《中考數學觀察歸納題型》測試卷、練習卷（答案及解析）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.將正整數按下表的規律排列：

123456789

101112131415161718

192021222324252627

**?

平移表中涂色部分的方框，方框中的4個數的和可能是（）

A.2010B.2014C.2018D.2022

2.在平面中，如圖，兩條直線最多只有1個交點，三條直線最多有3個交點……若〃

條直線最多有55個交點，則〃的值為（）

3.將全體自然數按下面的方式進行排列：

If25f6

f|IfI

Q3—??47—>>...—?⑷?②—>■

按照這樣的排列規律，2018應位于（）

A.A位B.B位C.C位D.￡>位

4.如圖，OAX=4遇2，。入2=^2^31。43=4344->^-OAyA2=/.OA2A3=Z-OA3A4=

???=90。，如此繼續，能構造出多個等腰直角三角形形成的“海螺圖”，當構造的

直角三角形的斜邊第一次落在射線。4上時，停止構圖，這時的海螺圖的面積等于

2040,貝IJOa的長為（）

A

()4

<4i/lj

A.2V2B.4C.4V2D.6

5.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規律擺下去,第10個這樣的圖案

需要黑色棋子的個數為（）

①②

A.148B.152C.174D.202

6.某個數值轉換器的原理如圖所示：若開始輸入x的值是1,第1次輸出的結果是4,

第2次輸出的結果是2,依次繼續下去，則第2020次輸出的結果是（）

A.1010B.4C.2D.1

7.如圖,過點&（。,1）作y軸的垂線交直線/：y=樂于點小,過點小作直線,的垂線，

交y軸于點4,過點力作了軸的垂線交直線/于點4,…，這樣依次下去，得到△

40241A2，△其面積分別記為4,S2,S3,…，則510（）為（）

A.（苧）i。。B.（3V3）100C.3V3x4199D.3A/3X2395

1111

8.已知%=1-垃，=1一9，。3=1-0，…，an=1-KSn=?1-a21-On-

則Sio=（）

A.1B.|C.If口盤

9.計算（1一a_3一專）x（專+專+專+專）一（1一專一強一白一京）x（3+春+

3）的結果等于（）

A.；B.在C.更D.在

2532

10.如下圖，△ABC稱為第一個三角形，其周長為1,連接△ABC各邊的中點所組成的

△DEF稱為第二個三角形，其周長為也……，以此類推，第2020個三角形的周長

為（）

C

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

11.觀察以下等式

第1個等式:7=T+T

第2個等式：；=;+J

oZo

第3個等式:|=抖專

第4個等式：；=；+^

//Zo

第5個等式:|=升福

按照以上規律，寫出你猜想的第〃個等式：.（用含”的等式表示）.

12.如圖所示，n+1個邊長為1的等邊三角形，其中點A,G，C2,C3,…金在同一條

直線上，若記ABICIDI的面積為Si，ZkB2c2。2的面積為S2，△B3c3D3的面積為53,

…，△BnG20n的面積為Sn,則Sn=.

13.按一定規律排列的一列數依次為：—9，?，一?，吟，...（a#0）,按此規律排列

下去，這列數中的第〃個數是.（n為正整數）

14.海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質文化遺產名錄.如圖是黎錦上的圖

案，每個圖案都是由相同菱形構成的，若按照第1個圖至第4個圖中的規律編織圖

案，則第5個圖中有個菱形，第〃個圖中有個菱形（用含〃的代數式

表示）.

O

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

三、解答題（本大題共7小題，共58.0分）

15.觀察下列式：。2—1）十（％-1）=》+1；

（X3-1）-r（X—1）=x24-X+1；

（x4—1）4-（%-1）=%3+%24-%+1；

(X5-1)-T-(%—1)=X4+X3+X2+X+1;

(1)猜想：熾7-l)+(X-l)=；(27-1)4-(2-1)=

(2)根據①猜想的結論計算：1+2+22+23+24+25+26+27.

16.符號“7表示一種運算，它對一些數的運算如下：/(1)=1+p/(2)=1+|,

/⑶=1+|,/(4)=1+、.

(1)利用以上運算的規律寫出/(町=；(n為正整數)

(2)計算：/(1)'/(2)"(3)...f(100)的值.

17.閱讀下面問題：

上=產(叱)=a-i

1+V2(V2+1)(V2-1)

；==乘一2。

V5+2(V5+2)(V5-2)

試求：

(1)專分母有理化的結果是嬴分母有理化的結果是_;

(2)焉訪分母有理化的結果是一；5?0)

(3)求(詬7+用方+而而+…+正嬴赤石)(近兩十1)的值，

18.先觀察下列各式的規律，再解答問題.

