28第28第課定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）第課28PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7定積分的應(yīng)用（二）定積分的應(yīng)用（二）第課28

課題定積分的應(yīng)用（二）——定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用、定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）了解定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。（2）了解定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。思政育人目標(biāo)：通過(guò)介紹定積分在物理領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用、定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解定積分在“變力沿直線所做的功”問(wèn)題中的應(yīng)用從物理學(xué)知道，當(dāng)物體在恒力的作用下，沿力的方向做直線運(yùn)動(dòng)，將物體移動(dòng)了距離時(shí)，力所做的功為．但在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算變力所做的功，下面我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明如何計(jì)算變力沿直線所做的功．例1設(shè)40N的力使彈簧從自然長(zhǎng)度10cm拉長(zhǎng)到15cm，問(wèn)需要做多大的功才能克服彈性恢復(fù)力，將伸長(zhǎng)的彈簧從15cm處再拉長(zhǎng)3cm？解如圖7-19所示，根據(jù)胡克定律，有．當(dāng)彈簧從10cm拉長(zhǎng)到15cm時(shí)，它伸長(zhǎng)量為．因有，即，故得．于是可得到，則功元素為．于是，彈簧從15cm拉長(zhǎng)到18cm，所做的功為．圖7-19例2一圓柱形的貯水桶高為5m，底面半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水．試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需做多少功？（水的密度取，重力加速度g取）解如圖7-20所示，作軸，并取深度為積分變量，則它的變化區(qū)間為，相應(yīng)于上任意小區(qū)間的一薄層水的高度為．因此，如果的單位為m，則這薄層水的重力為

，這薄層水被吸出桶外需做的功，即功元素為，于是所求的功為圖7-20【教師】講解定積分在“水壓力”問(wèn)題中的應(yīng)用由物理學(xué)知識(shí)可知：在水深為h處點(diǎn)的壓強(qiáng)為，這里是水的密度，如果有一面積為A的平板水平地放置在水深h處，那么平板一側(cè)所受的水壓力為．如果這個(gè)平板鉛直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)p也不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算．例3一矩形閘門垂直立于水中，寬為10m，高為6m，問(wèn)閘門上邊界在水面下多少米時(shí)，它所受的壓力等于上邊界與水面相齊時(shí)所受壓力的兩倍．解設(shè)所求高度為，建立如圖7-21所示的坐標(biāo)系，任取小區(qū)間，小區(qū)間上壓力元素為．于是，由題意得，即解得．圖7-21【教師】講解定積分在“引力”問(wèn)題中的應(yīng)用由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為，，相距r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為．其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向．計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力時(shí)，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)引力的方向也是變化的，不能直接用上述公式來(lái)計(jì)算，而要結(jié)合微元法來(lái)計(jì)算．例4設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線密度為的均勻細(xì)直棒，在其垂線上距棒單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力．解取如圖7-22所示坐標(biāo)系，使細(xì)棒位于y軸，質(zhì)點(diǎn)M位于x軸，棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，由對(duì)稱性知，引力在垂直方向上的分量為零，所以只需求引力在水平方向的分量．取y為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上取長(zhǎng)為的一小段，其質(zhì)量為，與M相距．于是在水平方向上，引力元素為，則引力在水平方向的分量為．圖7-22【學(xué)生】掌握定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（20min）【教師】講解定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，常常要涉及總產(chǎn)量、總收入、總成本等許多經(jīng)濟(jì)總量，這些總量可由其邊際量通過(guò)積分方法求得．一般地，有以下幾種常見(jiàn)的情況：（1）已知邊際成本，固定成本，則總成本的函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時(shí)，總成本的改變量為或；（2）已知邊際收入，則總收入函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時(shí)，總收入的改變量為或；（3）已知固定成本，邊際利潤(rùn)，則總利潤(rùn)函數(shù)為或產(chǎn)量由變到時(shí)，總利潤(rùn)的改變量為或．例1設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本為，固定成本為50．求總成本函數(shù)．解法一．解法二，又因?yàn)椋裕剩?已知某產(chǎn)品的銷售量為時(shí)，收入變化率為．求（1）銷售量為10時(shí)的總收入；（2）銷售量從20到30時(shí)，總收入是多少？解（1），即銷售量為10時(shí)，總收入為950；（2），即銷售量從20到30時(shí)總收入為750．例3某企業(yè)每月生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位時(shí)，其邊際成本函數(shù)為（單位：萬(wàn)元），固定成本為20萬(wàn)元，邊際收益為（單位：萬(wàn)元）．求：（1）每月生產(chǎn)多少個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大？（2）當(dāng)利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)，再多生產(chǎn)10個(gè)單位，利潤(rùn)將有什么變化？解（1）因?yàn)?/p>

．要使利潤(rùn)最大，應(yīng)有，即，解得．又因，故唯一的駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn)．所以每月生產(chǎn)10個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大．（2）再多生產(chǎn)10個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)變化為，所以，再多生產(chǎn)10個(gè)單位時(shí)，利潤(rùn)將減少250萬(wàn)元．【學(xué)生】掌握定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問(wèn)題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問(wèn)題1．利用微元法計(jì)算實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意什么？2．研究一下微元法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用．【學(xué)生】討論、發(fā)言通過(guò)課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測(cè)驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測(cè)試題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了定積分在物理和經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用。物理上的應(yīng)用包括求變力沿直線所做的功、水壓力和引力；經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用主要介紹了通過(guò)邊際量求相應(yīng)的總產(chǎn)量、總收入、總成本等經(jīng)濟(jì)總量。課后大