高思愛提分演示（KJ)初中數學教師輔導講義[教師版]學員姓名初一1班 年級初一輔導科目初中數學學科教師車勝男上課時間01-1412:00:00-12:30:00 知識圖譜與整式相關的找規律知識精講一．找規律規律探究類的問題考查從特殊到一般的認識水平、運算能力以及對知識的貫通能力，要求學生必須具備邏輯推理能力、觀察歸納能力、猜想驗證能力．考察題型主要有“數字類”、“圖形類”、“計算類”等．掌握探究的一般方法是解決此類問題的關鍵．（1）掌握探究規律的方法，可以通過具體到抽象、特殊到一般的方法，有時通過類比、聯想，還要充分利用已知條件或圖形特征進行透徹分析，從中找到隱含的規律．（2）恰當合理的聯想、猜想，從簡單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經過歸納、提煉、加工，尋找出一般性規律，從而求解問題．解決“規律探索”的題目通常需要以下三個步驟：尋找數量之間的關系——用代數式表示規律——驗證規律。在這過程中我們要要善于觀察與比較，找到題目中隱藏的不變量，分析題目中的變量，善于尋找事物的循環部分，大膽的進行猜想和嘗試。看增幅例：3、8、13、18、23、……求第n個數仔細觀察相鄰兩個數之間有什么關系，從第二個數起，每個數都比前一位數增加5，所以第n個數是：3+5(n-1)即5n-2例：用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖所示的規律拼成若干圖案，那么第n個圖案中，白色地磚共________塊．通過觀察找到圖形的不變量與增幅，第一個圖中有白磚6個，以圖1為基本圖形，后面每個圖都比左邊相鄰的基本圖形多4個白磚，所以第n個圖中有白色地磚6+4(n-1)即4n+2個與序列號有關例：觀察下列各式：，按此規律寫出第10個式子是______這一列式子都是單項式，我們要觀察它們的次數和系數，次數依次是0，1，2，3，4，……即序列號減1；系數依次是0，1，1，2，3，5，8……即每一個系數是前面相鄰兩個單項式系數之和，以此類推第10個式子的系數是34，次數是10-1=9，即例：如圖，是用圍棋棋子按照某種規律擺成的一行“廣”字，按照這種規律，第n個“廣”字中的棋子個數是________“廣”字一共三畫，其中一點固定只需要一個棋子，只有一橫和一撇發生變化，前4個圖的棋子個數依次是：1+3+3，1+4+4，1+5+5，1+6+6，整理一下得到1+2×3，1+2×4，1+2×5，1+2×6，以此類推第5個是1+2×7即15個，1+2×____中橫線上的數始終比序號數（即第幾個圖）大2，所以第n個圖的棋子個數是1+2×(n+2)，即2n+5三點剖析一．考點：數字類、圖形類找規律． 二．重難點：數字類、圖形類找規律．三．易錯點：1．數字類規律是等差數列時，第項計算錯誤．數字類例題例題1、觀察下列一組數：，，，，根據該組數的排列規律，可推出第10個數是________．【答案】【解析】分子為1，2，3，4，5，，第10個數的分子為10，分母為3，5，7，9，11，，第10個數的分母為：，第10個數為：．例題2、觀察下列各算式：，，，，，通過觀察規律，確定的個位數字是（）A.1B.3C.7D.9【答案】A【解析】個位數字分別以3、9、7、1依次循環，，的個位數字與循環組的第4個數的個位數字相同，是1．例題3、觀察下面一列數，，，，，，，……，將這列數排列成下列行式按照上述規律排下去，那么第行從左邊第個數是__________，是第__________行從左邊數第__________個數．【答案】；；．【解析】第一行數的個數是：個,第行共有個數,則前行共有：

個數，第行第一個數是，第個：；前行共有：

個數，，前行共個數，第行：以此類推：是行從左數第個數．例題4、觀察下列各式：……猜想：__________．【答案】【解析】略．例題5、觀察下列各式：（1）你能探索出什么規律？（用文字或表達式）（2）試運用你發現的規律計算：【答案】（1）（2）【解析】（1）；（2）例題6、請觀察下列算式，找出規律并填空：，，，，則：（1）第10個算式是________；（2）第個算式為________；（3）根據以上規律解答下題：【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根據題意知，第10個算式是，（2）第個算式為，（3）原式．例題7、已知一列數：1，，3，，5，，7，...將這列數排成下列形式：按照上述規律排下去，那么第100行從左邊數第5個數是（）A.B.4955C.D.4950【答案】B【解析】∵第n行有n個數，此行第一個數的絕對值為；且奇數為正，偶數為負，∴第100行從左邊數第1個數絕對值為，則第2個數為、第3個數為4953、第4個數為，第5個數為4955．隨練隨練1、如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為100，我們發現第1次輸出的結果為50，第2次輸出的結果為25，…，第2018次輸出的結果為________．【答案】4【解析】由設計的程序，知依次輸出的結果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，發現從8開始循環．則，，故第2018次輸出的結果是4．隨練2、按一定順序排列的一列數叫做數列，如數列：，，，，…，則這個數列前2018個數的和為________．【答案】【解析】由數列知第n個數為，則前2018個數的和為．隨練3、世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示：則排在第10行從左邊數第3個位置上的數是________．【答案】【解析】∵第10行最后一個數是，第9行最后一個數是，第8行最后一個數是∴第9號倒數第二個數是，第十行倒數第二個數是∴第10行倒數第三個數是．根據對稱性可知，第10行從左邊數第3個位置上的數也是．