在快樂中學習，在學習中快樂！PAGE -PAGE１-前言在科技飛速發展的時代，在人才聚集的時代，每個國家都愈來愈重視教育，我們國家也提出了“科教興國”戰略。鄧小平說：“科技是第一生產力”胡錦濤主席說：“我們要發展成為一個創新型國家。”然而數學的發展對一個國家的科技發展有著決定性作用。人們愈來愈認識到數學的重要性，也懂得數學早期培養的重要性。因此舉辦了很多內容豐富的數學競賽。其中奧林匹克就是一項很重要也很有用的活動。數學奧林匹克競賽能夠很好的開發孩子智力，激發學習興趣，增強邏輯思維，提高解決問題能力，培養學生創新能力，提高教師教學水平，促進教育改革等，為我國培養出更多更加優秀的人才。本叢書根據學生的智力發展規律，掌握的基礎知識能力，奧林匹克精神，結合生活實際和數學故事，以精講的形式結合方法點撥，思維引導，章節訓練進行編輯。將奧數知識分專題講解，并附帶數學故事，真正貫徹了在學習中快樂，在快樂中學習的精神。使得孩子喜歡學，自己學，學了就懂，學了會用的目的。本叢書共分為4冊，包括所有小學奧數專題知識，由易到難，逐層深入。作者希望同學們在使用本書后，能夠在奧數專題知識，解決問題能力上有一個新的提高，在解決問題方法上，有一個新的突破。參加本書編寫的都是長期在數學各種競賽輔導第一線的有豐富經驗的老師，為本書增添了不少光彩。讓我們積極的享受學習奧數的樂趣，積極的參與各種奧數競賽，為自己人生寫下美好一筆，為祖國增添光彩吧！目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章周期循環與數表規律 １蘋果樹下的例行出步 ３第二章倒推思想的應用 ４“＞”、“＜”和“=”的本領 ８第三章分數的計算與比較大小 ９淘氣的數字“3” ２０第四章分數與百分數的應用 ２２韓信點兵 ２６第五章比和比例 ２７測量金字塔的高度 ３５第六章雞兔同籠 ３６維納的故事 ４０第七章容斥原理 ４１數學王國的巾幗英雄 ４６第八章同倍率變化規律 ４８小熊鋸木頭 ５０第九章工程問題 ５１狐貍賣蛋 ５５第十章綜合行程 ５７蝴蝶效應 ６７第十一章數的整除 ６８動物中的數學“天才” ７２第十二章質數與合數 ７３數學家的遺囑 ７８第十三章約數與倍數 ７９麥比烏斯帶 ８６第十四章幾何面積 ８７一個故事引發的數學家 ９５第十五章不定方程 ９６為科學而瘋的人 １０１第十六章簡單方程 １０２數學家的“健忘” １０６普數奧數公式一覽 １０７第一章周期循環與數表規律生活中很多事物呈周期性變化，如一個星期7天，到第8天又是星期一，如此周而復始。又如分數=0.142857142857…=可以寫成無限循環小數，循環節為6位，也就是說，將寫成小數，在小數點后142857這六個數反復出現無窮循環，這也是一種周期問題。在具有周期現象的問題中，如能發現周期性，常能使看來復雜的問題輕易解決，例如求下列算式的和2002+2001-1999-1998+1997+1996-1995-1994+1993+……+6+5-4-3+2+1=2002+（2001-1999-1998+1997）+（1996-1995-1994+1993）+……+（5-4-3+2）+2002+0+0……+0+1=2003.我們發現，從2001開始，從左到右每4個數的代數和均為0，從而使2002個數的加、減運算實際上變成2002+1這兩個數的和，問題大大的簡化了。解決周期性問題的關鍵在于發現周期。周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。關鍵問題：確定循環周期。閏年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；例1在循環小數中，移動循環節的前一個小圓點，使得新的循環小數的第100位數字是5，問新的循環小數是什么？解：顯然，前一個小圓點的位置應使“5”被包含在循環節中，用枚舉法討論，如果前一個小圓點加在“5”的上面，則循環節為3位數567.（100－4）÷3=32，到第100位數恰好用去32個循環節，第100位數字是7；如果前一個小圓點加在“4”的上面，則循環節為4位數4567.（100-3）÷4=24…1到第100位數字恰好用去24個循環節（4567）加1位，故第100位數字為4.如果前一個小圓點加在“3”的上面，則循環節為5位數34567，（100-2）÷5=19……3，到第100為恰好用去19個循環節，并在第29個循環節內從左到右數3為，正好是5，所以新的循環小數為。例2四盞燈（如圖）組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色……這樣一直進行下去，開燈1小時后四盞燈的顏色排列是什么形式的？解：如圖，每換四次，即每隔兩分鐘，四盞燈的顏色排列重復一次。因為1小時是30個兩分鐘，所以開燈1小時后四盞燈的顏色排列與開始是相同。例3我國農歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動物按順序輪流代表各年的年號。已知2000年是龍年，問2100年是什么年？.C解：2000年和2100年相差了2100-2000=100(年),如果用蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬、鼠、牛、虎、兔、龍作為一周期的話,那就是100÷12=9(個)4(年),第個9周期的最后一年是龍年,應為還多4年,所以2100年是猴年.習題1.將分數化成小數后，小數小數點后第110位上的數字是多少？2.甲、乙、丙三名學生，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶。甲第一次取奶是星期一，他第100次取奶是星期幾？3.N是1、2、3、…、1995、1996、1997的最小公倍數，N等于個2與一個奇數的積。4.參加運動會開幕式的旗手在運動場排成一行，首先從左向右1至3報數，最右端的旗手報2；然后從右向左1至4報數，最左端的旗手報3.兩次都報1的旗手12人，共有多少旗手？蘋果樹下的例行出步

1884年春天，年輕的數學家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關系．他們這三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步．希爾伯特后來回憶道：“日復一日的散步中，我們全都埋頭討論當前數學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃．”在他們三人中，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎知識，又經過很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服．當時希爾伯特發現，這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續了整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數學的“每一個角落”，考察著數學世界的每一個王國，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結成了終身的友誼．”

