柔性耗能防變器外鋼圍環的穩定性分析

船舶碰撞造成的橋梁嚴重破壞和坍塌，給運輸、生物財產和社會環境造成重大經濟損失。設計既能保護橋梁又不導致船舶受到嚴重損壞的防撞裝置受到廣泛重視。陳國虞等設計的柔性吸能防撞裝置,具有大幅消減船舶撞擊力,同時保護橋梁和船舶的功效,已在湛江海灣大橋主橋墩成功采用。為評估大型柔性吸能防撞裝置的防撞效果,全尺度、動態、非線性數值模擬不可缺少。但由于一個完全的非線性動態數值模擬計算量龐大,希望發展一個橋墩防船撞系統的簡化動力學分析方法,對“船舶-防撞裝置-橋墩”的撞擊過程進行預估并準確計算裝置的等效彈性系數。針對以柔性防撞圈為核心元件設計的大型柔性防撞裝置,郭麗娜等建立了一種理想化同心圓橋墩防撞裝置模型,假設外鋼圍為剛性,通過理論分析得到了防撞裝置的等效彈性系數。本文改進提出的模型,考慮外鋼圍彎曲變形特征,建立一個彈性基礎上的封閉曲梁分析模型,將經典的曲梁理論和彈性基礎梁理論結合,分別研究同心圓形狀的橋墩防撞裝置模型在靜態集中力作用下的等效剛度和動態沖擊載荷作用下的動態力學響應特性,為初步了解大型柔性防撞裝置的沖擊變形特征和整體優化設計提供指導性意見。1防護裝置的動態特性新型柔性防撞裝置由外鋼圍、內鋼圍和內外鋼圍之間分布的柔性吸能鋼絲繩圈構成,如圖1(a)所示。其中內鋼圍直接構筑在橋墩上,不可變形,外鋼圍承受船舶撞擊,鋼絲繩圈起緩沖消能作用。為評估防撞裝置的等效剛度和動態響應特性,在如圖1(b)所示的簡化模型中,將內外鋼圍看成圓形封閉型曲梁,內外鋼圍之間的分布柔性防撞圈等效為彈性基礎。根據對稱性取防撞裝置一半進行分析,如圖1(c)所示。2模型中靜態等效剛性的解決方案和分析2.1曲梁微元回歸系數n,keir2,2d3vd3+2+v曲梁微元回歸系數n,ndp3,5+2d3vd3,5+2d3vd3+2+v在外力和彈性地基支撐力qy=-kv/R(比例系數k量綱為[力]/[長度])作用下,外鋼圍發生彎曲變形。小變形情況下,外鋼圍的彎曲變形以鋼圍各點的徑向運動為主,切向運動與轉動可忽略。在極坐標系下,設θ點鋼圍的徑向位移為v(θ),將曲梁(模型)中的一段微元(圖2)(θ～θ+dθ)所有力沿周向s和徑向y方向投影,得到曲梁微元的力和力矩平衡方程組根據曲梁彎矩和轉角關系式Μ=-EΙR2(d2vdθ2+v)M=?EIR2(d2vdθ2+v)(2)經整理得控制方程d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0(3)式中λ2=kR3/EI,反映出柔性基礎(即分布柔性防撞圈)的剛度與外剛圍彎曲剛度比。控制方程(3)是五階常系數常微分方程,設α=√(√1+λ2-1)/2,β=√(√1+λ2+1)/2α=(1+λ2?????√?1)/2?????????????√,β=(1+λ2?????√+1)/2?????????????√,則方程(3)的通解為v=c1+c2e(α+iβ)θ+c3e(α-iβ)θ+c4e-(α+iβ)θ+c5e-(α-iβ)θ(4)其中c1～c5為待定常數,通過邊界條件來確定。2.2鋼架內剪力邊界條件根據實際問題,確定以下邊界條件a)對稱邊界條件:在θ=0處和θ=π處截面轉角為0,即dvdθ|θ=0=0,dvdθ|θ=π=0dvdθ∣∣θ=0=0,dvdθ∣∣θ=π=0(5-1)b)剪力邊界條件:在集中力作用點θ=0,梁的內部剪力大小為外載荷的一半-F/2(考慮方向,見圖2),在θ=π處剪力為0,即Q|θ=0=-F2,Q|θ=π=0Q|θ=0=?F2,Q|θ=π=0(5-2)c)補充邊界條件:由于梁的圓周方向的抗壓縮剛度很大,從0到π范圍內對應的圓弧的圓周周向總變形量近似為0,即∫π0v(θ)dθ=0(5-3)將上述邊界條件(5)代入通解(4),可解得v(θ)的表達式為2.3面形:雙形情況下d根據(6),計算外鋼圍半徑為5,右端點受到單位集中載荷(F=1)作用時,具有不同“彎曲剛度/基礎剛度比”(λ-1)的梁的變形情況,如圖3所示。