專題02集合之間的關系（3個知識點3個拓展6個考點3個易錯點2種高考考法）【目錄】倍速學習五種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1：文氏圖知識點2：子集（重點）知識點3：空集（重點）知識點4：集合相等（重點）知識點5：真子集（重點）拓展1：用文氏圖和數軸理解集合間的關系（重點）拓展2：兩個集合相等的證明方法拓展3：求子集、真子集的個數問題（難點）【方法二】實例探索法考點1：確定子集的個數考點2：空集考點3：集合間關系的判斷及應用考點4：由集合間的關系確定參數的取值范圍（必考）考點5：數形結合思想（利用數軸求參數的取值范圍）（必考）考點6：分類討論思想（必考）【方法三】差異對比法易錯點1：忽略空集導致出錯易錯點2：忽視高次項系數導致出錯易錯點3：忽視判別式導致出錯【方法四】仿真實戰法考法1：集合間關系的應用考法2：集合相等【方法五】成果評定法【學習目標】1、求子集、真子集的個數（偶考）2、利用子集、真子集的概念求參數的值（或取值范圍）（?？迹?、空集的概念（常考）【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1：文氏圖用平面上一條封閉曲線的內部來代表集合，這個圖形就叫做文氏圖（韋恩圖）．【例1】舉例說明集合間的包含關系與相等關系，并用文氏圖直觀表示．【解答】解：如集合A＝{x|x﹣1＝0}，B＝{1}，則A＝B，如圖所示：如A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|2＜x＜3}，則B?A，如圖所示：【變式1】（2020秋?奉賢區校級月考）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是．【解答】解：由題意可得如下所示韋恩圖：所求比例為：60%+82%﹣96%＝46%，故答案為：46%．【變式2】（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列說法中，正確的有________（1）空集是任何集合的真子集（2）若，，則（3）任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集（4）若不屬于的元素一定不屬于，則【答案】（2）（4）【詳解】對于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）錯誤；對于（2）：子集具有傳遞性，若，，則，故（2）正確；對于（3）：若一個集合是空集，則它沒有真子集，故（3）錯誤；對于（4）：任何不屬于的元素一定不屬于，則由韋恩圖可知（4）正確；故答案為：（2）（4）.知識點2：子集（重點）子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．【例2】（2022?楊浦區校級開學）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則A，B間的關系為（）A．A＝B B．B?A C．A∈B D．A?B【解答】解：因為集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，所以A?B，故選：D．【變式】（2022秋?浦東新區校級期中）已知a為常數，集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，集合B＝{x|ax﹣2＝0}，且B?A，則a的所有取值構成的集合為．【解答】解：由已知可得集合A＝{﹣3，2}，因為B?A，則B＝?，{﹣3}，{2}，{﹣3，2}，當B＝?時，a＝0，當B＝{﹣3}時，a＝﹣，當B＝{2}時，a＝1，當B＝{﹣3，2}時，不成立，故a的取值集合為{0，﹣，1}，故答案為：{0，﹣，1}．知識點3：空集（重點）空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集．記作?．空集性質：①空集只有一個子集，即它的本身，???；②空集是任何集合的子集（即??A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠?，則??A）．【例3】（2022?浦東新區校級開學）下列命題中正確的是（）A．空集沒有子集 B．空集是任何一個集合的真子集 C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集 D．設集合B?A，那么，若x?A，則x?B【解答】解：對于A，空集的子集是空集，故A錯誤；對于B，空集是任何一個非空集合的真子集，故B錯誤；對于C，空集只有一個子集，故C錯誤；對于D，設集合B?A，那么，若x?A，則x?B，故D正確．故選：D．【變式1】（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B②兩集合中元素完全相同，它們為同一集合，則，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關系，故錯誤；∴②③正確.【變式2】（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習）給出下列選項，其中正確的有（1）∈{{}}（2）?{{}}（3）∈{}（4）{}【答案】（2）（3）（4）【詳解】對于（1），不是{{}}的元素，故不正確；對于（2），是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正確；對于（3），是{}的元素，故正確；對于（4），是任何非空集合的真子集，{}有一個元素，是非空集合，故正確.【變式3】（2021秋·上海浦東新·高一上海市進才中學?？茧A段練習）關于的不等式組的解集為，則實數的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得：，所以．【變式4】（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學?？计谥校┰O集合，只有一個子集，則滿足要求的實數．【答案】0【詳解】集合，只有一個子集，則，，所以方程無解，即．知識點4：集合相等（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數集A＝B，則這兩個有限數集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質：①兩個集合的元素個數相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據．