第二章倒推思想的應用從前有一位老奶奶賣雞蛋，第一次賣了全部雞蛋的一半又加半個；第二次賣了余下的一半又加了半個；第三次賣了第二次余下的一半又加了半個，此時她還剩下一個雞蛋。問老奶奶原有雞蛋幾個？在這個問題中，我們發現直接從已知條件下手很難解決問題，那么我們不防換種思維方式，從結論入手進行倒推，然后得出想要的結果。我們可以用倒推思想這樣想：第二次賣蛋后剩下的雞蛋個數為2×（1+）=3（個）；第一次賣蛋后剩下的雞蛋個數為2×（3+）=7（個）；原來有的雞蛋個數為2×（7+）=15（個）。這樣我們把問題很容易的解決了，那么我們可以再思考一下以后遇到類似的問題是否可以用相同的方法呢？那么我們現在來看看其它情況是否可以用這種方法解決問題.例1甲、乙、丙三堆石子共196塊，先從甲堆分給另外兩堆，使得這兩堆石子數量分別加一倍；再將乙堆照樣分配一次；最后將丙堆也照樣分配一次。結果丙堆的石子為甲堆石子的，問原來三堆石子中最少的一堆石子有多少塊？解：依題意，倒回去考慮。由于分配最后結果是丙堆的石子為甲堆石子數的，因此不妨設第三次分配后，丙堆有石子塊，甲堆有石子塊，那么乙堆有石子（塊）。第二次分配后（即丙將自己石子分給甲、乙，使他們石子數增倍前），此時甲堆有石子塊，乙堆有石子塊，丙堆有石子塊；第一次分配后（即乙將自己石子分配給甲、丙，使他們的石子數增倍前），甲堆有石子，乙堆有石子塊，丙堆有石子塊，因此原來（即在甲將自己的石子分配給乙、丙，使他們的石子數增倍前）三堆的石子數甲堆有（塊），乙堆有（塊），丙堆有（塊）。在倒推中知為正整數，從而推知為小于7的正偶數，即、4.當時，三堆石子數不是整數，所以，從而甲、乙、丙三堆原來的石子數依次為109、60、27塊。最少一堆為丙堆，共有石子27塊。例2“貓捉老鼠”，如圖所示是一個的方格棋盤，有兩個棋子“貓”和“鼠”分別放在棋盤的圓圈中。開始時，貓在棋盤左上角，鼠可在棋盤圓圈中的任意位置。游戲規則是：棋子每一次移動可以從一圓圈沿直線移動到相鄰的圓圈（不允許輪到一到那個時呆在原地不動），兩個棋子輪流移動，請問按此規則貓是否一定能“捉到”老鼠？解：我們先將棋盤上24個圓圈安黑白兩色相同染色，此時與黑圈相鄰的必為兩個白圈、與白圈相鄰的必為兩個黑圈。貓要捉到老鼠時，老鼠的位置必與貓相鄰且輪到貓移動，此時貓、鼠所占的圈色必為異色。倒退一步想，在此前一步應為老鼠移動，此時老鼠所在圓圈的顏色必與貓所在圓圈同色。由此推想，只要在老鼠移動后，下一步貓能確保移動到與老鼠同色的位置上即可。為此，貓可暫時不管鼠如何移動，先“占領”A圈（現在為黑圈），此時C圈為白圈、B圈為黑圈，然后伺機而動。若老鼠移入白圈，則貓由A移入C圈與老鼠同色；若老鼠移入黑圈，則貓由A移入B也與老鼠同色，然后緊追不舍（每次所占圓圈與老鼠同色）就可以捉住老鼠了。例3甲、乙兩個油桶各裝了15千克油，售貨員賣出了14千克從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶，使得乙桶油增加1倍；然后從乙桶倒一部分油給甲桶，使甲桶油也增加1倍。這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍，問售貨員從兩個桶里各賣了多少公斤油？解：賣前共有油30千克，賣出14千克后還有16千克油，最后甲桶油是乙桶油的3倍，因此甲桶有油（千克），乙桶有油（千克）。下列表依題意倒退推回去：甲桶乙桶乙桶倒給甲桶后124甲桶倒給乙桶后610甲桶倒給乙桶前115所以甲桶賣出（千克），乙桶賣出（千克）。例4一輛科學考察車要穿越人煙稀少地區，必須行駛414千米，汽車只能裝90升油，剛夠行駛270千米。司機決定出發前先運一些油貯存在路上，經計算知要設立兩個貯油站，問這兩個貯油站應設在什么地方，使耗費的汽油最少？解：如右圖，O表示起點，P表示終點。汽車一次能行駛270千米（需裝油90升），設一個貯油站在B點，使BP=270（千米），于是問題轉化為怎樣將90升油運到B處。由于OB=414－270=144（千米），因此在OB間必須另設一個貯油站A，由A向B運送90升油貯存起來。為此汽車需在A貯存油180升，其中90升運往B點貯存起來，90升消耗在AB的路上。先從A到B，又從B返A，再從A到B，全長3AB。3AB=270，所以AB=270÷3=90（千米），即A在OB間距B90千米處，從而OA=144-90=54（千米），跑54千米耗油54÷3=18（升）。每次往返可在A點貯油90-2×18=54（升），貯油180升需往返2次后，再往A點跑一次。這樣總共耗油分三段，OA段耗油5×18=90（升），此時A點已貯油180升；AB段耗油90升，使B點貯油90升；BP點耗油90升，考察車到達終點，共計耗油90+90+90=270（升）。習題一、填空題：1.將一個數做如下運算：乘以4，在加上112，減去20，最后除以4.這時得結果100，這個數是。2.兩個兩位數之和為198，這兩個兩位數分別是。3.已知3個互不相同的自然數之和為55，其中每兩個數之和分別是完全平方數。這三個自然數分別是。4.兩個兩位質數之和是66，這兩個兩位數質數是。5.小明在計算某數除以3.75時，把除號看成了乘號，得結果225.這道題的正確答案是。二、解答題6.一次考試后，小張向李軍外語考試得多少分，李軍回答說：“用我得的分數減取8加上10，再除以7，隨后乘以4，得56”7.一群螞蟻搬家，原有一堆食物，第一次運出的比全堆的一半少120克，第二次運出的量比剩下的一半多100克，第三次運出480克。這時窩里還有280克，問窩內原有多少食物？8.籃子里有一些雞蛋，小明取走的比總數的一半多1個，小李取走的比余下的一半多1個，小軍取走的比小明取走后剩下的一半多1個。這時籃子里剩雞蛋1個，問籃子里原來有雞蛋多少個？9.兩人做一個移火柴的游戲，比賽的規則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1到7根火柴，直至移盡為止，輪到誰移走最后一根就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，問首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝？10.500名士兵排成一列橫隊，第一次從做到右1、2、3、4、5（1至5）報數，第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數，問既報1又報6的士兵有多少名？“＞”、“＜”和“=”的本領

很久很久以前，數學王國里亂糟糟的，沒有任何秩序。0~9十個兄弟不僅在王國中稱王稱霸，而且他們彼此之間總是吹噓自己的本領最大。數字天使看見這種情況很生氣，于是就派“＞”、“＜”和“=”三個小天使到數學王國，要求他們一定要讓王國變得有秩序起來。

三個小天使來到了數學王國，0~9十兄弟輕蔑地盯著他們，“9”問道：“你們三個是干什么的？我們的王國不歡迎你們。”

“=”天使笑了笑說：“我們是天使派到你們王國的法官，幫助你們治理好你們的國家。我是‘等號’在我兩邊的數字總是相等的；這兩位是‘大于號’和‘小于號’他們開口朝誰，誰就大，尖尖朝誰，誰就小。”

