20第20第課直角坐標系下二重積分的計算20直角坐標系下二重積分的計算20直角坐標系下二重積分的計算第課PAGE6 PAGE6PAGE7 PAGE720直角坐標系下二重積分的計算20直角坐標系下二重積分的計算第課

課題直角坐標系下二重積分的計算課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握先對y、后對x的二次積分的計算方法；（2）掌握先對x、后對y的二次積分的計算方法；（3）掌握特殊情形下二重積分的計算方法思政育人目標：通過講解直角坐標系下二重積分的計算，培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：先對y、后對x的二次積分，先對x、后對y的二次積分的計算方法教學難點：特殊情形下二重積分的計算方法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節課：第2節課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結（5min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課考勤

（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解先對y、后對x的二次積分的計算，并通過例題講解其應用如圖11-2所示，如果區域由直線與連續曲線圍成，則稱為型區域，即．圖11-2按照二重積分的幾何意義，二重積分是以為底，以曲面為頂的曲頂柱體體積．下面來計算這個曲頂柱體的體積．如圖11-3所示，在區間上任意取定一點，用平面去截曲頂柱體．設截面面積為，則曲頂柱體的體積為，所以．圖11-3由圖11-3可知，是一個曲邊梯形的面積．對于固定的，此曲邊梯形的曲邊是由方程確定的的一元函數曲線，而底邊沿著軸方向從變到．因此，由曲邊梯形的面積公式得．一般地，過區間上任一點，且平行于面的平面，截曲頂柱體所得截面的面積為，于是得曲頂柱體的體積為．從而．上式右端的積分稱為先對、后對的二次積分（或累次積分），通常寫成，于是，二重積分的計算就化成了計算兩次定積分．第一次計算單積分時，把看成常量，是積分變量；第二次積分時，是積分變量．例1計算下列二重積分：（1），其中

；（2），其中是以

為頂點的梯形閉區域．解（1）．（2）由題意可知，所以，令，則原式．【學生】掌握先對y、后對x的二次積分的計算方法【教師】講解先對x、后對y的二次積分的計算，并通過例題講解其應用若積分區域可表示為，其中，在區間上連續，則稱為型區域，如圖11-4所示．與上節類似，如圖11-5所示，用平行于坐標平面的平面去截以區域為底、以曲面為頂的曲頂柱體，則可以得到，即將二重積分化為先對、后對的二次積分．圖11-4圖11-5例2將二重積分化為二次積分，其中積分區域是由拋物線與直線所圍成的閉區域．解拋物線與直線的交點為，畫出積分區域，如圖11-6所示，它可表示為，于是；也可表示為，于是．圖11-6【學生】掌握先對x、后對y的二次積分的計算方法學習先對y、后對x的二次積分的計算，先對x、后對y的二次積分的計算。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象第二節課知識講解

（20min）【教師】講解特殊情形下二重積分的計算方法，并通過例題介紹其應用（1）若區域是一個矩形，即，則．（2）若區域是一個三角形區域，二重積分的計算見例3．例3計算二重積分，其中是由直線所QUOTEy=1,x=2,y=x圍成的閉區域．解法一，于是．解法二求得三條直線的交點分別為，若把區域看成型區域，則QUOTEy≤x≤21≤y≤2，于是（3）若函數可積，且區域，則．域．解（4）如圖11-7所示，若平行于坐標的直線與區域邊界線的交點多于兩個，則要將分成幾個小區域，使每個小區域的邊界線與平行于坐標軸的直線交點不多于兩個，然后將這些小區域化為型或型區域，再根據積分區域的可加性進行計算．圖11-7（例5～例12詳見教材）【學生】理解特殊情形下二重積分的計算方法學習特殊情形下二重積分的計算方法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學生討論以下問題1．型區域的邊界曲線函數在上的積分必須都用一個算式表示嗎？型區域是否也是這樣呢？若不是，應該如何處理？2．在矩形區域上，若累次積分存在，則式子必相等嗎？3．如果某二重積分的被積區域既是型區域又是型區域，那么如何確定采用哪種積分區域類型來計算該二重積分？【學生】討論、發言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學生對知識點的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課研究了直角坐標系下二重積分的計算方法．其步驟為：①畫出積分區域的草圖；②將積分區域看成型或型區域，確定積分次序；③將二重積分化為累次積分；④逐次計算定積分。課后要多加練習，鞏固認知。【學生】總