高三試題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山大附中2022~2023學年第一學期期中考試高三年級數學試題考試時間：120分總分：150分一．選擇題（本題共12小題，每題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）1．設集合，3，5，，，則A．， B．， C．， D．，2．已知為虛數單位，復數滿足，則=A． B． C． D．3.已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為A． B． C． D．4.已知點是角終邊上一點，則A． B． C． D．5.已知圓的方程圓心坐標為，則圓的半徑為A．2 B．4 C．10 D．36.在等比數列中，，若，，成等差數列，則的公比為A．5 B．4 C．3 D．27.設，則“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8.函數的部分圖象大致為 B． 高三試題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁 D．A． B． C． D．9.已知的內角，，所對的邊分別為，，，若、、成等差數列，，且，則A． B． C． D．10.已知四面體的所有棱長都等于2，是棱的中點，是棱靠近的四等分點，則等于A． B． C． D．11.在銳角中，，，，所對的邊分別為，，，則的取值范圍是A． B． C． D．12.已知是定義在上的偶函數，且（2），當時，，則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，二．填空題（本題共4小題，每題5分.）13．過點斜率為的直線在軸上的截距為．14．若，則．15．若，則的展開式中的常數項為（用數字作答）．16.若對任意的，，且當時，都有，則實數的最小值為．三．解答題（本題共6小題）17．(10分)已知是公差不等于0的等差數列的前項和，，是與的等比中項．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前20項和．18.(12分)已知的內角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為．（1）求角的大小；（2）若，為的中點，，求的面積．19．(12分)已知函數．（1）求的最小正周期和單調增區（2）若函數在存在零點，求實數的取值范圍．20.(12分)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．21.(12分)已知等差數列前項和為，數列是等比數列，，，，．（1）求數列和的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，求．(12分)已知函數．（1）若，求的最小值；（2）若，恒成立，求實數的取值范圍．高三試題山大附中2022~2023學年第一學期期中考試高三年級數學答案1．設集合，3，5，，，則A．， B．， C．， D．，【分析】先解不等式，求得集合，再由交集的運算法則，得解．【解答】解：，所以，．故選：．2.已知為虛數單位，復數滿足，則復數的共軛復數為A． B． C． D．【分析】根據已知條件，結合共軛復數的定義，以及復數的四則運算，即可求解．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題主要考查共軛復數的定義，以及復數的四則運算，屬于基礎題．3.已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為A． B． C． D．【分析】根據已知條件，結合直線垂直的性質，以及直線的點斜式公式，即可求解．【解答】解：邊上的高所在直線方程為，斜率為，則直線的斜率為，所在直線過頂點，，即．故選：．已知點是角終邊上一點，則A． B． C． D．【分析】直接利用三角函數的值和三角函數的定義的應用求出結果．【解答】解：，角的終邊上有一點為，，．故選：．5.已知圓的方程圓心坐標為，則圓的半徑為A．2 B．4 C．10 D．3【分析】由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由題意可得的值，進而求出半徑的大小．【解答】解：由圓的一般方程可得圓的標準方程為：，可得圓心坐標為，由題意可得，可得半徑，故選：．6.在等比數列中，，若，，成等差數列，則的公比為A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據等比數列的通項公式，等差數列的性質，方程思想即可求解．【解答】解：設等比數列的公比為，由題意可得，，，，，又，，．故選：．7.設，則“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據題意，由直線平行的判斷方法，分析兩者的關系，即可得答案．【解答】解：根據題意，當時，兩直線的方程為和，兩直線平行，反之，若直線與直線平行，必有，解可得，當時，兩直線的方程為和，兩直線平行，符合題意，當時，兩直線的方程為和，兩直線平行，符合題意，故，綜合可得：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：．8.函數的部分圖象大致為A． B． C． D．由，可得，或，或，，故排除；由，故排除．