0~9十兄弟一聽他們是數字天使派來的法官，以及“=”的介紹，都乖乖地服從“＞”、“＜”和“=”的命令。

從此以后，數學王國越來越強盛，而且有著十分嚴格的秩序，任何人都不會違反。

小朋友們，你們說“＞”、“＜”和“=”的本領大不大呢？第三章分數的計算與比較大小一．分數的計算分數計算是小學數學的重要組成部分也是日常生活種經常遇到的問題，因此學好分數計算不僅是我們的任務更是我們的實際需要。分數計算同整數計算一樣，即有知識要求又有能力要求。法則、定理、性質是進行計算的依據。要使計算快速、準確，關鍵在于掌握運算技巧。對于復雜的分數運算題，常用的方法和技巧是通分、約分、湊整、分解、分析等。例1計算解：原式=（19+9+7+3+8+4）+（）=50+===50+1－=例2計算分析可以清楚地看到分子的括號部分與分母可以通過乘法意義轉化成同一個算式，從而使計算簡便。解：原式====1999.例3計算分析：若按部就班，計算的復雜性是可想而知的。通過觀察，3.6=，。因此在第一個括號中，可以把提取出來，再計算。解：原式=====10例4計算解：仔細觀察，可以發現每個分數都可以約分，于是原式====例5計算。分析把相同的算式用同一個字母表示，先進行字母運算，得到最簡單的字母表達式代入，這是常用的一種巧妙的方法。解：令，。原式=（1+B）×A－（1+A）×B=A+AB-B-AB=A-B。所以原式===。例6計算（。分析由于99=33×3=11×9，因此可以把兩個括號內的數分拆成整數與分數的和，這樣就有公因數（1+3+9）。解：原式====。習題一1.計算2.計算3.計算4.計算5.計算6.計算7.有30個數：1.65，1.65+，，…，，。如果取每個數的整數部分，并將這些數相加，那么其中和是多少？8.計算9.計算10.計算二．比較大小與估算1.比較大小方法點撥：比較兩個分數的大小，有兩種基本方法。第一種是：如果兩個分數分母相同，分子大的分數較大；第二種是：如果兩個分數分子相同，分母小的分數較大；或者統一分母，或者統一分子進行比較。另外還有其它特殊方法，例如，相減做差比較法，如果差大于0，那么減數就小于被減數，否則，減數大于被減數；相除做商法，如果商大于1則被除數大于除數，否則，被除數小于除數；交叉相乘法比較，分數和（b，d都大于0），如果,那么；倒數比較，倒數大的分數小于倒數小的分數；化為小數或循環小數比較等等。例1分數、、、、中，哪一個最大？分析這五個分數的分子和分母都不想同，如果統一分母，顯然計算量大。統一分子，可以看出分子的最小公倍數是，于是統一分子后比較好算。解：把五個分數的分子變成相同的則，，，，，根據分數的性質，分子相同的分數，分母小的分數大，所以這五個分數中最大的分數是。例2比較和的大小。分析這兩個分數的分子和分母都很接近，且都相差2.先分別求出和為1的另一個分數，比較兩個分子相同的分數，再比較原來的兩個分數。解：因為，，而，所以，即。例3若，，比較與的大小。解：由于這兩個分數的分子都是1，只要比較這兩個分數分母的大小就可以了。分數B的分母為：=19982+1997（1997-1998）=19982-1997=19982-1998+1與分數A的分母相同，所以分數A與分數B的大小相等。例4在下列方框內填兩個相鄰的整數，使不等式成立。□﹤﹤□。解：因為，所以==﹤==3因此上面兩個方框內應分別填2和3，即,﹤﹤例5設，求N的整數部分。解：令，，，則，，所以，。又，即，所以，從而。所以N的整數部分是20009。例6設A是一個整數，求A，使得下面等式成立。，因為，而====。所以。故A=2習題二一．填空題1.比較大小：2.比較大小：3.比較大小：4.比較大小：5.比較大小：6.比較大小：7.比較下列五個數的大小（按從大到小排列）：，，，，。8.在、、、、中最大的數是。9.A=12345678910111213÷312111101987654321，A的小數點后的前3位數字是。10.求的整數部分是。11.求的整數部分。12.有一個分數，分母加上某數，而分子減去此數的2倍，分數值變為，求此數。2.估算與取整某校師生為貧困地區捐款1995元。這個學校共有35名教師，14個教學班。各班的學生人數相同，且不少于30人，不超過45人。如果平均每人捐款的錢數是整數，那么平均每人捐款多少元？解決這個問題的關鍵點是根據題目所給的班級學生人數的范圍，先求出平均每人捐款錢數的范圍，然后再依據其他條件確定所求的整數值。方法點撥：用估算法求整數值是一種非常靈活的思想方法，它所涉及的問題面很廣泛，常常需要我們因題而宜地解決問題具體分析找到合適的揭露，當然它的基礎仍是運用各種運算法則與技巧進行快速的近似計算。首先估算出（或判斷出）問題解所在的數值范圍，進而在此范圍內依題目的條件確定整數解。例1某校師生為貧困地區捐款1995元。這個學校共有35名教師，14個教學班。各班的學生人數相同，且不少于30人，不超過45人。如果平均每人捐款的錢數是整數，那么平均每人捐款多少元？解：依題意有30×14+35=455（人）≤全校師生總數≤45×14+35=665（人），所以1995÷665=3（元）≤平均每人捐款≤1995÷445=（元）。由于平均每人捐款數應為1995的約數，因為4不是1995的約數而3是1995的約數，所以平均每人捐款3元。說明：解決此題的第一步是依班級人數的范圍（30≤每班人數≤45），估計出平均每人捐款的范圍（3（元）≤平均每人捐款范圍≤（元），在此范圍內的整數有3與4.第二步，由該整數應為1995的約數，排除4得到3.例2有一列數，第一個數是105，第二個是85，從第三個開始，每個數都是它前面兩個數的平均數，那么第19個數的整數部分是幾？分析根據平均數的概念知，該數值介于被求“平均”兩數之間，我們知道，隨著求平均數的增加，所得平均數值的范圍會逐漸變窄，從而其整數部分將逐漸“穩定”。解：第三個數=（105+85）÷2=95.第四個數=（85+95）÷2=90，第五個數=（95+90）÷2=92.5，第六個數=（90+92.5）÷2=91.25，第七個數都在91.25與91.875之間。所以這些數的整數部分都是91，故第19個（平均）數的整數部分為91.例331.719×1.2798的整數部分是幾？用放縮法估算：31.719×1.2798﹥31.7×1.27=31.7+31.7×0.27=31.7+31.7×0.2+31.7×0.07﹥31.7+31.7+6.3+2=40①，又31.719×1.2798﹤32×1.28=40.96﹤41.因此所求整數部分是40.說明：在利用放縮法時，在舍位或進位（以便簡化計算）時，“步伐”應盡可能的小，以便使所得結果盡可能接近“真值”。①中的放縮分了很多步，目的為此。例4已知，問的整數部分是多少？解：===。因為﹤﹤，即1﹤﹤﹤﹤2，所以的整數部分是101.例6今有長度分別為1厘米、2厘米、3厘米……、9厘米長的木棍各1根（規定不許折斷），從中選用若干根組成正方形，可有多少種不同方法。解：由于（1+2+3+4+…+9）÷4=11.25﹤12，這說明最大的正方邊長≤11.用枚舉法分別討論。邊長為11的四邊為9+2=8+3=7+4=6+5，有一個正方形；邊長為10的四邊為9+1=8+2=7+3=6+4，有一個正方形；邊長為9的四邊為8+1=7+2=6+3=5+4=9，用這5種組合可組成5個不同的正方形；邊長為8的四邊為7+1=6+2=5+3=8，有一個正方形；邊長為7的四邊為6+1=5+2=4+3=7,有一個正方形。顯然，不存在邊長≤6的正方形。所以，共可組成1+1+5+1+1=9個正方形。習題1.在下列方框中填兩個相鄰的整數，使不等式成立：□﹤﹤□2.分數和的整數部分是。3.小明家住在一條小胡同里，各家的號碼從1號連續排下去，全胡同所有家的號碼之和再減去小明家的號碼是60，小明家的號碼是。4.一本書的頁碼是連續的正整數1、2、3，…，當將這些頁碼加起來的時候，某個頁碼加了兩次，得到不正確的結果為1991.這個被加了兩次的頁碼為。5.在1、、、…、、中選出若干個數，使得它們的和大于3，至少要選個數。淘氣的數字“3”自然數家族中最調皮的要算數3了。由于他個頭長得比較矮，大家都親切地叫他“小3”。

小3走路從都不好好走。他走起路來連躥帶蹦，餓時身體往前走眼睛卻往后瞧。

這一次，小3又歪著腦袋一溜煙地往前跑，“咚的一聲和一位白胡子老爺爺撞了個滿懷。

白胡子老爺爺于；“小3，你又到處亂跑，撞了車碰了人多不好。”

小3不以為然地說：“撞一下沒事，到處跑一跑多自地呀！”

“沒事？從現地起你再撞著誰，異將和誰作一次乘法，不信，你異撞去吧。”白胡子老爺爺用手指了一下小3，異不見了。

“撞著誰就和誰作一次乘法？嘻嘻，這倒挺好玩，我要撞一撞，試一試。”小3說完就往前跑。

遠遠看見數2坐地一塊石頭上，小3低頭朝數2猛撞過去。只聽“咚”的一聲響，地上冒起一股白煙。白煙過后數2沒了，小3也沒了，坐地石頭上的卻是數6，小3呢？原來小3和數2被一個乘號“×”緊緊箍地一起，變到數6的肚子里去了，2×3=6.