【例4】（2022秋?徐匯區校級月考）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，則集合A與集合B之間的關系是（用?、?、＝來表示）【解答】解：∵x2+3x+1＝，又x2﹣3x+1＝，∴A＝B＝[，+∞），故答案為：＝．【變式1】（2022秋?浦東新區校級期中）下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}【解答】解：A：集合M，N中的元素不為同一個點，不是同一集合，故A錯誤；B、D：集合M，N的元素不同，一個是數，一個是實數對，不是同一集合，故BD錯誤；C：根據集合元素的無序性，可知集合M＝N，即為同一集合，故C正確；故選：C．【變式2】（2022?浦東新區校級開學）若{x+y，2y}＝{7，8}，則整數x＝．【解答】解：∵{x+y，2y}＝{7，8}，且x為整數，∴y也為整數，∴2y＝8，即y＝4，∴x+y＝7，∴x＝3，【變式3】（2022秋?閔行區期中）若集合A＝{1，a}，集合B＝{1，a2}，且A＝B，則實數a＝．【解答】解：∵集合A＝{1，a}，集合B＝{1，a2}，且A＝B，∴，解得實數a＝0．【變式4】．（2022秋?楊浦區校級期中）已知A＝{1，2}，B＝{a，a+1}．若A＝B，則a＝．【解答】解：因為A＝B，則或，解得a＝1，【變式5】（2022秋?松江區校級期中）已知A＝{1，2}，B＝{1，a}．若A＝B，則a＝．【解答】解：A＝{1，2}，B＝{1，a}，A＝B，則a＝2．【變式6】（2022秋?閔行區校級期中）已知集合A＝{2，y}，B＝{x，3}，若A＝B，則x+y＝．【解答】解：因為集合A＝{2，y}，B＝{x，3}，A＝B，所以x＝2，y＝3，所以x+y＝5．故答案為：5．知識點5：真子集（重點）真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數的集合是所有整數的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}【例5】（2022秋?浦東新區校級月考）如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，則集合A、B的關系是．【解答】解：∵x∈Z，∴x2∈Z且x2≥0，∴x2∈A，∴B?A，又∵2∈A，2?B，∴B?A拓展1：用文氏圖和數軸理解集合間的關系（重點）拓展2：兩個集合相等的證明方法欲證，只需證，且.【例6】在實數中：要證明實數a，b相等，可以利用a≤b且a≥b來證明：類比到集合中：要證明集合A，B相等，可以利用來證明．【解答】解：在實數中：要證明實數a，b相等，可以利用a≤b且a≥b來證明：類比到集合中：要證明集合A，B相等，可以利用A?B且B?A來證明．故答案為：A?B且B?A．【變式】設S1、S2、S3是由三個整數組成的非空集，已知對于1、2、3的任意一個排列i、j、k，如果x∈Si，y∈Sj，則x﹣y∈Sk，證明：S1、S2、S3中必有兩個集合相等．【解答】證明：若三個集合都沒有0，則取S1∪S2∪S3中最小的正整數a（由于三個集合中都有非負整數，所以這樣的a存在），不妨設a∈S1，取S2∪S3中的最小正整數b，并不妨設b∈S2，這時b＞a（否則b不可能大于a，只能等于a，所以b﹣a＝0∈S3，矛盾）；但是，這樣就導致了0＜b﹣a＜b，且b﹣a∈S3，這時與b為S2∪S3中的最小正整數矛盾．∴三個集合中必有一個集合含有0．∵三個集合中有一個集合含有0，不妨設0∈S1，則對任意x∈S2，有x﹣0＝x∈S3，∴S2包含于S3，對于任意y∈S3，有y﹣0＝y∈S2，∴S3包含于S2，則S2＝S3．綜上所述，這三個集合中必有兩個集合相等．拓展3：求子集、真子集的個數問題（難點）真子集和子集的區別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身。所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集有2n個；真子集有2n－1個，非空真子集有個．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【例7】（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學?？茧A段練習）已知集合，則的所有真子集為______.【答案】【詳解】因為，所以的所有真子集為，【變式1】（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習）寫出集合的所有子集_____．【答案】，，，【詳解】集合的所有子集有，，，.【變式2】（2022秋?浦東新區校級月考）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的個數是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：x＝0時，y＝6；x＝1時，y＝5；x＝2時，y＝2；x＝3時，y＝﹣3；∵函數y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是減函數；∴x≥3時，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴該集合的所有真子集為：?，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴該集合的真子集個數為7．故選：C．【方法二】實例探索法考點1：確定子集的個數1．（2022?浦東新區校級開學）已知集合，B＝{y|y＝x2+1，x∈A}，則集合B的子集個數為（）A．5個 B．8個 C．3個 D．2個【解答】解：∵＝{﹣1，0，1，2}，∴B＝{y|y＝x2+1，x∈A}＝{1，2，5}，故集合B中有3個元素，故集合B的子集個數為23＝8，故選：B．2．（2022秋?徐匯區校級月考）若x∈A，則∈A，就稱A是“伙伴關系集合”，集合M＝{﹣1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數是．