本文格式為Word版，下載可任意編輯——復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案（全）習(xí)題一答案

1．求以下復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：

i1（2）

(i?1)(i?2)3?2i13i821（3）?（4）?i?4i?i

i1?i13?2i解：（1）z?，?3?2i1332因此：Rez?,Imz??，

13131232z?,argz??arctan,z??i

3131313ii?3?i??（2）z?，

(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??,Imz?，

10101131z?,argz???arctan,z???i

310101013i3?3i3?5i（3）z??，??i??i1?i2235因此，Rez?,Imz??，

323453?5iz?,argz??arctan,z?

232821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i

（1）

因此，Rez??1,Imz?3，

z?10,argz???arctan3,z??1?3i

2．將以下復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：（1）i（2）?1?（4）r(cos?解：（1）i3i（3）r(sin??icos?)

?isin?)（5）1?cos??isin?(0???2?)

?cos?2?isin?2?2?e

i2?i223（2）?1?3i?2(cos??isin?)?2e

33（3）r(sin?（4）r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i?isin??2sin2??(??)i2?

（5）1?cos???2isincos222???i?2sin[cos2（1）(????2?isin??????2]?2sine22

3．求以下各式的值：

3?i)5（2）(1?i)100?(1?i)100

(cos5??isin5?)2(1?3i)(cos??isin?)（3）（4）

(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?)（5）3i（6）解：（1）(51?i3?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]5

66??5?5??2(cos(?)?isin(?))??16(3?i)

66（2）(1?i)100?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251

(1?3i)(cos??isin?)（3）

(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)332[cos(?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44????

?2[cos(??12)?isin(??12)](cos2??isin2?)

?2[cos(2???12)?isin(2???12)]?2e(2???12)i

(cos5??isin5?)2（4）3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19?cos(?9?)?isin(?9?)（5）3i?cos3?2?isin?2?31?i,k?0??22?311?1??i,k?1?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i,k?2??（6）1?i?2(cos??isin)44?i?4?81?1??2e,k?04?2[cos(?2k?)?isin(?2k?)]???2424??42e8i,k?1?4．設(shè)z1?z1?i,z2?3?i,試用三角形式表示z1z2與1

z22解：z1?cos??isin,z2?2[cos(?)?isin(?)]，所以

4466???z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin)，46461212z11????15?5??[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin)z224646212125．解以下方程：（1）(z?i)5???????1（2）z4?a4?0(a?0)

?51,由此

解：（1）z?iz?51?i?e（2）z2k?i5?i，(k?0,1,2,3,4)

?4?a4?4a4(cos??isin?)時(shí)，對(duì)應(yīng)的4

11,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)]，當(dāng)k?044個(gè)根分別為：aaaa(1?i),(?1?i),(?1?i),(1?i)22226．證明以下各題：（1）設(shè)z?x?iy,則x?y2?z?x?y

證明：首先，顯然有其

次

z?x2?y2?x?y；

，

因

x2?y2?2xy,

固此有

2(x2?y2)?(x?y2),從而

z?x?y?222x?y22。

2（2）對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)

2證明：驗(yàn)證即可，首先左端?(x1?x2)而右端??(y1?y2)2，

x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]

?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2，

由此，左端=右端，即原式成立。（3）若a?bi是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程a0zn?a1zn?1???an?1z?a0?0

的一個(gè)根，那么a?bi也是它的一個(gè)根。

證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，zn?(z)n，由此得到：a0(z)n?a1(z)n?1???an?1z?a0?0

由此說(shuō)明：若z為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，則z也是。結(jié)論得證。（4）若

a?1,則?b?a,皆有

a?b?a

1?ab證明：根據(jù)已知條件，有aa?1，因此：

a?ba?ba?b1????a，證畢。

1?abaa?ab(a?a)baa?b（5）若a?1,b?1，則有?1

1?ab證明：

a?b?(a?b)(a?b)?a?b?ab?ab，

2222221?ab?(1?ab)(1?ab)?1?ab?ab?ab，由于

a?1,b?1，所以，

2a?b?a22220，b?1?(1?a)(b?1)?222a?b因而a?b?1?ab，即?1，結(jié)論得證。

1?ab7．設(shè)

z?1,試寫(xiě)出訪zn?a達(dá)到最大的z的表達(dá)式，其中n為正整數(shù)，a

為復(fù)數(shù)。

解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有

zn?a?zn?a?1?a，

n為此，需要取zzn?a達(dá)到最大，

在上面兩個(gè)不等式都取等號(hào)時(shí)

na與a同向且z?1，即z應(yīng)為a的單位化向量，由此，z?，

ann