數6站起來拍了拍褲子上的土，朝偶數村走去。小3一看數6往偶數村走，就著急了。他喊道：“不對，走錯方向了，我不住地偶數村，我是奇數，我住地奇數村。”

數2說；'你嚷嚷什么！誰讓你撞我，和我作乘法來著。任何一個奇數只要和我數2相乘，立刻就變成偶數。”

小3驚奇地說：“你那么厲害？如果偶數和你作乘法呢？”

“偶數和我數2相乘，當然還是偶數。一句話，任何一個自然數和我相乘，都將變成為偶數。”

小3唉求說：“數2幫幫忙，你是偶數，我是奇數，咱倆沒關系，咱倆一起使勁，掙脫開這個乘號吧。”

數2搖搖頭說：“不對！誰說咱倆沒關系？你好好想一想，你小3除了是奇數，還是什么數？”

小3想了一下說：“我除了是奇數，還是個質數。你知道什么是質數嗎？質數就是除了能被1和它本身整除外，再不能被其他自然數整除的那種自然數。1除外，1不算質數。”數2說？“我也是質數呀，和你是一家子。”“騙人！我有許多質數朋友，比如5、7、11等等都是奇數。你數2是偶數，怎么會是質數呢?”

“是不是質數，應該用質數的定義來衡量。我數2除了能被2和1整除外，不能再被其他自然數整除，當然是質數婁。”

小3想了想說：“對！你符合質數定義，你是質數。”

“我是質數中唯一的偶數，也是最小的質數。”

“對！”

“我還是自然數家族中最小的偶數。”

“騙人！最小的偶數是零。”

“零雖說比我小，但是零不是咱武自然數家族中的成員啊！”

小3恍然大悟，點點頭說；“對！零不是自然數，自然數是從1開始的。”

“一、二、三！”小3向數2招招手說；“再見了，自然數家族中最小的質數，最小的偶數。”

小3又開始跑了，他一面跑一面想數可撞不得！一撞偶數，就變成偶數了，可就回不了奇數村啦。

小3只顧想事，一不留神和數5撞地一起，一股白煙過后，3×5變成了15。

小3高興地說：“撞上奇數可沒事，三五一十五，結果還是一個奇數，一點沒變。”

數5嘟囔地說：“什么一點沒變啦！你數3是著述，我數5也是質數，咱倆相乘變成了15，15可不是質數。”

小3一摸后腦勺說：“對呀！和一個不是2的質數相乘，雖說乘積還是個奇數，但是已經不是質數了。唉！說真的，咱倆相乘之后變成了什么數了？”

數5說：“咱倆相乘得15，這15除了可以被1和本神整除，還能被你—3，我—5整除，這樣的自然數叫合數。”

“變成合數了，那我可不干。”小3使勁掙脫了乘號，又低頭猛跑。“咚”的一聲，又撞到了一個數。

一股白煙過后，小3搖了搖腦袋發現自己并沒變，還是數3.怪呀！我明明撞上了一個數，怎么沒發生變化呢？難道是地作夢？

只聽一個數地自己肚子里說：“你撞著我了。”

“你是誰？”

“我是1呀！”

“噢，我想起來了。”小3說，“任何一個自然數和1相乘，還得原來的數。數1這個性質真奇特。”

小3連躥帶蹦又往前跑，眼看就要撞上站地前面的一個數了，突然，一個人把他拉住了：“不能撞他，危險！”

小3一看，拉他的人正是那個白胡子老爺爺。小3不服氣地說：“為什么不能撞？偶數、奇數我都撞過，他有什么了不起？我偏要撞。”說完又低頭往前沖。

白胡子老爺爺說：“你看看他是誰？待前面的數一回頭，把小3嚇了一跳，原來他是數0。

白胡子老爺爺說：“0和任何數相乘都得0.你如果冒冒失失地一頭撞到0的身上，和0作乘法，可就永遠變成了0，再也看不見你這個小3了。”

小3聽了這番話，嚇得出了一身冷汗。他趕緊向白胡子老爺爺一鞠躬說：“感謝您救了我一條命，我今后再也不到處跑了。老爺爺，您到底是誰呀？”