第1個式子:嗯=】?

第2個式子：羨=瀉；

第3個式子：左

(1)由上面的規律可得出結論：而而

(2)已知|。6一2|+|(1-1]=0,求專+(a+i：(b+i)+…+(a+2019：(b+2(H9)的值?

19.對于正數X,規定/(x)=W

例如：m)=i7i=r八2)=專=4±

2

(1)求值：/(3)+f(以=；/(4)+fG)=.

(2)猜想：/(%)+/6)=,并說明理由.

(3)求:f(2021)+f(2020)+…+/(2)+/(I)+/g)+-+/島)+(島)的

值.

20.給定下面一列分式：一念，一品，一品，一渭"，.?.(其中aK1).

(1)請寫出第6個分式；

(2)當3a—4b=3時，求尋一品的值?

21.平面內兩條直線的位置關系有兩種：相交和平行.

(1)如圖，直線機、〃相交于點4,點P是4BAC內部一點，試判斷NBPC、"BP、

乙ACP、484c之間的數量關系，并說明理由;

B,

(2)如圖，直線m〃n，點尸是直線〃之間的一點，且滿足NBPC=80。，BA、

CA分另ij平分NOBP、NECP交于點A,求NA的度數;

(3)如圖，直線m〃n，點尸是直線機、〃之間的一點，且滿足NBPC=80。，Ba、

BF2分別平分NGBP、乙HCP交于一點FI；BF2、CF2分另I平分NGB&、4HC&交于點F2；

??????；以此類推，直至交于點尸2。21.直接寫出立尸2021的度數是.

答案和解析

I.A

解：從表中正整數的排列情況來看，每一行是9個數，也就是每一列下面的數減去上面

的數是9.

隨著方框向下平移，可表示出這4個數其變化規律的表達式為：

2+9n,3+9n,4+9n,5+9n,

將這4個數相加為：2+9n+3+9幾+4+9幾+5+9九=36n+14,

這4個數向下移再向左移相加為36九+14-4=36兀+10,

這4個數向下移再向右移一個格相加為36n+14+4=36n+18,

這4個數向下移再向右移二個格相加為36n+14+8=36n+22,

這4個數向下移再向右移三個格相加為36n+14+12=36n+26,

這4個數向下移再向右移四個格相加為36n+14+16=36n+30,

36x55+30=2010,

二平移表中涂色部分的方框向下移55個格再向右移4個格，方框中的4個數的和為2010,

其余三個答案中的數代入36n+14,36n+10,36n+18,36n+22,36n+26,36n+30

來嘗試，〃均不是整數.

故選：A.

每一行是9個數，也就是每一列下面的數減去上面的數是9.隨著方框的平移，可表示出

其變化規律的表達式為：2+9n,3+9n,4+9n,5+9n,向下移則將這4個數相加

為36n+14；向下移再向左移則這4個數相加為36n+14-4；向下移再向右移則這4

個數相加為36n4-14+4或這4個數相加為36n+14+8或這4個數相加為36n+14+

12或這4個數相加為36n+14+16,將四個答案中的數來嘗試，"為整數，即可.

本題主要考查了數字的變化類，根據題意用含整數〃的表達式表示出移動的四個數是解

題的關鍵，然后求和判斷哪個選擇項可滿足n的條件即可.

2.C

【試題解析】

解：2條直線相交最多有1個交點；

3條直線相交最多有1+2個交點；

4條直線相交最多有1+2+3個交點；

5條直線相交最多有1+2+3+4個交點；

所以〃條直線相交最多有1+2+3+4+5+…+(n—1)=in(n-1)個交點；

:.|n(n—1)=55,

解得n1-11,n2-—10(舍去),

則〃值為11.

故選：C.

從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時最多的交點個數，找出規

律即可解答.

此題考查圖形的變化規律，解答此題的關鍵是找出其中的規律，利用規律解決問題.

3.C

解：由圖可知，每4個數為一個循環組依次循環，

???2018是第2019個數，

???2019+4=504余3,

2018應位于第505循環組的第3個數，在?位.

故選：C.

觀察圖形不難發現，每4個數為一個循環組依次循環，因為2018是第2019個數，所以

用2019除以4,再根據商和余數的情況確定2018所在的位置即可.

本題是對數字變化規律的考查，觀察出每4個數為一個循環組依次循環是解題的關鍵,

要注意2018是第2019個數.

4.8

【分析】

本題考查圖形的變化規律和勾股定理.根據題意得出規律是解題的關鍵.

先求出各個直角三角形的直角邊，再根據面積和得出方程，即可解答.

