本文格式為Word版，下載可任意編輯——剛體力學基礎習題思考題習題5

5-1．如圖，一輕繩跨過兩個質量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉動慣量均為mr/2，將由兩個定滑輪以及質量為2m和m的重物組成的系統從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內的張力。解：受力分析如圖，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄②(T2?T)r?J?┄③(T?T1)r?J?┄④

a?r?，J?mr2/2┄⑤

111mg。聯立，解得：a?g，T?48T

5-2．如下圖，一均勻細桿長為l，質量為m，平放在摩擦系數為?的水平桌面上，設開始時桿以角速度?0繞過中心O且垂直與桌面的軸轉動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經過多長時間桿才會中止轉動。解：（1）設桿的線密度為：??m，在桿上取l一小質元dm??dx，有微元摩擦力：

df??dmg???gdx，

微元摩擦力矩：dM???gxdx，

考慮對稱性，有摩擦力矩：

1M?2???gxdx??mgl；

4t0d?，有：??Mdt??Jd?，0?0dt11?l??mglt??ml2?0，∴t?0。4123?g1ml2，或利用：?Mt?J??J?0，考慮到??0，J?12?l有：t?0。

3?gl20（2）根據轉動定律M?J??J

5-3．如下圖，一個質量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯，繩子的質量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設定滑輪質量為M、半徑為

R,其轉動慣量為MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，

下落速度與時間的關系。

解：受力分析如圖，可建立方程：

mg?T?ma┄①

TR?J?┄②

1mR2┄③22mgMmg聯立，解得：a?，T?，

M?2mM?2mvtdv2mg2mgtdt，有：v?考慮到a?，∴?dv??。

00dtM?2mM?2ma?R?，J?

5-4．輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質量為M/4，均勻分布在其邊緣上，繩子A端有一質量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對O軸的轉動慣量J?MR/4，設人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求B端重物上升的加速度？

解：選人、滑輪與重物為系統，設u為人相對繩的速度，v為重

2du?0，系統對軸的角動量為：dt1M3L?MvR?M(u?v)R?(R2)??MvR?MuR442(B物體)(人)(A物體)?13而力矩為：M??MgR?MgR?MgR，

44dL3d3g(MvR?MuR)，∴a?。根據角動量定理M?有：MgR?dt4dt22物上升的速度，注意到u為勻速，

5-5．計算質量為m半徑為R的均質球體繞其軸線的轉動慣量。3m解：設球的半徑為R，總重量為m，體密度??，34?R考慮均質球體內一個微元：dm??rsin?drd?d?，由定義：考慮微元到軸的距離為rsin?

2rsin??r?J??(rsin?)2dm，有：

J??2?0??0?R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?

R01?2???r55?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。5

5-6．一輕彈簧與一均勻細棒連接，裝置如下圖，已知彈簧的勁度系數k?40N/m，當??0時彈簧無形變，細棒的質量m?5.0kg，求在??0的位置上細棒至少應具有多大的角速度?，才能轉動到水平位置？

解：以圖示下方的三角樁為軸，從??0~??90時，考慮機械能守恒，那么：??0時的機械能為：

0l11mg?(重力勢能)?（ml2）?2(轉動動能)，

2231??900時的機械能為：kx2

2l112122有：mg??（ml）??kx

2232?1根據幾何關系：(x?0.5)2?1.52?12，得：??3.28rad?s

5-7．如下圖，一質量為m、半徑為R的圓盤，可繞O軸在鉛直面內轉動。若盤自靜止下落，略去軸承的摩擦，求：

（1）盤到虛線所示的鉛直位置時，質心C和盤緣A點的速率；（2）在虛線位置軸對圓盤的作用力。解：（1）設虛線位置的C點為重力勢能的零點，

下降過程機械能守恒，

113J?2，而J?mR2?mR2?mR22224g4Rg16Rg∴??vc?R??vA?2R??33R372（2）Fy?mg（重力）?mR?（向心力）?mg，方向向上。3有：mgR?

5-8．如下圖，長為l的輕桿，兩端各固定質量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內轉動，轉軸O距兩端分別為l和

132l．輕桿原來3靜止在豎直位置。今有一質量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以

1v0的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。2解：根據角動量守恒，有：

2122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?

32333422221有：(l?l)??v0l?v0l

99333v∴??0

2l

5-9．一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數為?)，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉動。開始時，圓盤靜止，一質量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；（2）經過多少時間后，圓盤中止轉動。(圓盤繞通過O的豎直軸的轉動慣量為

1MR2，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。)2122解：（1）利用角動量守恒：mvR?MR??mR?

22mv得：??；

(2m?M)RM（2）選微分dm??rdrd?，其中：面密度??，2?RRM2Mf???grdm???gr2πrdr??MgR

0?R232122∴由Mf??t?J???有：?MgR??t?(MR?mR)??0，

322?M?2m?R?

4?Mg2mv3mv將??代入，即得：?t?。

2?MgM?2mR??知：?t?

5-10．有一質量為m1、長為l的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數為?的水平桌面上，它可繞通過其端點O且與桌面垂直的固定光滑軸轉動。另有一水平運動的質量為m2的小滑塊，從側面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后

??的速度分別為v1和v2，如下圖。求碰撞后從細棒開始轉動到中止轉動的過程所需的時間。

1m1l2)3??解：由碰撞時角動量守恒，考慮到v1和v2方向相反，以逆時針為正向，有：

(已知棒繞O點的轉動慣量J?3m2(v1?v2)1m2v1l?m1l2??m2v2l，得：??3m1l又∵細棒運動起來所受到的摩擦力矩可由積分求得：

m11d?gxdx??m1gl，利用?Mf?J，有：0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3，得：。t??dt???0??13?g?m1g?m1gl2Mf???l

5-11．如下圖，滑輪轉動慣量為0.01kg?m，半徑為7cm；物體的質量為5kg