“闖一闖也好，使你他了不少見識，對自然數的乘法有了更深的了解。不過，你還要認真地讀書和學習，才能不斷地進步。你要問我是誰呀？你來看。”一股白煙過后，出現了一本很大的數學書。啊！白胡子老爺爺原來是數學書變的。第四章分數與百分數的應用一、基礎知識：百分數應用題中最基本的問題是：求一個數的幾分之幾是多少？解法：這個數×分率=分率所對應的量。已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數？解法：分率所對應的量÷分率=這個數。幾分之幾總是對于某個標準量而言的，也就是說，是“誰的幾分之幾”，這里“誰”是整體“1”。在解決分數應用題時，明確整體“1”非常關鍵，否則就要出錯。例1水果店運來一批橘子和蘋果，其中橘子重量占總重量的，橘子比蘋果少1440千克，運來橘子多少千克？解：①蘋果重量占總重量的幾分之幾？③總重量是多少千克？④運來橘子多少千克？例2有兩袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再從甲袋倒入乙袋6千克，這時甲袋的米相當于乙袋的。問原來兩袋米各有多少千克？解：①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少幾分之幾？③倒米后乙袋有米多少千克？④原來乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原來甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．例3一本書，已看了130頁，剩下的準備8天看完．如果每天看的頁數相等，3天看的頁數恰好是全書的。這本書共有多少頁？解：（頁）答：這本書共有330頁。例4奶奶賣了一些蘋果，第一天吃去又個，第二天吃去剩下的又個，第三天吃去再剩下的又個，這時剩下3個蘋果問奶奶買了多少蘋果？每天各吃了幾個蘋果？解：共買蘋果：答：奶奶共買蘋果11個，第一天吃蘋果4個，第二天吃蘋果2個，第三天吃蘋果2個。習題1、一本故事書共有120頁，第一天看完了全書的，第二天看完了余下的頁數的，剩下的第三天看完，第三天看了多少頁?2、一個書架有上下兩層，共有書287本。已知上層書本數的等于下層本數的，這個書架上、下層各有多少本？3、某小學六年級選出男生的和12名女生參加數學競賽，剩下男生人數是剩下的女生人數的2倍。已知這個學校六年級學生共有156人，男生各有多少人？4、食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1公斤，剩下的油，第二天又吃掉一半多2公斤，再剩下的油第三天又吃掉一半多才多3公斤，最后桶里還剩下2公斤，問桶里原來有多少公斤的油？5、李大娘養的雞關在東西兩個院內。已知東西院內養雞40只；現在把西院養雞的賣給商店，賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其中恰好等于原來東、西院養雞總數的一半。原來東西院一共有多少養雞多少只？6、某校四、五、六三個年級共有學生618人，其中五年級人數比四年級人數多，六年級比五年級少，求各年級人數。7、原計劃10天完成一批錄音機的組裝任務，由于工人們的努力，每天比原計劃多組裝6臺，因此實際只用了原計劃天數的就完成了任務。這批錄音機有多少臺？8、小明讀一本小說，第一天讀了全書的，第二天又讀了余下的，這時還有42頁沒有讀完。這本小說共有多少頁？9、五（2）班全班同學都參加了數學和作文課外小組，參加數學小組的占全班人數的，參加作文小組的占全班人數的56%，同時參加數學和作文的有8人。求全班有多少人？韓信點兵韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數。我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」答曰：「二十三」術曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。第五章比和比例在應用題的各種類型中，有一類與數量之間的（正、反）比例關系有關．在解答這類應用題時，我們需要對題中各個量之間的關系作出正確的判斷．成正比或反比的量中都有兩種相關聯的量．一種量（記作x）變化時另一種量（記作y）也隨著變化．與這兩個量聯系著，有一個不變的量（記為k）．在判斷變量x與y是否成正、反比例時，我們要緊緊抓住這個不變量k．如果不變量K是變量y與x的商，即在x變化時y與x的商不變：，那么y與x成正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時，y與x的積不變：xy＝k，那么y與x成反比例．如果這兩個關系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例．下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始．例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程與時間．②路程一定，速度與時間．③路程一定，已走的路程與未走的路程．④總時間一定，要制造的零件總數和制造每個零件所用的時間．⑤總產量一定，畝產量和播種面積．⑥整除情況下被除數一定，除數和商．⑦同時同地，竿高和影長．⑧半徑一定，圓心角的度數和扇形面積．⑨兩個齒輪嚙合轉動時轉速和齒數．⑩圓的半徑和面積．(11)長方體體積一定，底面積和高．(12)正方形的邊長和它的面積．(13)乘公共汽車的站數和票價．(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數．(15)汽車行駛時每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量．分析以上每題都是兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關鍵是能否把兩個相關的變量x、y用或用xy=k來表示，其中k是定量，如果不能寫出這兩種形式，或只能寫出加減法關系，那么這兩種量就不成比例．例如①×零件數＝總時間，總時間一定，制造每個零件用的時間與要制造的零件總數成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時間之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小時3千米，問此人走完全程用了多少時間？分析要求此人走完全程用了多少時間，必須根據已知條件先求出此人走上坡路用了多少時間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：走上坡路用的時間：上坡路所用時間與全程所用時間比：走完全程所用時間：例3一塊合金內銅和鋅的比是2∶3，現在再加入6克鋅，共得新合金36克，求新合金內銅和鋅的比？分析要求新合金內銅和鋅的比，必須分別求出新合金內銅和鋅各自的重量．應該注意到銅和鋅的比是2∶3時，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．銅的重量始終沒有變．解：銅和鋅的比是2∶3時，合金重量：36－6＝30（克）．銅的重量：新合金中鋅的重量：36－12＝24（克）．新合金內銅和鋅的比：12∶24＝1∶2．答：新合金內銅和鋅的比是1∶2．例4師徒兩人共加工零件168個，師傅加工一個零件用5分鐘，徒弟加工一個零件用9分鐘，完成任務時，兩人各加工零件多少個？分析師傅加工一個零件用5分鐘，每分鐘可加工個零件，徒弟加工一個零件用9分鐘，每分鐘可加工零件個，師徒兩人效率的比是：，由于兩人的工作時間是一定的，根據，工作量與工作效率成正比例。解法1：設師傅加工x個，徒弟加工（168－x）個．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（個）．答：師傅加工108個，徒弟加工60個．解法2：由于師、徒兩人工作效率的比是：，那么他們工作量的比也是：，因此師傅工作量是徒弟工作量的（倍），徒弟的工作量為1倍量。＝60（個），（徒弟）．解法3：師傅每分鐘加工個，徒弟每分鐘加工個，用相遇問題思考方法可求出兩人各用了多少分鐘．然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以540就是各自加工零件的個數．解法4：按比例分配做：例5洗衣機廠計劃20天生產洗衣機1600臺，生產5天后由于改進技術，效率提高25％，完成計劃還要多少天？分析這是一道比例應用題，工效和工時是變量，不變量是計劃生產5天后剩下的臺數．從工效看，有原來的效率1600÷20＝80臺/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100臺/天．從時間看，有原來計劃的天數，要求效率提高后還需要的天數．根據工效和工時成反比例的關系，得：提高后的效率×所需天數＝剩下的臺數．解法1：設完成計劃還需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成計劃還需12天．解法2：此題還可以轉化成正比例．根據實際效率是原來效率的1＋25%=倍，把原來效率看成“1”。實際和原來效率的比是：1=5：4，因為工效和工時成反比例，所以實際與原來所需時間的比是4∶5，如果設實際還需要x天，原來計劃的天數是20－5＝15天，根據實際與原來時間的比等于實際天數與原來天數的比，可以用正比例解答．設完成計劃還需x天．5x＝60，x＝12．解法3：（按工程問題解）設完成計劃還需x天．例6一個長方形長與寬的比是14：5，如果長減少13厘米，寬增加13厘米，則面積增加182平方厘米，那么原長方形面積是多少平方厘米？畫出圖便于解題：解法1：BC的長：182÷13＝14（厘米），BD的長：14＋13＝27（厘米），從圖中看出AB長就是原長方形的寬，AD與AB的比是14∶5，AB與BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，原長方形面積是42×15＝630（平方厘米）．答：原長方形面積是630平方厘米．解法2：設原長方形長為14x，寬為5x．由圖分析得方程（14x－13）×13－5x×13＝182，9x＝27，x＝3．則原長方形面積（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是綜合性較強的題，介紹了幾種不同解法．要求大家從不同角度、綜合、靈活運用所學知識，多角度去思考解答應用題，從而提高自己思維判斷能力．習題1、植物園中菊花與月季花的盆數之比是31：5，蘭花與睡蓮的盆數之比是40：9，月季與睡蓮的盆數之比是25：3。現在我們知道植物園中有200盆蘭花，試求出菊花的總盆數。2、長方形棱長的和是216厘米，它的長、寬、高之比是4：3：2，長方體的表面積和體積各是多少?3、操場上有一群學生在玩游戲，其中男生人數與女生人數之比為3：2，后來教室里又出來6名女生加入，此時男生人數與女生人數之比是5：4，求原來有多少名男生？有多少名女生？4、有三箱水果共重60千克，如果從第一、二箱中都取出3千克水果放入第三箱中，則第一、二、三箱水果重量之比是1：2：3，問三箱水果原來分別重多少千克？5、一個容器內已注滿水。現有大、中、小三個球，第一把小球沉入水中：第二把小球取出，把中球沉入水中；第三取出中球把小球和大球一起沉入水中。現在知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2.5倍，求三個球的體積之比。6、汽車在南北走向的公路上行駛，由南向北頂風行駛，每小時行50千米；由北向南順風行駛，每小時行70千米。兩輛汽車同時從同一地點向北而行，一輛汽車往北駛去然后返回，另一倆汽車往南駛去然后返回，結果4小時后兩車同時回到出發點。如果調頭時間不計，在這4小時內兩車行駛的方向相同的時間有多少小時？7、某俱樂部男、女會員的人數之比是3：2，分為甲、乙、丙三組的人數之比是10：8：7，甲組中男、女會員人數之比。8、如右圖所示，圓B與圓C的面積之和等于圓A面積的4／5，且圓A中的陰影部分占圓A面積的1／6，圓B的陰影部分占圓B面積的1／5，圓C的陰影部分占圓C面積的1/3。求圓A、圓B、圓C的面積之比。9、甲、乙兩隊學生參加郊外夏令營，只有一輛接送,坐不下。甲隊學生坐車從學校出發的同時，乙隊學生開始步行，車到途中某處讓甲隊學生下車步行去營地，車立即返回接乙隊學生直接開到營地，結果兩隊同時到達。已知學生步行速度為4千米/小時，汽車載學生時的速度為40千米/小時，空車速度為50千米/小時，那么甲隊學生步行。路程與全程的比是多少？10、某校畢業生共分9個班，每班人數相等。已知一班的男生比二、三班兩個班的女生總數多1；四、五、六班三個班的女生總數比七、八、九班三個班的男生總數多1，那么該校畢業生中男、女生人數的比是多少？測量金字塔的高度有一天，泰勒斯看到人們都在看告示，他也上去看。原來告示上寫著法老要找世界上最聰明的人來測量金字塔的高度。泰勒斯就到找法老了。法老問泰勒斯用什么工具來量金字塔。泰勒斯說只用一根木棍和一把尺子，大家都覺得很奇怪。他把木棍插在金字塔旁邊，等木棍的影子和木棍一樣長的時候，就去量金字塔。他量了金字塔影子的長度和金字塔底面邊長的一半。把這兩個長度加起來就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聰明的人，他不用爬到金字塔的頂上就方便量出了金字塔的高度。第六章雞兔同籠例1（古典題）雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？分析如果46只都是兔，一共應有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應該換進幾只雞才能使56只腳的差數就沒有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數就是28，兔的只數是46-28=18。解：①雞有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：雞有28只，免有18只。我們來總結一下這道題的解題思路：先假設它們全是兔.于是根據雞兔的總只數就可以算出在假設下共有幾只腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看相差多少.每差2只腳就說明有一只雞；將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法為假設法.概括起來，解雞兔同籠問題的基本關系式是：雞數=（每只兔腳數×兔總數-實際腳數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數）兔數=雞兔總數-雞數當然，也可以先假設全是雞。例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？分析這個例題與前面例題是有區別的，沒有給出它們腳數的總和，而是給出了它們腳數的差.這又如何解答呢？假設100只全是雞，那么腳的總數是2×100=200（只）這時兔的腳數為0，雞腳比兔腳多200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數將增加2只，兔的腳數減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：雞與兔分別有80只和20只。例3紅英小學三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？分析1我們設想，如果條件中三個班人數同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過假設三個班人數同樣多來分析求解。結合下圖可以想，假設二班、三班人數和一班人數相同，以一班為標準，則二班人數要比實際人數少5人.三班人數要比實際人數多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設二班、三班人數和一班人數同樣多，三個班總人數應該是多少？解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。分析2假設一、三班人數和二班人數同樣多，那么，一班人數比實際要多5人，而三班要比實際人數多7人.這時的總人數又該是多少？解法2：（135+5+7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。想一想：根據解法1、解法2的思路，還可以怎樣假設？怎樣求解？例4劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？分析我們分步來考慮：①假設租的10條船都是大船，那么船上應該坐6×10=60（人）。②假設后的總人數比實際人數多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設成坐6人。③一條小船當成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當成大船。解：[6×10-(41+1）÷（6-4）=18÷2=9（條）10-9=1（條）答：有9條小船，1條大船。例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？分析這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數.我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為6×18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以，應有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數1×13=13（對），比實際數少20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假設蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？6×18=108（條）②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蟬共有多少只？18-5=13（只）④假設蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1×13=13（對）⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）答：蜻蜒有7只.習題1.小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共17張，問兩種郵票各買多少張？2.有雞兔共20只，腳44只，雞兔各幾只？3.松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天采14個.問這幾天當中有幾天有雨？4.蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和一對翅膀，現有這三種動物共21只，共140條腿和23對翅膀，問蜘蛛、蝴蝶、蟬各有幾只？5.體育老師買了運動服上衣和褲子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、褲子每件19元，問老師買上衣和褲子各多少件？6.雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數共274只，問雞、兔各幾只？維納的故事維納（1894－1964年）是最早為美洲數學贏得國際榮譽的大數學家，關于他的軼事多極了。維納最有名的故事是有關搬家的事。一次維納喬遷，妻子熟悉維納的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她還找了一張便條，上面寫著新居的地址，并用新居的房門鑰匙換下舊房的鑰匙。第二天維納帶著紙條和鑰匙上班去了。白天恰有一人問他一個數學問題，維納把答案寫在那張紙條的背面遞給人家。晚上維納習慣性地回到舊居。他很吃驚，家里沒人。從窗子望進去，家具也不見了。掏出鑰匙開門，發現根本對不上齒。于是使勁拍了幾下門，隨后在院子里踱步。突然發現街上跑來一小女孩。維納對她講：“小姑娘，我真不走運。我找不到家了，我的鑰匙插不進去。”小女孩說道：“爸爸，沒錯。媽媽讓我來找你。”

