隱函數存在定理在幾何方面的應用.隱函數存在定理在幾何方面的應用./隱函數存在定理在幾何方面的應用.§11.4.隱函數存在定理在幾何方面的應用一、空間曲線的切線與法平面設空間曲線C的參數方程是x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈I（區間）.它們在區間I可導，且?t∈I,有x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)（即≠0x'(t),y'(t),z'(t)不一樣時為0）.取定t0∈I，對應曲線C上一點P0(x0,y0,z0)=P0[x(t0),y(t0),z(t0)].任取改變量?t≠0，使t0+?t∈I，對應曲線C上另一點P1(x0+?x,y0+?y,z0+?z)=P1[x(t0+?t),y(t0+?t),z(t0+?t)].由空間分析幾何知，過曲線C上兩點P0與P1割線方程是或x-x0y-y0z-z0==,?x?y?zx-x0y-y0z-z0==.?x?y?z?t?t?t當點P1沿曲線C無窮趨近于點P即?t→0，割線P0P1的極限地點就是曲0時，線C上點P0的切線.于是，曲線C上點P0的切線方程是x-x(t0)y-y(t0)z-z(t0)==.x'(t0)y'(t0)z'(t0)切線的方向向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]稱為曲線C在點P0的切向量.一個平面經過空間曲線C上一點P且與過點P稱此0的切線垂直，0(x0y0,z0)，平面是空間曲線C在點P0的法平面.如圖11.4.于是切線的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一點P(x,y,z)，則向量P0P=(x-x0,y-y0,z-z0)與切線的切向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]垂直，即(x'(t0),y'(t0),z'(t0))?(x-x0,y-y0,z-z0)=0.由向量的內積（向量的數目積）公式，法平面的方程是1x'(t0)(x-x0)+y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0或x'(t0)[x-x(t0)]+y'(t0)[y-y(t0)]+z'(t0)[z-z(t0)]=0.在t0=例1.求螺旋線x=acost,y=asint,z=btπ3處的切線方程與法線方程.解：x'=-asint,y'=acost,z'=b.切線方程是x-acosπ=y-asinacosπ=z-bbπ.-asinx-33ayz-b.==即b2法線方程是?a?a???π?x-?+y-+bz-b?=0.???2?2???3?設三維歐氏空間R3的曲線C是由函數方程組F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0上所確立，即曲線C是這兩個曲面的交線.在空間曲線C上任取一個定點P(x0,y0,z0)，即F1(x0,y0,z0)=0與F2(x0,y0,z0)=0.設F1(x,y,z)與F2(x,y,z)對x,y,z的偏導數在點P的鄰域內都連續，且?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)不一樣,,?(x,y)P?(y,z)P?(z,x)P時為零，不防設?(F1,F2)≠0根.據§11.1定理4，在點x0某鄰域，空間曲線C?(y,z)P可表為y=y(x)與z=z(x).于是，空間曲線C可表為以x為參數的參數方程x=x,y=y(x),z=z(x).dydzdydz,)，下邊求,.dxdxdxdx進而，空間曲線C在點P的切線向量是T(1,由隱函數的求導公式，有??F1?F1dy?F1dz??x+?ydx+?zdx=0,???F2+?F2dy+?F2dz=0.??ydx?zdx??x?(F1,F2)?(F1,F2)dydz?(z,x)?(x,y)=解得，=.dxdx1212?(y,z)?(y,z)由切線方程的公式，三維歐氏空間R3曲線C在點P(x0,y0,z0)的切線方程是x-x0y-y0z-z0==1?(F1,F2)?(F1,F2)?(z,x)P?(x,y)P?(F1,F2)?(y,z)P?(F1,F2)?(y,z)P或x-x0y-y0z-z0.（1）==?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P三維歐氏空間R3曲線C在點P(x0,y0,z0)的法平面方程是?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0.（2）?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P例2.求曲線x2+y2+z2=6,x+y+z=0在點P(1,-2,1)的切線方程與法平面方程.解：F1=x2+y2+z2-6,?F1=2x,?x?F2=1,?xF2=x+y+z.?F1=2z,?z?F2=1.?z?F1=2y,?y?F2=1,?y?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)=-6=0=6?(y,z)p?(z,x)p?(x,y)p由公式（1）與（2），曲線在點P(1,-2,1)的切線方程與法平面方程分別是x-1y+2z-1==.-606與-6(x-1)+6(z-1)=0或x-z=0.二、曲面的切平面與法線設三維歐氏空間R3曲面S的方程是z=f(x,y),(x,∈y)（地區）D由§10.3定理3知，若二元函數z=f(x,y)在點(x0,y0)∈D可微，則曲面S上點M(x0,y0,z0)(z=f(x0,y0))的切平面方程是fx'(x0,y0)(x-x0)+fy'(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0,即切平面的法向量是n(fx'(x0,y0),fy'(x0,y0),-1).于是，法線方程是x-x0y-y0z-z0==.fx'(x0,y0)fy'x(0y,0)-1設曲面S的方程是F(x,y,z)=0.在曲面S上任取一點M(x0,y0,z0)，即F(x0,y0,z0)=0.若三元函數F(x,y,z)全部的偏導數在點M的鄰域連續，且?F?F?F?F,,在點M不一樣時為零.設?x?y?z?z≠0根.M據§11.1定理2，在點(x0,y0)的某鄰域，曲面S可表為z=f(x,y),0z=f(0x,0y).求曲面S上點M(x0,y0,z0)的切平面方程.第一求曲面S在點M的法向量n(fx'(x0,y0),fy'(x0,y0),-1).由隱函數求導數公式，有?F?F?z+=0,?x?z?x?F?F?z=0.?y?z?y?F?z解得=fx'(x,y)=-?x?z?F?z?y,=fy'x(y,=-)?y?z.由切平面方程公式，曲面S上點M(x0,y0,z0)的切平面方程是4?F-?F?zM?F?y(x-x)-0?F?z(y-My-)(-zz=)0,或?F?x(x-x0)+M?F?yy(-y0+)M?F?zz(-z0=)M（3）曲面S上點M(x0,y0,z0)的法線方程是x-x0y-y0z-z0（4）==?F?F?F?xM?zM?yM2323例3.求曲面x+y+z=a上在點P(x0,y0,z0)的切平面方程與法線方程.解：F(x,y,z=)232323x+23y+23z-a.2311--2-122Fx'=x3,Fy'=y3,Fz'=z3.333于是，曲面在點P(x0,y0,z0)的切平面方程與法線方程分別是x0(x-x-0y)+z(-z0)+y0(y與x-x0x013-13-13131300z)==y-0y=1y03130z-0z1z03130或x0(x-x-0y)=z(-z0z).0)=y(y3.設曲面S是參數方程x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D（地區）.取定一點Q(u0,v0)∈D，對應曲面S上一點M(x0,y0,z0)，即x0=x(u=0,v0),y0y(uv),=z0,00,v).z(0u若上述函數組的全部偏導數在點Q(u0,v0)的鄰域都連續，且?(x,y)?(y,z),,?(u,v)Q?(u,v)Q?(z,x)?(x,y)≠0根.據§11.1定理

