20202021學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，從而推出所求函數(shù)的值域.【詳解】解：由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：，則，故值域?yàn)?故選：C.2．若，則下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知，且，于是可以推出得到最大數(shù)和最小數(shù),而為正、負(fù)、零均有可能，所以每個(gè)選項(xiàng)代入不同的,逐一驗(yàn)證.【詳解】且.當(dāng)時(shí),,則,與已知條件矛盾,所以必有,同理可得.A項(xiàng),當(dāng),,時(shí),,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),，即，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),時(shí),,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),，即，故D項(xiàng)正確.故選：D3．已知函數(shù)，若，則是（）A．奇函數(shù)，在上為嚴(yán)格減函數(shù)B．奇函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)C．偶函數(shù)，在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增D．偶函數(shù)，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減【答案】B【分析】由可知為奇函數(shù),利用奇偶函數(shù)的概念即可判斷設(shè)的奇偶性,從而得到答案.【詳解】為奇函數(shù),又是奇函數(shù),可排除C,D.又在上單調(diào)遞增.故選：B4．設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、填空題5．已知全集，則_________.【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出補(bǔ)集即可.【詳解】解：，則.故答案為：.6．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則_________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?67．已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【分析】先由冪函數(shù)的定義求出，再檢驗(yàn)得解.【詳解】依題意得，解得．此時(shí)，其圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，符合題意，因此實(shí)數(shù)m的值為2．故答案為:8．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)的充要條件是_________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，建立對(duì)稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間為嚴(yán)格減函數(shù)，所以二次函數(shù)對(duì)稱軸，故答案為：9．函數(shù)的定義域?yàn)開________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.【詳解】，，解得所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?0．設(shè)函數(shù)f（x），若f（α）＝9，則α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】對(duì)函數(shù)值進(jìn)行分段考慮，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案為：﹣9或3【點(diǎn)睛】本題考查由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量，屬簡(jiǎn)單題.11．若函數(shù)在上的最大值為，則其最小值為_________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，解得，當(dāng)，，故答案為：12．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，若，則的值是______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的解析式，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，又函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）與圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則；（2）與關(guān)于軸對(duì)稱，則；（3）與關(guān)于軸對(duì)稱，則；13．如果關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求得最小值為8，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】因?yàn)楸硎緮?shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3和5對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值為8，故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有解，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為，

故答案為：．14．若定義在上的奇函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，則使得成立的的取值范圍是_________.【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)，分別求出和的解集，再分別討論當(dāng)和時(shí)的解集即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且有，則在上是也嚴(yán)格遞增，且，所以的解集為：；的解集為：，則當(dāng)時(shí)，的解為，當(dāng)時(shí)，的解為故成立的的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：類似求或求的解集的問題，往往是根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性先求出或的解，再結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.15．函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】函數(shù)的值域?yàn)椋茨苋”橐磺姓龑?shí)數(shù)，利用均值不等式求解即可.【詳解】設(shè)，由的值域?yàn)镽，知可以取所有的正值，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的值域?yàn)椋灾恍铦M足即可，即故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出的值域，由題意知能取遍一切正實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為的值域包含是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)滿足條件：①都在函數(shù)的圖象上；②關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)，則的“友好點(diǎn)對(duì)”有個(gè).【答案】2【詳解】解：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，只須作出函數(shù)y=2x2+4x+1（x＜0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)y="2"/ex（x≥0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．如圖，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2．即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．故答案為2三、解答題17．已知函數(shù).（1）若實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不需要過程)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）或.【分析】（1）求出的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性寫出的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論，，不同范圍下的最值，解出.【詳解】解：（1）時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，，解得：當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且對(duì)稱軸為，，解得：綜上所述：或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.思路點(diǎn)睛：（1）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：分別判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的原則寫出單調(diào)區(qū)間即可；（2）的最高次項(xiàng)系數(shù)為，不一定為二次函數(shù)，需討論與0的關(guān)系；18．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）求證：中至少有一個(gè)不小于.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用絕對(duì)值的意義，分類討論，即可求不等式的解集；（2）利用反證法證明即可．【詳解】（1）當(dāng)a＝1時(shí)，|2x－1|≤x＋2，化簡(jiǎn)可得或解得或綜上，不等式的解集為).(2)證明：假設(shè)都小于，則，前兩式相加得－<a<與第三式<a<矛盾.因此假設(shè)不成立，故中至少有一個(gè)不小于.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明至少、至多類命題時(shí)，考慮反證法是解題的關(guān)鍵，首先要根據(jù)題意恰當(dāng)反設(shè)，正常推理，尋求矛盾是重點(diǎn)，屬于中檔題.19．研究表明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時(shí)，稱學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到1分鐘）【答案】（1）；（2）14分鐘.【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得和上的解析式，即可求解；（2）當(dāng)和時(shí)，令，求得不等式的解集，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因?yàn)椋裕裕?dāng)時(shí)，，由，解得，所以，綜上，函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），所以，當(dāng)時(shí)，令，得，所以，所以學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時(shí)間長(zhǎng)為分鐘.20．已知(?)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當(dāng)時(shí)，的值域是，求實(shí)數(shù)與的值.【答案】（1）；（2）時(shí)在上嚴(yán)格減；時(shí).在上嚴(yán)格增；（3）.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立關(guān)于m的等式關(guān)系，解之即可；（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究真數(shù)的單調(diào)性，討論a的取值，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定；（3）先求函數(shù)的定義域，討論（n，a﹣2）與定義域的關(guān)系，然后根據(jù)單調(diào)性建立等量關(guān)系，求出n和a的值．【詳解】（1）∵函數(shù)（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．∴f（﹣x）+f（x）＝0即，所以，即解得，當(dāng)時(shí)，無意義，舍去.故.（2）由（1）及題設(shè)知：，設(shè)，∴當(dāng)x1＞x2＞1時(shí)，∴t1＜t2．當(dāng)a＞1時(shí)，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．（3）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①當(dāng)n＜a﹣2≤﹣1時(shí)，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知（無解）；②當(dāng)1≤n＜a﹣2時(shí)，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知得，n＝1．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任取；（2）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù).21．若函數(shù)的定義域?yàn)椋希舸嬖诜橇銓?shí)數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的增長(zhǎng)函數(shù).(1)已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，并說明理由；(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；(3)如果是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且為上的增長(zhǎng)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是，不是，理由見解析；(2)；(3).【分析】(1)利用給定定義推理判斷或者反例判斷而得；(2)把恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，再求函數(shù)最小值而得解；(3)根據(jù)題設(shè)條件，寫出函數(shù)f(x)的解析式，再分段討論求得，最后證明即為所求.【詳解】(1)g(x)定義域R，，g(x)是，取x=1，，h(x)不是，函數(shù)是區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，函數(shù)不是；(2)依題意，，而n>0，關(guān)于x的一次函數(shù)是增函數(shù)，x=4時(shí)，所以n28n>0得n>8，從而正整數(shù)n的最小值為9；(3)依題意，，而，f(x)在區(qū)間[a2,a2]上是遞減的，則x，x+4不能同在區(qū)間[a2,a2]上，4>a2(a2)=2a2，又x∈[2a2，0]時(shí)，f(x)≥0，x∈[0，2a2]時(shí)，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，當(dāng)x=2a2時(shí)，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即1<a<1.因?yàn)椋寒?dāng)4a2<4時(shí)，①x+4≤a2，f(x+4)>f(x