故選：C．9.內角若、、成等差數列，，且，則A． B． C． D．【分析】由已知結合等差數列的性質可求，然后結合余弦定理即可求解．【解答】解：由題意得，因為，由余弦定理可得，解得．故選：．10.已知四面體的所有棱長都等于2，是棱的中點，是棱靠近的四等分點，則等于A． B． C． D．【分析】先根據，再由數量積公式求解即可．【解答】解：如圖：是棱的中點，是棱靠近的四等分點，，空間四面體的每條棱長都等于2，每個面都是等邊三角形，．故選：．【點評】本題考查數量積的求解，屬于基礎題．11.在銳角中，，、的對邊長分別是、，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】確定的范圍，利用正弦定理化簡表達式，求出范圍即可．【解答】解：在銳角中，，，，，可得，所以，，，所以由正弦定理可知：，故選：．12.．已知是定義在上的偶函數，且（2），當時，，則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】構造函數，由已知判斷的奇偶性，利用導數判斷的單調性，將不等式轉化為，即可得出答案．【解答】解：令，是定義在上的偶函數，則，為奇函數，又，當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞增，又（2），（2），（2），不等式，轉化為，即，不等式解集為，，，故選：．13．過點斜率為的直線在軸上的截距為A．2 B． C．4 D．【分析】利用點斜式可得直線方程，令，即可得出直線在軸上的截距．【解答】解：由題意可得直線方程為：，令，解得．故選：．14.若，則．【分析】所求的角用已知角表示，由誘導公式可得三角函數值．【解答】解：因為，所以，故答案為：．15.若的展開式中的常數項是（用數字作答）．【分析】先用二項式系數的性質得值；再用二項展開式的通項公式求常數項．【解答】解：或，解得，，令得，展開式中的常數項是．故答案為【點評】本題考查二項式系數的性質；二項展開式的通項解決二項展開式的特定項問題．16.若對任意的，，且當時，都有，則的最小值是A． B． C．3 D．【分析】由于時，都有，則，令，則，進而可得在上單調遞增，即可得出答案．高三試題【解答】解：因為時，都有，所以，所以，令，則，又因為對任意的，，所以在上單調遞增，，令得，所以在上，單調遞增，所以，所以的最小值為3，故選：．17.已知是公差不等于0的等差數列的前項和，，是與的等比中項．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前20項和．【分析】（1）由結合等差數列的性質和求和公式可求得，再由是與的等比中項，可求出公差，從而可求出通項公式；（2）由（1）可求出，從而可求出，令，則可得數列是首項為，公差為的等差數列，從而可求得結果．【解答】解：（1）是等差數列，，由，得，則，，設數列的公差為，則由，得，解得（舍去）或．；（2）由（1）知，高三試題令，則，，是首項為，公差為的等差數列，．即數列的前20項和為55．18.已知的內角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，為的中點，，求的面積．【分析】（Ⅰ）由已知及三角形的面積公式可得，，結合正余弦定理進行化簡可求（Ⅱ）由，可得，然后結合余弦定理可求，然后代入三角形的面積公式可求．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因為，所以．（6分）（Ⅱ），，，，又，，，．（12分）19.高三試題20.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．高三試題【分析】（1）易證，再根據平面平面，利用面面垂直的性質定理證明；（2）連接，易證平面．得到，，兩兩互相垂直，則為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，再由求解．【解答】（1）證明：在中，由余弦定理，得，所以，則，即．又因為平面平面，且平面平面，所以平面．又因為平面，所以．（2）解：連接，由（1）可知，故．又，所以．又，所以平面．又平面，所以．又，，所以平面．所以，，兩兩互相垂直．如圖，以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的一個法向量為，則，即令，得．高三試題所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題考查了空間中線面位置關系，考查了推理能力，屬于中檔題．21.已知等差數列前項和為，數列是等比數列，，，，．（1）求數列和的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，求．【分析】（1）直接利用等比數列和等差數列的性質建立方程組，進一步求出數列的通項公式；（2）利用（1）的結論，進一步利用乘公比錯位相減法和裂項相消法的應用求出數列的和．【解答】解：（1）設公差為的等差數列前項和為，數列是以公比為的等比數列，，，，，所以，解得；故，．（2）由（1）得：，整理得；所以，令，①；，②；①②得：，整理得，故，整理得．高三試題22.．已知函數．（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）若，恒成立，求的取值范圍．【分析】（Ⅰ）將代入中求導后判斷單調性，再求出最值即可；（Ⅱ）若，恒成立，則恒成立