3的推論，函數組不一樣時為

0.不如設?(u,v)Q?(u,v)Qx=x(u,v),y=y(u,v)在點(x0,y0)鄰域存在有連續偏導數的反函數組

u=u(x,y)，v=v(x,y).將它們代入z=z(u,v)之中，有[u(x,y),v(x,y)z=z求曲面S上點M(x0,y0,z0)的切平面方程.第一求曲面S在點M的法向量'n(z'x(x0,y0),zy(x0,y0),-1).由隱函數的求導法例（注意，z是x，y的函數，而x，y又是u，v的函數），有??z?z?x?z+??u=?x?u?y?????z??z=?z?x+???v?x?v?y?(y,z)?z?(u,v)=,解得?(x,y)?x?(u,v)--?y,vy.v?z(x,)?z?u(v,)=.?(x,y)?y?(u,v)由切平面方程公式，曲面S在點M(x0,y0,z0)的切平面方程是-?(y,z?(u,vQ-(y-y0)+?z(x,)?u(v,Q)z-z0=?(x,y?(u,vQ?x(y,)?u(v,Q)y(-y0)或?(y,z?(z,)?x(y,)0（5）(x-x)(y-y)(z-0z)=00?(u,vQ?(u,Q)?u(v,Q)曲面S在點M(x0,y0,z0)的法線方程是x-xy-0y0==?(y,z?(z,)??(u,vQ?(u,Q)?z-0z.（6）x(y,)u(v,Q)例4.求曲面x=u+v,y=u2+v2,z=u3+v3在點Q(0,2)對應曲面上的點的切平面方程與法線方程.解：點Q(0,2)對應曲面上