解：設04=a,

v0Ar=ArA2yOA2—A2A3fOA3=A3A4...,Z.OA1A2=^.OA2A3=Z.0A3A4=?-?=90°,

22

:.OA2=JOA1+A1A2=V2a?OA3==2a?OA^=

I78

22

JOA3+A3A4=2V2a>-?■->OA8=(V2)a=8V2a,OAg=(V2)a=16a

當構造的直角三角形的斜邊第一次落在射線O①上時，最后一個三角形斜邊為。內，

貝嚀a?+1xV2axV2cz+-+|x8y/2ax8V2a=2040

a2+2a2+■■■+U8a2=4080

255a2=4080

a=4

故選8

5.C

【分析】

本題考查了規律型：圖形的變化類，觀察圖形，發現棋子的規律是解題的關鍵.

觀察各圖可知棋子數量的規律，然后寫成第〃個圖案的通式，再取n=10進行計算即可

求解.

解：根據圖形，第1個圖案有12=2(1+2+3)+2x0枚棋子，

第2個圖案有22=2(1+2+3+4)+2x1枚棋子，

第3個圖案有34=2(1+2+3+4+5)+2*2枚棋子，

第4個圖案有48=2(1+2+34-4+5+6)+2X3枚棋子，

第n個圖案有2(1+2+…+n+l+n+2)+2(n—1)枚棋子，

故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數為2(1+2+-...+11+12)+2x

(10-1)=174(枚).

故選：C.

6.B

解：由題意可得，

開始輸入，%=1,

第一次輸出的結果是4,

第二次輸出的結果是2,

第三次輸出的結果是1,

第四次輸出的結果是4,

第五次輸出的結果是2,

第六次輸出的結果是1,

第七次輸出的結果是4,

第八次輸出的結果是2,

第九次輸出的結果是1,

第十次輸出的結果是4,

2020+3=673...1,

則第2020次輸出的結果是4,

故選：B.

根據題意和題目中的數值轉換器可以寫出前幾次輸出的結果，從而可以發現數字的變化

規律，進而求得第2020次輸出的結果.

本題考查數字的變化類-規律型，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化

特點，求出相應的數字.

1.D

解：???點Ao的坐標是

???OAQ=1,

???點4在直線y=%上，

**,OA1—2,AQA^=

**?。％2=4,

???OA3=8,

:.0A4=16,

n

得出O4n=2,

n

???AnAn+1=2-V3,

0498=2198,498/199=2198?W,

-51=1(4-1)-V3=|V3,

^2^1/M200^199?

,*,△40Al人2~^^198^199^200?

.Si。。_W士屋2

**V（^/^），

.-.S=2396.亭=3V3X2395

故選：D.

本題需先求出0&和04的長，再根據題意得出。4口=2%把縱坐標代入解析式求得橫

坐標，然后根據三角形相似的性質即可求得Si。。.

本題主要考查了如何根據一次函數的解析式和點的坐標求線段的長度，以及如何根據線

段的長度求出點的坐標，解題時要注意相關知識的綜合應用.

8.D

略

9.B

【分析】

此題主要考查二次根式的混合運算.找出規律是解題的關鍵.把（1-專-專-和

6+3+—看成一個整體進行計算即可解答.

解：原式=。_美_專——x（美+春+*）+（1_+_專_5*京_（1_專_

專一百）x（%+翥+蠢）+3，（專+%+弓）

1（111111\

=而'（1一正一看一"+亞+石

=±X1

V5

=阻

s

故選8.

10.C

【分析】

本題考查中位線定理，圖形規律有關知識，主要是找出每一個新的三角形周長是原三角

形周長的:的規律，解決問題.根據三角形的中位線定理，找出每一個新的三角形周長

是上一個三角形周長的共K律.

解：△ZBC的周長為1,新的三角形的三條邊為△ABC的三條中位線,

根據中位線定理，三條中位線之和為三角形三條邊的也

所以第2個三角形周長為熱

第3個三角形的周長為擊

以此類推，第"個三角形的周長為貴；

所以第2020個三角形的周長為嬴.

故選C.

]1--=-1----

2n-lnn(2n-l)

解：第1個等式：Y=1+7

第2個等式:|

第3個等式:2+專

第4個等式:號抖點

第5個等式:那+,

第"個等式為：懸=；+思不

故二一=-+--—

2n-lnn(2n-l)

根據已知等式得出規律即可.

本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知等式得出的規律，并熟練加以運

用.

-ir\y/3n

",4(71+1)

解：由題意可知,

=S^B2DIC1=-ShAC1B2=~ShAC1B1，

S2=S&B3102c2=3^A7tc2F3=&SAAQ8J

S

S3=SAB403c3=^^AC3B4=^AXCIB]'

所以Sn=公SfCiBi，

Sn=

首先求出Si，S2,S3,…,探究規律后即可解決問題.

