精品精品第六章量綱分析和相似原理答案6-1由實驗觀測得知，如圖6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q與堰上水頭H、重力加速度g、堰口角度9以及反映水舌收縮和堰口阻力情況等的流量系數m0(量綱一的量)有關。試用n定理導出三角形堰的流量公式。解：f(Q,H,g,9,m)=00選幾何學的量H,運動學的量g作為相互獨立的物理量，有3個n項。n=HaigAQ,p=Ha?gb2q,n=Ha§g%m230對兀J其量綱公式為L0T0M0=La1(LT-2)b1L3T-1L:0=a+B+3,T:0=—2p—11151解出?1=—，P1=—，則可得對n，其量綱公式為2L0T0M0=La2(LT-2)b2L:0=a+p，T:0=—2p22聯立解上述方程組，可得a=0,p=0，丫=0，則可得22n=q2對兀，其量綱公式為3L0T0M0=La3(LT-2)b3L:0=a+p，T:0=—2p則可得33則可得聯立解上述方程組，可得a=0,p=0，丫3=0，33330F(30F(n，兀，兀123)=0F(,q,m)=0或=F(q,m)50510gH2gH2Q=F(9,m)i：gH:0v

式中，0要視堰口的實際角度而定，量綱一的量m0要由實驗來確定。第十章三角形薄壁堰的理論分析解Q=4mtan戶2與上式形狀相同。6-2根據觀察、實驗與理論分析，認為總流邊界單位面積上的切應力to,與流體的密度P、動力粘度卩、斷面平均流速v斷面特性幾何尺寸（例如管徑d、水力半徑R）及壁面粗糙凸出高度A有關。試用瑞利法求匕的表示式；若令沿程阻力系數九=8f（Re,彳）,解：T=kra1ma2va3da4Da5012345將上式寫成量綱方程形式后得dimt=ML-iT-2=(ML-3)3(ML-iT-i)^(LT-1)込(L)%(L)迅0根據量綱和諧原理可得：M:1=a+ai2L:—1——3a—(X+a+a+a12345T:—2——X—X23選a、a為參變量，聯立解上述方程組可得：a—a—1,a—2—a,TOC\o"1-5"\h\z51323a——2+a—a。35將上面求得的指數代入指數乘積形式的關系式可得：T—k卩込-1卩2-込Va3d-2+込—a5Aa50333355v2QP—pv，又因va3=,故a5PV2〒丿a5PV2〒丿—k2—a3a5廠—f(Re,d)pv2Re2—a3d若令九-8f（Re,號），代入上式可得d九T=—PV2086-3試用n定理求習題6-2中的匕表示式。解：f(t,p，卩,V,d,A)—000選取d、V、P為基本物理量，因此有三個n項n—da1v卩］10n—da2v卩2pv2P2n—da3v卩3pv3A3先求ni，其量綱式為dimn—L^1(LT-1)P1(ML-3)Y1(ML-1T-2)1L:0—a+P—3丫一111T:0——P—21M:0—v+11

0PV2解上述方程組可得：卩=一2,丫=—l,a=0,所以有兀0PV2再求111再求n2其量綱式為dimn二(L)叫(LT-1)P2(ML-3)2(ML-1T-1)2L:0二a+B—3丫一122T:0=—B一12M:0=y+12解上述方程組可得：Y=-1,3=—1,a=—1，所以有222〒卩V1n===-dpvvdRe再求n3，其量綱式為dimn=La3(LT-1)B3(ML-3)y3L3L:0=a+3—3丫+133T:0=—33M:0=y3解上述方程組可得：y=0，3=0，a=—1，所以有333An=d由此可得量綱一的量所表達的關系式為f(匕,A)=0pv2Red或卷=f(宓A'或10=f叫即心若令九=8f(Re,A)，則可得九T=—PV2086-4文丘里管喉道處的流速v與文丘里管進口斷面管徑d、喉道直徑d、流體密度P、動力粘度卩及兩斷面間壓差Ap有關，試用n定理求文丘里管通過流量Q的表達式。題6-4圖解：f(v,d,d,P,P,Ap)=0212選取d,v,P三個基本物理量，有三個n項。22n=dv3]pYjd1221n=da2v32Py2P22222

n=da3v卩3py3Ap22解上述方程組可得dd120=0,Y=0,解上述方程組可得dd120=0,Y=0,a=—1，所以有1再求n2L:T:M:0=a+0—3y—12220=—0—120=Y+12解上述方程組可得:Y=—1，2p=v=1