可以看出,在外力作用下圓形曲梁同時發生向左方的平移和彎曲變形,曲梁的彎曲變形程度受剛度比值大小的影響:對于λ-1=√EΙ/kR3λ?1=EI/kR3???????√較低的情況,梁的彎曲變形更加集中于施加載荷區域,這表明相對于基礎(防撞圈)的支撐剛性而言,梁(外鋼圍)的抗彎剛度較弱,防撞裝置不能夠發揮變形同一性;對于λ-1較大情況,梁的彎曲變形很小,在外力作用下主要發生整體平動。2.4粘彈性體非線性動力系統的簡化縮略令封閉曲梁半徑R→+∞,問題等價于彈性基礎上無限長梁,將弧長坐標s=θR用直角坐標x代替,封閉曲梁沿徑向位移v(x)就是直梁的橫向撓度。將公式(6)改寫為v(θ)=Ρ8EΙ(αR)(βR)(α2R2+β2R2)[-4αβR(α2+β2)π+(αRi+βR)eα+iβRθRe2(α+iβ)π-1-(αRi-βR)eα-iβRθRe2(α-iβ)π-1+(αRi+βR)e-α+iβRθR1-e-2(α+iβ)π-(αRi-βR)e-α-iβRθR1-e-2(α-iβ)π]注意到R→+∞時,α→+∞,β→+∞,令ψ=limR→+∞αR=limR→+∞βR=4√k4REΙ,則上式簡化縮略為無限長彈性基礎上直梁的位移表達式v(x)=limR→+∞v(θR)=Ρe-ψx8EΙψ3[sin(ψx)+cos(ψx)](7)令Κ=kR(即為單位長度的分布彈簧的剛度)統一量綱,(7)結果與高等材料力學教材給出的彈性基礎上無限長梁的結果完全一致,可見封閉環形地基梁的結果(6)可以退化成彈性地基直梁問題,從側面驗證了所得結論的正確性。2.5實行外鋼圍等效剛度的必要性由公式(6),令F=1,載荷作用點(θ=0)處位移即相當于防撞裝置的等效柔度CC=λ28αβk(α2+β2)[-4αβ(α2+β2)π+(αi+β)e-(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e-(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π+(αi+β)e(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π](8)柔度的倒數即為防撞裝置的等效剛度,其無量綱化數值為ˉk=C-1/2πk,根據(8)可計算得到ˉk=C-1/2πk隨λ-1=√EΙ/kR3的變形情況,如圖4所示:在給定半徑R和彈性系數k的情況下,圖4橫坐標表征外鋼圍抗彎曲剛度的大小,而縱坐標表征防撞裝置的等效剛度,可見:1)防撞裝置的等效剛度數值取決于防撞裝置外鋼圍剛度與鋼絲繩圈剛性系數和分布密度的比值,在λ-1=√EΙ/kR3值取較小數值的范圍內(λ-1=0～1),裝置的等效剛度隨外鋼圍剛度增大而增大。2)當外鋼圍剛度趨向無窮大時(即外鋼圍為剛性),裝置等效剛度系數近似為一定值0.5。該值表明,當外鋼圍剛度極大時,裝置的等效剛度恰為全部鋼絲繩圈并聯時的剛性系數的一半。該結論與郭麗娜等人在中研究杭州灣跨海大橋柔性防撞裝置時,假設外鋼圍是剛性,通過理論推導得到的一種理想同心圓橋墩防撞裝置模型的等效平動彈性系數一致。