圖形類例題例題1、觀察下列一組圖形中點的個數，其中第一個圖形中共有4個點，第2個圖形中共有10個點，第3個圖形中共有19個點，…按此規律第6個圖形中共有點的個數是（）A.38B.46C.61D.64【答案】D【解析】∵1個圖中點的個數是4=1+×1×2，第2個圖中點的個數是10=1+×2×3，第3個圖中點的個數是19=1+×3×4，…，∴第n個圖中點的個數是1+n（n+1），∴第6個圖中點的個數是：1+×6×7=1+9×7=1+63=64，例題2、如圖所示是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，第n（n是正整數）個圖案中的基礎圖形個數為________（用含n的式子表示）．【答案】3n＋1【解析】觀察可知，第1個圖案由4個基礎圖形組成，4＝3＋1第2個圖案由7個基礎圖形組成，7＝3×2＋1，第3個圖案由10個基礎圖形組成，10＝3×3＋1，…，第n個圖案中基礎圖形有：3n＋1．例題3、根據如圖中箭頭的指向規律，從2013到2014再到2015，箭頭的方向是以下圖示中的（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由圖可知，每4個數為一個循環組依次循環，2012÷4=503，即0到2011共2012個數，構成前面503個循環，∴2012是第504個循環的第1個數，2013是第504個循環組的第2個數，∴從2013到2014再到2015，箭頭的方向是例題4、觀察下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第n個圖形有（）個太陽．A.2nB.n＋2n－1C.n＋2nD.2n【答案】B【解析】第一行小太陽的個數為1、2、3、4、…，第5個圖形有5個太陽，第二行小太陽的個數是1、2、4、8、…、2n－1，第5個圖形有24＝16個太陽，所以第5個圖形共有5＋16＝21個太陽，所以第n個圖形共有（n＋2n－1）個太陽．例題5、如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第塊紙板的周長為，則_____．…………①②③④【答案】【解析】，，例題6、下列圖案是用長度相同的火柴棒按一定規律拼搭而成，圖案①需8根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，…，按此規律，圖案⑦需根火柴棒．【答案】50【解析】∵圖案①需火柴棒：8根；圖案②需火柴棒：8+7=15根；圖案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴圖案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；當n=7時，7n+1=7×7+1=50，∴圖案⑦需50根火柴棒；例題7、如圖，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的正方形有5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有9個，…，按此規律．則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數為（）A.20B.27C.35D.40【答案】B【解析】第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的圖象有2+3=5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個，…，按此規律，第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=個，則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數為2+3+4+5+6+7=27個例題8、如圖所示，每個小立方體的棱長為1，按如圖所示的視線方向看，圖1中共有1個1立方體，其中1個看得見，0個看不見；圖2中共有8個立方體，其中7個看得見，1個看不見；圖3中共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見；…，則第11個圖形中，其中看得見的小立方體個數是（）A.271B.272C.331D.332【答案】C【解析】圖1中，共有1個小立方體，其中1個看得見，0＝（1－1）3個看不見；圖2中，共有8個小立方體，其中7個看得見，1＝（2－1）3個看不見；圖3中，共有27個小立方體，其中19個看得見，8＝（3－1）3個看不見；…，第n個圖中，一切看不見的棱長為1的小立方體的個數為（n－1）3，看見立方體的個數為n3－（n－1）3，所以則第19個圖形中，其中看得見的小立方體有193－183＝331個．隨練隨練1、觀察下列一組數：，…，根據該組數的排列規律，可推出第10個數是．【答案】．【解析】∵分子為1，2，3，4，5，…，∴第10個數的分子為10，∵分母為3，5，7，9，11，…，∴第10個數的分母為：1+2×10=21，∴第10個數為：，隨練2、如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個面積為的矩形．如此進行下去，試利用圖形所揭示的規律計算：．【答案】【解析】借助圖形，不難發現．隨練3、右圖為手的示意圖，在各個手指間標記字母A、B、C、D．請你按圖中箭頭所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）從A開始數連續的正整數：1，2，3，4，…，當數到12時，對應的字母是______；當字母C第201次出現時，恰好數到的數是______；當字母C第次出現時（n為正整數），恰好數到的數是___________（用含n的代數式表示）【答案】B；603；【解析】不難發現，字母的出現規律是A→B→C→D→C→B，循環下去．