vdpvdRe2222Lia2=—1，所以有再求n3L:T:M:0=a+0—3y—13330=—0—230=Y+13先求n:L:0=a+0—3Y+1111T:0=—01M:10=Y1解上述方程組可得:Y=—1，3Apn=—3pv2由此可得1DpRerv2221221=：2gA,Re）PgT1d=0（〒，Re\.'2gHd1=1=vA224d（，Re）72gHd上式與用伯努利方程推導的結果基本相同，上式中的0（〒,Re）,可由實驗及理論分析d步確定。6-5根據對圓形孔口恒定出流（如圖所示）的分析，影響孔口出口流速的因素有:孔口的作用水頭H（由孔口中心到恒定自由液面處的水深）、孔口的直徑d、液體的密度P、動力粘度卩、重力加速度g及表面張力系數0。試用n定理求圓形孔口恒定出流流量表示式。Ififi-Sm解：f(v,H,p,d,g,RQ)=0選取H,v,P三個基本物理量，有四個nIfifi-Smn二Ha1v卩］py1d1n二Ha2v卩2pv2g2n二Ha3v卩3pv3卩3n=H?4v卩4pv4a4先求ni：L:0=a+P-3v+1111T:0=—01M:0二v1解上述方程組可得：a=—1,0=0,Y=0111dn=-iH再求n,2L:0二a+0—3y+122T:0=—0—22M:0=v2解上述方程組可得：a=1,0=—2,v=0222gH再求n,3L:0=a+0—3v—133T:0=—0—13M:0=v+13解上述方程組可得：a=—1,0=—1,v=—133〒卩vn==—3HvpHv再求n,4L:0=a+0—3v44T:0=—0—24M:0=v+14解上述方程組可得：a=—1,0=—2,v=—1444an=4Hv2p由此可得f（H罟,Hv,話）=0v2HHvHv2pgH二f(7V'WHvHv2p上式中的——及分別為雷諾數及韋伯數的形式，所以可以寫成vCv=0(—,Re,We\.;2gHd因流量Q=vA，所以Q=f(H,Re,We)d4H如果令m=f(—,Re,We)為孔口流量系數，則可得dn4由上式可知，Q與T^gH成比例，且流量系數與—、雷諾數Re、韋伯數We有關，為深入d研究找到了途徑。6-6圓球在實際流體中作勻速直線運動所受阻力F與流體的密度P、動力粘度卩、圓球與流體的相對速度u、圓球的直徑d有關。試用n定理求阻力F的表示式。0D解：f(F,p,卩,u,d)=0D0選取d、叫、P為基本物理量，有二個n項。n=da1u卩］py1F10D兀二da2u直py2卩2202先求niL：0=a+p-3y+1111T:0=—0—21M:0=y+11解上述方程組可得：a=—2,卩=—2,丫=—1，所以有111Fn=d—d2u2p0再求n，2L:0=a+P—3y—1222T:0=—P—12M:0=y+12解上述方程組得：a=—1,卩=—1,y=—1，222pv1n===-dupduRe00F1由此可得F(D)=0d2u2pRe0或F=d2U2pf'(Re)=f(Re)型竺D042n令圓球在U0方向的投影面積A=4d2，而令繞流阻力系數CD=f(Re)，則有F=CA竺DD2上式中的繞流阻力系數CD與雷諾數Re有關，可以對此作進一步的研究。6-7用20°C的水作模型試驗，確定管徑為1.2m煤氣管的壓強損失。煤氣的密度P為40kg/m3，動力粘度卩為0.0002Pa-s，流速v為25m/s。實驗室供水能力是0.075m3/s。問模型該用多大比尺？實驗結果如何轉換成原型的壓強損失？解：可考慮按雷諾準則設計模型，“=弋。n流量比尺入Q因受供水能力限制，需小于或等于0.075m3/s，所以應為九=Q=25倉冊（1.2丿2=376.99QQ40.075mn粘度比尺九=亠，20C水的v=1.003x10-6m2/snnmm卩0.0002/煤氣的v=7=m2/s=5x10-6m2/s，所以九pp40p.九376.99九二嚴==75.62i九4.985v所以，可選取模型長度比尺九廣75.62。注：也可按自模區設計模型，在滿足幾何相似的條件下，選取模型尺寸，使其在現有供水情況下進入阻力平方區。實驗結果轉換成原型的壓強損失為'九丫Appg口丿6-8有一官徑d=15cm的輸油官，官長l=5m，官中通過的原油流量Q=0.18m3/s。現ppp用水來作模型實驗，設模型與原型管徑相同，且兩者流體溫度皆為10C（水的運動粘度v=0.0131cm2/s，油的運動粘度v=0.13cm2/s）,試求模型中的通過流量Q。mmmv=p=018m/s=10.191m/sA0.785x0.152pvd10.191x0.15=pp==117588>105v0.13x10-4p已進入自模區，只要使模型中的雷諾數Re2105,且原型和模型幾何相似即可。