩定，否則是不穩定系統。不穩定系統分布在s右半平面極點的個數可按下式求取：Z=P-Ｒc.若GH曲線通過（-1，j0）點L次，則說明閉環系統有L個極點分布在s平面的虛軸上。(2)奈奎斯特穩定判據閉環系統穩定的充要條件是：當w由－∞→＋∞變化時，G(jω)H(jω)曲線逆時針包圍[GH]平面上(-1，j0)點的次數R等于開環傳遞函數右極點個數P。Ｚ＝Ｐ－Ｒ105.4奈奎斯特穩定判據w2-1-0w=-￥w=￥wReIm解：本系統的開環頻率特性例:一系統開環傳遞函數為：試判別系統的穩定性。因為系統有一個開環極點位于s的右半平面，即：P=1。圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的1圈，即N=1。根據奈氏判據,閉環系統在s右半平面極點數Z=P-N=1-1=0，所以系統穩定。當變化時，系統的幅相曲線如圖所示。115.4奈奎斯特穩定判據+j∞0+0--j∞0[s]［ＧＨ］０－１０［Ｆ］１R→∞125.4奈奎斯特穩定判據0[s]+j∞0+0--j∞R→∞e→00[GH]0+w=+∞0-w=-∞135.4奈奎斯特穩定判據在極坐標圖中，閉環系統穩定的充要條件是：當w由０→＋∞變化時，G(jω)H(jω)曲線逆時針包圍[GH]平面上(-1，j0)點的次數Ｎ＝Ｐ／２；否則，閉環系統不穩定，且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ個右極點。145.4奈奎斯特穩定判據(2)由“正負穿越次數之差”來判斷G(jω)H(jω)曲線對稱實軸。應用中只畫0→+∞部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過(-1,-∞)段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用N(+)表示。負穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用N(-)表示。半次穿越：起始于或終止于(-1,-∞)段的負實軸的正、負穿越稱為正負半次穿越。ImRe0(-1,j0)半次穿越負穿越正穿越155.4奈奎斯特穩定判據在極坐標圖中，閉環系統穩定的充要條件是：當w由０→＋∞變化時，G(jω)H(jω)曲線對(-1，-∞)實軸段的正負穿越次數之差為N(+)-N(-)=Ｐ／２；否則，閉環系統不穩定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)-N(-)]個右極點。165.4奈奎斯特穩定判據175.4奈奎斯特穩定判據5.4.4對數幅頻特性上的奈奎斯特判據

極坐標圖

伯德圖

(-1,j0)點 0db線和-180相角線

(-1,-∞)段 0db線以上區域 因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點左邊的負實軸(-1,-∞)段，相當于在伯德圖中當L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線。185.4奈奎斯特穩定判據在對數頻率特性圖中，閉環系統穩定的充要條件是：當w由０→＋∞變化時，在開環對數幅頻特性L(ω)>0db的所有頻段內，對數相頻特性j(w)曲線對-1800線的正負穿越次數之差為N(+)-N(-)=Ｐ／２；否則，閉環系統不穩定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)-N(-)]個