有一次維納的一個學生看見維納正在郵局寄東西，很想自我介紹一番。在麻省理工學院真正能與維納直接說上幾句話、握握手，還是十分難得的。但這位學生不知道怎樣接近他為好。這時，只見維納來來回回踱著步，陷于沉思之中。這位學生更擔心了，生怕打斷了先生的思維，而損失了某個深刻的數學思想。但最終還是鼓足勇氣，靠近這個偉人：“早上好，維納教授！”維納猛地一抬頭，拍了一下前額，說道：“對，維納！”原來維納正欲往郵簽上寫寄件人姓名，但忘記了自的名字……。第七章容斥原理我們知道，求和問題只要直接小家就可得出答案。但在某些情況下，問題卻不能直接相加。例如，某班學生去圖書室借書，每人都借了課外書，統計結果是：借語文書的39人，借數學書的32人，語文、數學兩種書都借的有26人，求全班學生共幾人？顯然，求全班的學生數，不能用39和32直接相加。當借語文的39人和借數學的32人相加時，事實上重復包含的26人加了兩次。所以全班的學生數應當是：39+32-26=45（人）像上面這種有重復包含的情況，在解題時應考慮排除由于重復、相互包含而引起的多加的數學題，就是包含與排除問題，簡稱，容斥問題。基本概念：集合：具有某些相同性質的對象所組成的共同體。（集合中任何兩個對象是不同的）集合的性質：（1）集合內的對象都具有共同的性質或特點；（2）集合內對象是不重復的。并集：所有屬于集合A又屬于集合B的對象所組成的集合。又叫A和B的和，用符號表示：A∪B，讀作A并B。交集：既屬于集合A有屬于集合B的對象組成的集合，用符號表示：A∩B，讀作A交B。容斥原理1：求集合A和B的并集：先求出集合A和B所有對象的和；再減去A和B交集。用符號表示：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣；容斥原理2：求集合A、B和C的并集：先求出A、B和C的所有對象的和；再分別減去集合A和B、B和C、A和C的交集；最后再加上集合A、B和C的交集。用符號表示：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C∣-∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣；例1集合A=,集合B=求，A∩B和A∪B分別等于多少？解：A∩B=;A∪B=例2設集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。我們稱屬于集合I但不屬于集合A的元素的集合為在集合I中的補集（或余集），如右圖中陰影部分表示的集合（整個長方形表示集合I）.如，例2中就是集合A在集合I中的補集。顯然，A和沒有公共元素，即A∩=（表示空集，即沒有元素的集合）。此外，A∪=I。對于兩個沒有公共元素的集合A和B，顯然有|A∪B|=|A|+|B|。例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，則所以|A∪B|＝101＝100＋1=|A|＋|B|。如果集合A與B有公共元素，例如A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，則A∩B＝（90，91，…，100｝，A∪B={1，2，…，101}.此時，|A∪B|與|A|+|B|有什么關系呢？在這個例中，|A∪B|=101，|A|＋|B|＝100＋12=112。所以|A∪B|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為A∩B的元素個數.這是合理的，因為在求|A∪B|時，90，91，…，100這11個數各被計入一次，而在求|A|＋|B|時，這11個數各被計入兩次（即多算了一次），并且這11個數組成的集合恰為A∩B.因此得到|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）這就是關于兩個集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個數，等于集合A的元素個數與集合B的元素個數的和，減去集合A與B的交的元素個數。（1）是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示A∪B中互不重疊的部分的元素個數。可見：|A|=N1＋N3，|B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）-N3=|A|+|B|-|A∩B|。我們知道，當集合A與B沒有公共元素時，有|A∪B|＝|A|+|B|.實際上這是公式（1）的特殊情形，因為此時：例3某班有42人，其中26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打籃球又愛踢足球，4人既愛大排球又愛踢足球。沒有一個人三種球都愛好。也沒有一個人三種求都不愛好。既愛打籃球又愛打排球的有幾人？解：設，愛好打籃球的人的集合為A，愛好打排球的人的集合為B，愛好踢足球的人的集合為C。因為，A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C；所以，A∩B=A+B+C-A∩C-B∩C+A∩B∩C；則，A∩B=26+17+19-9-4+0-42=7(人)；答：既愛打籃球，又愛打排球的有7人。例4一張圓紙片的面積為5，一正方形紙片的面積為4，兩張紙片在桌面上覆蓋的面積為6，問兩張紙片重合部分的面積為多少？解：如右圖，重合部分的面積為：5+4-6=3。答：兩張紙片重合部分的面積為3.例5如圖，A、B、C分別代表面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們放在一起蓋住的面積為38，且A與B、B與C、C與A公共部分面積分別為8、7、6，求A、B、三個圖形公共部分的面積解：設，公共部分的面積是x，那么，12+28+16-8-7-6+x=38，x=3或38-（12+28+16-8-7-6）=3.答：公共部分的面積是3.例6暑假期間有12個同學取冷飲店，向服務元交出需要的冷飲統計數字如下：有6個人要可可，有五個人要咖啡，有5個人要果汁。有3個人既要可可又要咖啡，有2個人既要咖啡又要果汁，有3個人既要可可又要果汁，有1個人可可、咖啡、果汁都要。問有沒有人什么冷飲都不要的，如果有的話，有幾人？解：根據包含與排除問題的計算方法，可先求出要冷飲的人數為:6+5+5-3-2-3+1=9(人)。因為去冷飲店的共12人，所以什么都沒要的有12-9=3（人）。答：有3人什么冷飲都沒要。習題1.某班有50人，會游泳的有27人，會體操的有18人，都不會的有15人.問既會游泳又會體操的有多少人？2.在1～1000這1000個自然數中，不能被2、3、5中任何一個數整除的數有多少個？3.五環圖中每一個環內徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形（右圖中陰影部分）的面積相等.已知五個圓環蓋住的總面積是122.5平方厘米.求每個小曲邊四邊形的面積。4.某班全體學生進行短跑、游泳和籃球三項測驗，有4個學生這三項均未達到優秀，其余每人至少一項達到優秀，這部分學生達到優秀的項目及人數如下表：問這個班有多少名學生？5．有100位學生回答A、B兩題.A、B兩題都沒回答對的有10人，有75人答對A題，83人答對B題，問有多少人A、B兩題都答對？6.在一次數學競賽中甲答錯題目總數的，乙答對7道題，兩人對的題目是題目總數的，問：甲答對了多少道題？數學王國的巾幗英雄