mvdRe=—m―m三1。5，mvm、105x0.0131X10-40873/v三=0.873m/smAp=p=i.0O3：O一6=4.985解：原型中的流速原型中的雷諾數Rep0.15Q=vA=0.783x0.785x0.152m/s=0.0154m/smmm6-9在習題6-8情況下，測得模型輸水管長l=5m的兩端壓強水頭差h=匯=3cmommpgm試求原型輸油管長l=100m兩端的壓差高度（以油柱高度表示）是多少？解：研究壓差問題，須滿足歐拉準則，即Dpprv2ppDpmrv2mmvQ因d=d，所以一pppmvQmmm=4.10m(油柱)ApApQ20.03x0.18m=4.10m(油柱)P=mi=PgPgQ20.0.1542pmm原型輸油管長l=100m的兩端壓強差為p算x型=4.10x20m=82m（油柱）Pg5p6-10有一直徑d=20cm的輸油管，輸送運動粘度v=40X10-em2/s的油，其流量pPQ=0.01m3/s。若在模型試驗中采用直徑d=5cm的圓管，試求：（1）模型中用20°C的水pmv=1.003X10-6m2/s）作實驗時的流量；（2）模型中用運動粘度v=17X10-em2/s的空氣mm作實驗時的流量。lplplm0.01x1.003x10-6x5m3/s=6.27x10-5m3/sn,=-^,九=nnlQQQQ=p=曠=p7m九九九VlQVlppQVl0.01x17x10-6x5Q=pmm=m3/s=1.06x10-3m3/smVl40x10-6x2040xlO-40xlO-6x20pp6-11—長為3m的模型船以2m/s的速度在淡水中拖曳時，測得阻力為50N,試求：（1）若原型船長45m，以多大速度行駛才能與模型船動力相似；（2）當原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行時，所需要的拖曳力（海水密度為淡水的1.025倍）。該流動雷諾數很大，不需考慮粘滯力相似，僅考慮重力相似。解：按弗勞德準則設計模型試驗。v=v九=v九1/2=2?I45主m/s7.75m/spmvml桫3■vP13fFMapptPl3vt九=—A=P——A=1=PPPmFFMap13vp13vt13~mmmmpmmtm九=X九3九1/2九-1/2=九九3=1.025x(蘭Yx=1.025x(蘭Yx50N=172.97kNI3丿拖曳力F=XF=XX3FpFmPlm6-12建筑物模型在風速為1Om/s時，迎風面壓強為50N/m2，背風面壓強為一30N/m2。若氣溫不變，風速增至15m/s時，試求建筑物迎風面與背風面壓強（可用歐拉準則）。解：按歐拉準則計算pp——=m—rv2rv2ppmm由于溫度不變r=r，所以pmpP=mv2pv2pm迎風面壓強Pp]=50?桫桫0壬N/m2112.5N/m2背風面壓強P=-30x'15'p22N/m2=-67.5N/m2110丿6-13水庫以長度比尺入廣100做底孔放空模型試驗，在模型上測得的放空時間t=12lm小時，試求原型上放空水庫所需時間t（可用斯特勞哈爾準則和弗勞德準則）。p解：按弗勞德準則和斯特勞哈爾準則計算。vtvt=mm//pm按斯特勞哈爾準則計算：lvt=t+—m=tpmlvmp=12麗小時=120小時=5天按弗勞德準則：九=丑=九=*100=10ttlmt=t?1012?10小時120小時=5天pm6-14在設計高為1.5m，最大行駛速度為30m/s的汽車時，需要確定其正面風阻力，現用風洞進行模型試驗來測定。如果風洞中最大風速為45m/s,試求模型高度應為多少？若在此風速下測得模型的風阻力為1500N，試求汽車在最大行駛速度時，其正面風阻力應為多少？解：按雷諾準則計算，設溫度相同，九=1,九=九-1,九=1，所以有vlF■九九-1=t九九-2=t九2mlvmllml30所以汽車模型高度h=h十=1.5m=1m,mpv45m其風阻力F=F=1500Npm6—15某廢水穩定塘模型長10m，寬2m，深0.2m，模型的水力停留時間為1天，長度比尺入廣10,試求原型的停留時間是多少天。塘中水的運動粘度v=v=1.003X10-6m2/solpm解：先求模型中的雷諾數以判別流態。l10模型流速v=十=mtm模型水力半徑R=模型雷諾數Remnm/s=1.157?10-4m/s1x24x36002'0.2m=0.1667m2+2?0.2v倉％R1.15710-4倉％0.1667==76.