3梁式振動的動態響應3.1慣性力的確定對于封閉曲梁的動態響應,考慮在t=0時刻,對外鋼圍施加一個沖擊載荷F(t)=qH(t),其中H(t)為階躍函數,如圖5所示和靜態情況不同,此時徑向位移是與時間相關的函數,外鋼圍徑向除受基礎力外,還需要考慮單位弧長慣性力-ρl(?2v/?t2)(ρl為外鋼圍的線密度,?2v/?t2表徑向位移引起的加速度,負號表示慣性力向外)。設t時刻θ外鋼圍的徑向位移記為v(θ,t),根據圖2,曲梁徑向力qs=-kv/R-ρld2vdt2|t=tx。將其代入方程組(1),以(θ,t)為空間和時間坐標,得到曲梁微元的力和力矩平衡方程組{?Ν(θ,t)?θ=Q(θ,t)?Q(θ,t)?θ+Ν(θ,t)=kv(θ,t)+ρlR?2v(θ,t)?t2?Μ(θ,t)?θ=Q(θ,t)R整理得到曲梁的動力學控制方程為?5v?θ5+2?3v?θ3+(1+λ2)?v?θ+ρlR4EΙ?3v?t2?θ=0(9)3.2初始條件和邊界條件類似曲梁靜態載荷下邊界條件(5),確定動態載荷作用下邊界條件如下(a)對稱邊界條件?v?θ|θ=0=?v?θ|θ=π=0(10)(b)剪力邊界條件Q(π,t)=0,Q(0,t)=-q2Η(t)(11)(c)補充邊界條件∫π0v(θ,t)dθ=0(12)附加初始條件:在t=0時刻,外鋼圍各點的位移和速度均為零,即v(θ,0)=?v?t(θ,0)=0(13)由此可知,彈性基礎上封閉型梁在沖擊載荷作用下動態響應是一個確定的初邊值問題,其最終控制方程組包括偏微分方程(9)、邊界條件(10～12)和初始條件(13)。3.3鋼圍laplace變換域的解析確定采用Laplace變換方法求解初邊值問題(10～13)。記L[v(t,θ),t→p]=F(p,θ),p為變換域參數。引入變量a1=1λ2=EΙ/kR3(外鋼圍抗彎剛度與彈性基礎剛度之比),a2=k/Rρl(單位弧長彈簧剛度k/R與線密度ρl之比),a3=kR/q(無量綱化外載荷),對(9)和邊界條件(10～12)進行Laplace變換有解方程組(14)得到F(p,θ)的解為其中α′,β′均為p的已知函數。α′=√(√1+1a1+p2a1a2-1)/2β′=√(√1+1a1+p2a1a2+1)/2定義無量綱化位移ˉv(θ,t)≡v(θ,t)/R,Laplace變換為ˉF(p,θ)=L[ˉv(p,θ),t→p]=F(p,θ)/R,則ˉv(θ,t)=L-1[ˉF(p,θ),p→t]。由(15),ˉF(p,θ)的表達式為雖然在Laplace變換域,外鋼圍的位移的變換解可以用解析方程表達(15或16),但是這些解的形式過于復雜,難以通過解析方法得到反變換。為此采用J.Abate和P.P.Valko給出的固定Talbot(FT)的多精度Laplace數值逆變換算法。類似,直接調用FT算法的MATHEMATICA函數,對(16)解進行數值逆變換,即得無量綱化位移ˉv(θ,t)的具體數值。3.4對結果的分析與討論3.4.1外鋼圍振動分析本文研究θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五個特殊點處的振動情況,通過它們來反應整個模型的沖擊動力學特征。由前面分析知道,反映外鋼圍(即模型)特性及載荷的參數有:a1=1λ2=EΙ/kR3,a2=k/ρlR,a3=kR/q。(一)圖6反映的是參數a1(1λ2)(即外鋼圍剛度與柔性基礎剛度相對大小)對模型動態響應的影響,固定a2=1,a3=1,分別取a1=2,1,0.5,觀察以下三圖發現:1.