本題考查相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，三角形的面積等知識，解題的

關鍵是學會從特殊到一般的探究方法，學會利用規律解決問題，屬于中考常考題型.

【分析】本題考查了規律型：數字的變化類：尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用

聯想是解決這類問題的方法.

先確定正負號與序號數的關系，再確定分母與序號數的關系，然后確定a的指數與序號

數的關系，即可得解.

解：第1個數為(―

Z.2X3-1

第2個數為(一1)2.妥］，

第3個數為(—1)3.寡;，

,,3X4-1

第4個數為(—1)4.5^,

3n-i

所以這列數中的第"個數是(-l)n.

n2+l

故答案為(-1)叫\".

14.41；2n2-2n+1

【分析】

本題主要考查圖形的變化類，解題的關鍵是根據已知圖形得出第"個圖中菱形的個數為

n2+(n-I/的規律.根據已知圖形得出圖形中菱形的個數為序數的平方與序數減一的

平方的和，據此求解可得.

解：???第1個圖中菱形的個數1=仔+。2,

第2個圖中菱形的個數5=22+仔，

第3個圖中菱形的個數13=32+22,

第4個圖中菱形的個數25=42+32,

二第5個圖中菱形的個數為52+42=41,

第"個圖中菱形的個數為?I?+(n—I)2=n2+n2—2n+1=2n2—2n+1,

故41；2n2—2n+1.

15.(l)x6+%5+x4+x3+x2+%+1；26+25+24+23+22+2+1；

(2)根據①猜想的結論計算：1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)+(2-

1)=28-1=255.

解：

(l)(x7-1)-T-(X-1)=X6+X5+X4+X3+X2+X+1；

(27-1)(2-1)=26+2s+24+23+22+2+1；

故”+x5+x4+x3+x2+x+l;26+25+24+23+22+2+1；

(2)1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)4-(2-1)

=28-1

=255.

【分析】(1)直接利用已知等式變化規律進而得出答案；

(2)直接利用(1)中所求，進而得出答案.

此題主要考查了整式的除法運算，正確利用己知式子變化規律分析是解題關鍵.

16.解：(1)1+；；

(2)/(1)"(2)"(3)?..."(100)

22222

=+#++?.(1+痂)

3456102

=—X—X—X—X...X-------

1234100

101x102

1X2

=5151.

【試題解析】

【分析】

此題主要考查了定義新運算，以及有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混

合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行

計算；如果有括號，要先做括號內的運算.

⑴根據f⑴、”2)、/(3)、/'(4)的運算方法,寫出f(n)的表達式即可.

(2)根據(1)中求出的/(X)的表達式，求出f(1)"(2)"(3)?..."(100)的值是多少即可.

解：⑴⑴=1+彳，/(2)=1+|,/⑶=1+:/(4)=1+..

???/(n)=1+：.

故1+-n；

(2)見答案.

17.(1)V7—V6;

(2)Vn+1—Vn;

(3)解：原式=(V2-1+V3-V2+V5-V4+...+V2020-72019)(72020+1)

=(V2020-1)(72020+1)

=2020-1

=2019

【分析】

本題考查的是分母有理化，數式規律有關知識.

(1)利用分母有理化進行計算；

(2)利用分母有理化進行計算；

(3)先分母有理化，然后合并即可.

解⑴專著，焉=后會給曠位一阮

故答案為苧，V7-V6.

⑵--f==7]—―=Vn+1—Vn.

'7Vn+l+Vn(x/n+1+Vn)(vn+1-Vn)

故答案為Vn+1—Vn.

(3)見答案.

(2)v\ab-2|+|a-1|=0ah-2=0,a-1=0，a=1,b=2二專+g+jb+i)+

▲?*'II(▲4XXXXA

----------------------=------十-----十***十--------------=I——+-----------+??,+”-----------------------

(a+2019)(b+2019)1x22X32020x202122320202021

1_2020

2021—2021

略

19.解：(1)1；1；

(2)1.

1

理由：/(x)+f(3)=三+4=三+工=L

八/J\xJX+l-+1x+1x+1

X

(3)：由(2)可得/(嗎+/@=1,

?.?原式=[/(2。21)+f(嬴)]+[f(2020)+/(募)]+…+『⑵+fg)]+/(1)=

2020+-=2020-.

22

略

20.解：⑴一普-湍，-&，…(其中”1)

???第6個分式為：-品

4bAh6b28b46b28b

(2)由3a-4b=3可得：a-l=刀，把a-1=刀，代入得-一在

27_81_27

832-32

略

21.解：（1）連接AP并延長,

???KBPG,NCBP分別是A