陀螺是中小學生熟悉一種玩具。一只小小的陀螺在桌面上飛速地旋轉著。單見它立定一點，一面繞傾斜于桌面的軸急速自轉，另一面自轉軸又宛如錐體母線般繞著過定點而垂直于桌面的軸線，緩慢而穩定地做公轉運動。

陀螺旋轉的時候為什么不會倒？在千萬個玩陀螺的人中，能正確回答出這個問題的，大概不會太多。的確，陀螺的轉動是十分有趣而神秘的。

陀螺在科學上有很高的研究價值。把旋轉著的陀螺拋向空中。它能使自己的軸保持原來的方向。陀螺的這一特性，被用來制造定向陀螺儀，廣泛用于航海、航空和宇宙飛行之中。

然而，關于陀螺運動的研究，或者用更有學術味道的話，叫剛體繞固定點運動的問題，卻有一段神奇的歷史。

公元1888年，法蘭西科學院舉行第三次有獎國際征文，懸賞三千法郎，向全世界征集關于剛體繞固定點運動問題的論文。在此之前的幾十年內，鑒于該問題的重要性，法蘭西科學院曾以同樣的獎金進行過兩次征文。不少杰出的數學家曾嘗試過解答，但都沒有能夠得到成功。兩次征文的獎金，依然原封不動地高擱著。為此，法蘭西科學院決定第三次征集論文，這使許多素有盛望的數學家躍躍欲試。可是到了評判那天，評委們全都大為震驚。他們發現有一篇文章在無數平凡之中鶴立雞群。這是一篇閃爍著智慧光芒的佳作，每一個步驟，每一個結論，都充溢著高人一籌的才華。鑒于它具有特別高的科學價值，評委們破例決定，把獎金從原來的三千法郎提到五千法郎。

評判結束了，打開密封的名字一看，原來獲獎的是一位俄羅斯女性，她就是數學王國的巾幗英雄，一位蜚聲數壇的女數學家索菲婭。

打開世界的科學史，科學家中的女性屈指可數，女數學家更是寥若晨星。而在二十世紀之前能夠載入數學史冊的，大約只有柯瓦列夫斯卡婭一個。而她的奮斗經歷則是充滿著傳奇的色彩。

索菲婭生于將軍之家，由于叔叔彼得的啟蒙，她對數學產了濃厚的興趣。但她的父親，一位退休了的軍人，帶著對女性古老的偏見，反對女兒學習數學。在這種情況下，索菲婭只好躲在自己的房間里偷偷地看數學書。這種神秘的學習氣氛，反而增加了索菲婭的好奇心和求知欲，她的進取心更強了，這時她才13歲。翻過一個年頭，一本基利托夫的物理書引起了索菲婭的注意，因為基利托夫教授是她的鄰居。在翻看教授的著作時，她發現書中利用到許多三角知識，然而三角對于這時的她，卻是一個陌生的世界。于是她從畫弦開始，自己推導出一系列三角公式，這無疑相當于一個數學分支史的再創造！這一超人的天賦，使基利托夫教授驚鄂了，他仿佛看到了一位新帕斯卡的出現。法國數學家帕斯卡在少年時代曾是世人公認的神童。在基利托夫教授的再三說服下，索菲婭的父親終于同意她前往外地學習微積分和其他課程。就這樣索菲婭得以刻苦學習了兩年。正當她渴望能上大學深造的時候，父親嚴令將她召回。這位當過將軍的父親怎么也不能理解女兒和數學是不可共容的兩個詞，況且女兒已經長大成人。