在理想情況下(即只考慮彈性),封閉型曲梁將發生無衰減的振動;2.從θ=0到θ=π,各點起振的時間不同,具有延時現象,反映了彎曲波在曲梁(外鋼圍)中的傳播過程。由波動理論知,當剛度越大(即相對剛度a1越大)彎曲波傳播的速度就越大,延時現象就越是不明顯,以下三圖外鋼圍的相對剛度依次降低,即延時現象越來越明顯,這與圖形顯示情況符合;3.關于θ=π/2對稱的各點振動情況基本相同(具有相同的振幅和頻率),只是初相位(起振時間)不同。可知當兩者相位差較小時,外鋼圍的變形更多的是平動。根據上面結論2,可推知外鋼圍相對剛度a1越大(越硬)變形越不明顯,相對剛度越小變形越明顯,有時將會在θ=0處發生塌陷;4.非對稱點間振動的頻率和振幅皆不同。本文考慮的是各點的徑向振動情況,因此越接近頂部(θ=π/2)的地方抗變形的能力越強,振幅就越小。由圖知a1值(外鋼圍相對剛度)越大,頂部(θ=π/2)的相對振幅越小,振動越不明顯。同時,各非對稱點間振動頻率也隨著a1減小而減小。圖6-a中θ=π/2處頻率將近是θ=0處的4倍,而圖6-b中接近于3倍,圖6-c中卻是2倍;(二)圖7反映的是參數a2(與單位弧長彈簧系數k/R成正比,與線密度ρl成反比)對模型動態響應的影響,固定a1=1,a3=1取a2=2,10,觀察發現:a2越大外鋼圍整體的振動頻率越大,而各點的振幅和振動相對頻率卻不變,和圖(6-b)相同,θ=π/2處的頻率是θ=0處的3倍。可知,a2的取值與外鋼圍整體振動頻率相關,且取值越大整體的振動頻率越大,而與外鋼圍的最大振幅和各點間的相對振動頻率和相對振幅無關。(三)圖8反映的是參數a3(與沖擊載荷的大小和柔性基礎剛度有關)對模型動態響應的影響,固定a1=1,a2=1取a3=5,10畫出θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五點處的位移-時間曲線,如圖8所示。比較圖(8-a)(8-b)(6-b)可發現:a3與各點振動的振幅成正比,當a3擴大5倍時,振幅縮小到原來的1/5,擴大10倍時,振幅縮小到原來的1/10,而外鋼圍的整體頻率和其上各點的相對頻率卻不變。可見a3只與各點振幅相關,而與整體頻率和各點的相對頻率和相對振幅無關。3.4.2外鋼圍振動的頻率和時間分析為了更好地研究外鋼圍的動態響應,取某幾個時刻分析外鋼圍的整體位移。由3.4.1可知外鋼圍整體振動的周期約為6,故取t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六個時刻分析外鋼圍的位置。畫出a1=2,a2=1,a3=0.5三種情形下t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六個時刻的位置如圖9所示。從圖9可以較直觀的看到一個周期外鋼圍的振動情況,比較圖9和圖3可以看出,無論外鋼圍承受靜態載荷還是動態載荷,變形過程中θ=0附近處都產生“凹陷”現象,發生彎曲變形。且隨著外鋼圍剛度的增大,整體彎曲變形越不明顯,發生平動。這和上文中對參數a1分析所得結論3對應。4外鋼圍的動態響應分析本文在柔性防撞裝置的基礎上,提出了彈性基礎上封閉圓環形曲梁模型,利用曲梁理論研究了外鋼圍分別在靜態集中力作用下和沖擊載荷作用下的變形特征。分析得到:1)在靜態集中力載荷作用下,一定范圍內,隨著外鋼圍剛度的增大,裝置等效剛度線性增大。當外鋼圍剛度極大時,裝置等效彈性系數為裝置整體彈性地基系數的一半。該結果與郭麗娜等人在中