因此數到12時，對應的字母是B；每個循環中出現2個字母C，因此當字母C第201次出現時，數到的數字應該是；當字母C第次出現時（n為正整數），數到的數字應該是隨練4、如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第n（n是大于0的整數）個圖形需要黑色棋子的個數是．【答案】n（n+2）．【解析】第1個圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個點，重復了3個點，需要黑色棋子2×3﹣3個，第2個圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個點，重復了4個點，需要黑色棋子3×4﹣4個，第3個圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個點，重復了5個點，需要黑色棋子4×5﹣5個，…則第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．故答案為：n（n+2）．隨練5、七年級（1）班的宣傳委員在辦黑板報時，采用了下面的圖案作為邊框，其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰．若一段邊框上有45個黑色六邊形，則這段邊框共有白色六邊形（）A.182個B.180個C.272個D.270個【答案】A【解析】根據題意分析可得：每增加一個黑色六邊形，則需增加4個白色六邊形．此鏈子共有個白色六邊形，若鏈子上有45個黑色六邊形，則鏈子共有白色六邊形個．隨練6、如圖所示，用圓圈拼成的圖案，圖1由一個圓環組成，圖2由5個圓圈組成，圖3由13個圓圈組成，依此規律，第8個圖案一共由________個圓圈組成，第n個由________個組成．【答案】113；【解析】圖1由一個圓環組成：圖2由5個圓圈組成：圖3由13個圓圈組成：依此規律，第8個圖案：第n個由，拓展拓展1、觀察下面的一列單項式：；；；，根據你發現的規律，第個單項式為________．【答案】【解析】∵；；；；第個單項式為拓展2、意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，…，請根據這組數的規律寫出第10個數是（）A.25B.27C.55D.120【答案】C【解析】，，，，，，，．所以第10個數是55．拓展3、有一組數：則這組數的第8個為________，第n個數為________（用含n的代數式表示）【答案】，【解析】根據數據可知，這組數的第8個為，第n個數為拓展4、從1開始得到如下的一列數：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一個數加上自己的個位數，成為下一個數，上述一列數中小于100的個數為（）A.21B.22C.23D.99【答案】A【解析】由題意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4個數一組，后面依次為36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的個數為：21個，拓展5、觀察下列一組圖形中點的個數，其中第1個圖中共有4個點，第2個圖中共有10個點，第3個圖中共有19個點，…按此規律第5個圖中共有點的個數是____A.31B.46C.51D.66【答案】B【解析】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的數字運算規律，利用規律解決問題．由圖可知：其中第1個圖中共有1+1×3=4個點，第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個點，…由此規律得出第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點．第1個圖中共有1+1×3=4個點，第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個點，…第n個圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點．所以第5個圖中共有點的個數是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．故選：B．拓展6、下列圖形由同樣的棋子按一定規律組成，圖1有3顆棋子，圖2有9顆棋子，圖3有18顆棋子，，圖8有（）A.84顆棋子B.108顆棋子C.135顆棋子D.152顆棋子【答案】B【解析】第①個圖形有3顆棋子，第②個圖形一共有顆棋子，第③個圖形一共有顆棋子，第④個圖形有顆棋子，，第⑧個圖形一共有顆棋子．拓展7、如圖，小橋用黑白棋子組成的一組圖案，第1個圖案由1個黑子組成，第2個圖案由1個黑子和6個白子組成，第3個圖案由13個黑子和6個白子組成，按照這樣的規律排列下去，則第8個圖案中共有（）個黑子．A.37B.42C.73D.121【答案】C【解析】第1、2圖案中黑子有1個，第3、4圖案中黑子有1＋2×6＝13個，第5、6圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＝37個，第7、8圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＝73個，拓展8、用火柴棒按如圖所示的方式搭出新的圖形，其中第1個圖形有6個正方形，第2個圖形有11個正方形，第3個圖形有16個正方形，則第個圖形中正方形的個數為________．【答案】【解析】∵第1個圖形中正方形的個數，第2個圖形中正方形的個數，第3個圖形中正方形的個數，∴第個圖形中正方形的個數為拓展9、觀察下面的圖形（每個正方