為了繼續自己的學業，索菲婭使出了作為姑娘的最為有效的一招。她決定出嫁了，丈夫是一位年輕開明的生物學家。婚后，她與丈夫雙雙來到彼得堡。可是一到那里，美好的幻影立即破滅，因為當時的俄國大學不招收女生。

世界上的許多事情常常是事與愿違。結婚，既帶給索菲婭歡悅，也帶給她苦惱。沒過多久，索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭當了母親。幼小的生命，繁重的家務，淡化了她對數學的酷愛。一天，小孩屋里沒有糊墻的紙，她就用數學家奧斯特洛格拉德斯基的書撕下來裱糊。沒想到這到這些散頁中的各種符號，重新燃起了柯瓦列夫斯卡婭學習數學的熱情。在丈夫的支持下，她一面買了許多數學書日夜攻讀，另一面在彼得堡大學非正式跟班旁聽。隨著學業的進步，她對深造的愿望更加強烈了！

公元1870年，年僅20歲的柯瓦列夫斯卡婭毅然決定前往柏林，那里有一所她所傾慕的學府——柏林大學。但是她不知道，在那個時代，歧視婦女的思想并沒有國界，柏林大學拒絕接納這位外國女生。然而柯瓦列夫斯卡婭并不因此甘休，她找到了在柏林大學任教的著名數學家魏爾斯特拉斯，直接向他陳述自己的請求。這位年近花甲的教授迷惑了，他用懷疑的眼光看了看這個異邦的姑娘，然后向她提出了一個當時相當深奧的橢圓函數問題，這是教授前此一刻思考的。柯瓦列夫斯卡婭當場作了解答。精辟的結論，巧妙的構思，非凡的見解！魏爾斯特拉斯震撼了！教授破例答應收她為私人學生。在名師指點下，柯瓦列夫斯卡婭如虎添翼，迅速地成長著。

公元1873年，柯瓦列夫斯卡婭連續發表了三篇關于偏微分方程的論文。由于論文的創造性和價值，1874年7月，哥廷根大學破例在無須答辯的情況下，授予柯瓦列夫斯卡婭博士學位，那年她才24歲。

1875年，柯瓦列夫斯卡婭滿懷熱情返回故土，但等待她的確是無限的憂愁。沙皇俄國決定不允許一個女人走上講臺，研究機構也沒有女人的位置。就這樣，這位俄羅斯的天才兒女，令人惋惜地中斷了三年研究。而后又因小女兒的出生再次耽擱了兩年。1880年彼得堡召開科學大會，著名數學家車比雪夫請她為大會提供一篇文章。她從箱底翻出一篇六年前沒有發表的，關于阿貝爾積分的論文，獻給大會。然而這篇放置了六年之久的文章，依舊引起了大會的轟動。

1888年12月，法蘭系科學院授予柯瓦列夫斯卡婭波士頓獎，表彰她對于剛體運動的杰出研究。1889年，瑞典科學院也向柯瓦列夫斯卡婭授予了獎。同年11月懾服于這位女數學家的巨大功績，和以車比雪夫為首的一批數學家的堅決請求，俄國科學院終于放棄了“女人不能當院士”的舊規。年已古稀的車比雪夫激動地給柯瓦列夫斯卡婭大去了如下電報：

“在沒有先例地修改了院章之后，我國科學院剛剛選舉你做通訊院士。我非常高興看到，我的最急切和正義的要求之一實現了。”

1891年初，柯瓦列夫斯卡婭在從法國返回斯得哥爾摩途中病倒。由于醫生的誤診，無情的病魔奪去了她光彩的生命。此時她年僅42歲。第八章同倍率變化規律我們在數學問題中經常遇到這樣的問題，如果甲是乙的n倍，現在甲乙同時變化（增加或者減少），如果甲減少（增加）的量仍舊是乙減少（或增加）量的n倍。例如，乙減少（或增加）A，甲就減少（增加）nA。那么變化后的結果，甲剩下的差仍舊是剩下的n倍。即，如果，那么我們把這種問題叫，同倍率變化問題。例1甲倉庫存糧32噸，乙倉庫存糧57噸，甲倉庫每天存入4噸，乙倉庫每天存入9噸，幾天之后乙倉庫是甲倉庫的2倍？解：甲的2倍：32×2=64；乙與甲2倍的差：64-57；甲增加4噸時，乙應增加的噸數：4×2=8；乙多增加：9-8=1；經過的天數：7÷1=7；答：7天后乙倉庫的甲乙的2倍。例2盒子里有紅、黃兩種顏色的小球，其中紅球的個數是黃球的3倍。每次從盤子里取出5個黃球，11個紅球，取了幾次后，黃球正好去完，紅球還剩下28個，盒子里原來黃球有多少個？分析如果要保證兩種顏色的球都同時正好去完，那么每次取的紅球應當是黃球的3倍，那么每次應當取3×5=15（個）。但實際只取了11個，每次少取了15-11=4（個），所以最后等到黃球取完時，紅球還剩28個。那么我們就可以算出總共取了28÷4=7（次），最后就可以求出共有黃球：7×5=35（個）解：3×5=15（個）15-11=4（個）28÷4=7（次）7×5=35（個）答：盒子里原來有黃球35個。習題1.有兩條繩子，長的是短的3倍，如果從這兩根繩子上各減去20米，長的就正好是短的4倍。長繩原來長多少米？2.李蘭的課外書是王偉的課外書的本數的6倍，如果二人各拿出2本后，李蘭現在的課外書就是王偉的8倍。李蘭原有課外書多少本？3.甲倉庫里有面粉200噸，乙倉庫里有面粉80噸。甲倉庫每天運出25噸，乙倉庫每天運出15噸，幾天后甲倉庫剩下的面粉是乙倉庫剩下的面粉的3倍？4.蘋果園里的蘋果樹是桃樹的3倍，管理員每天給25棵蘋果樹和15棵桃樹噴灑農藥，幾天后，當桃樹噴完農藥時，蘋果樹還有140棵。果園里有蘋果樹和桃樹各多少棵？5.10年前父親的年齡是女兒的7倍，15年后父親的年齡是女兒的2倍。今年父親的年齡多大？6.的分子增加8，要使分數的大小不變，分母應該增加多少？7.甲、乙兩人在學校食堂就餐。甲乙的飯票的比為：4：3，甲每天用6元飯票，乙每天用5元飯票，乙用完時，甲還有10元。原來甲乙各有多少飯票？8.張家與李家本月的收入的錢數比是8：5，本月開支的錢數比是8：3.月底張家節余240元，李家節余270元。本月每家各收入多少元？小熊鋸木頭在一個美麗的大森林里，住著一群可愛的小動物。有一天，小兔蹦蹦跳跳的來到小熊家，發現小熊在幫它的媽媽鋸建房子用的木頭，它媽媽要求它把這根10米長的木頭鋸成每段2米的小木頭，小兔突然靈機一動問：“熊哥哥，你知道