【解答】解：若x＝﹣1，則＝＝﹣1，若x＝0，則無意義，若x＝2，則＝，若x＝3，則＝不存在，則{﹣1}，{2，}為伙伴關系集合，則由它們的元素構成的集合也為伙伴關系集合，此時{﹣1，2，}滿足條件．共有3個集合．故答案為：3．3．（2022秋?金山區期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且僅有兩個子集，則實數a＝．【解答】解：若A恰有兩個子集，所以關于x的方程恰有一個實數解，①當a＝1時，，滿足題意；②當a≠0時，Δ＝8a+1＝0，所以，綜上所述，a＝1或．故答案為：1或．4．（2022秋?黃浦區校級期中）設集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一個子集，則滿足要求的實數a＝．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一個子集，則A＝{x|ax+1＝0，x∈R}＝?，所以方程ax+1＝0無解，即a＝0．故答案為：0．5．（2022秋?浦東新區校級期中）已知集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且僅有兩個子集，則實數k＝．【解答】解：∵集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且僅有兩個子集，∴方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一個解或兩個相同的實數根即可，當k＝﹣1時，，符合題意；當k≠﹣1時，Δ＝4+4（k+1）＝0?k＝﹣2；所以實數k＝﹣1或k＝﹣2．故答案為：﹣1或﹣2．6．（2022秋?徐匯區校級月考）已知{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，則滿足要求的集合M共有個．【解答】解：∵{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，∴滿足要求的集合M的個數即為集合{3，4，5}的子集的個數，∴滿足要求的集合M的個數為23＝8．故答案為：8．7．（2022秋?長寧區校級期中）集合P滿足P?{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}，則這樣的集合P有個．【解答】解：{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}＝{（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）}，∵P?{（x，y）|x2+y2＝4，x，y∈Z}，∴集合P有24﹣1＝15個．故答案為：15．考點2：空集8．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習），那么下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于，是任何集合的子集，也即，故選項錯誤；對于，因為，所以成立，故選項正確；對于，因為，所以成立，故選項正確；對于，因為是任何集合的子集，所以成立，故選項正確，所以結論錯誤的是，9．（2020秋?徐匯區校級月考）已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，若B?A，則實數a的取值范圍為．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，集合B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，B?A，解得A＝{x|1≤x≤4}，若B≠?，Δ＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8≥0，可得a≥2或a≤﹣1；B＝{x|a﹣≤x≤a+}，∵B?A，∴，解不等式①得，a≤，解不等式②得，1≤a≤3，取交集得，1≤a≤，又∵△≥0，可得a≥2或a≤﹣1；可得2≤a≤當a＝符合題意；當a＝2符合題意；∴2≤a≤若B＝?，可得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a+2）＝4a2﹣4a﹣8＜0，﹣1＜a＜2；綜上可取并集得：﹣1＜a≤故答案為：﹣1＜a≤；考點3：集合間關系的判斷及應用10．（2022秋?浦東新區校級月考）已知集合M＝，S＝，P＝，則集合M，S，P的關系為（）A．M＝S?P B．M?S＝P C．M?S?P D．S?P?M【解答】解：對集合M、S、P進行變換，則M＝＝{x|，m∈Z}，S＝＝{x|，s∈Z}，P＝＝{x|x＝，p∈Z}，因為m、s、p∈Z，所以M?S＝P，故選：B．11．（2022秋?徐匯區校級月考）集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，則S、P、Q之間的關系是（）A．S?P?Q B．S?P＝Q C．S＝P?Q D．P?Q?S【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，∴S?P＝Q，故選：B．12．（2022秋?浦東新區校級月考）已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，且B?A，則實數a的值為．【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B?A，①當a＝0時，B＝?，符合題意，②當a≠0時，B＝{x|ax﹣2＝0}＝{}，∴＝1或＝2，解得a＝2或a＝1，綜上所述，實數a的值為0或1或2．故答案為：0或1或2．13．（2022秋?浦東新區校級期中）滿足{1，2}?A?{1，2，3，4，5}的集合A共有個．【解答】解：{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}共7個．故答案為：7．14．（2022秋?浦東新區校級期中）滿足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的集合A的個數為．【解答】解：{a，b}?A?{a，b，c，d，e}，則集合A為{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，故集合A的個數為8個．故答案為：8．考點4：由集合間的關系確定參數的取值范圍（必考）15．（2022秋?徐匯區校級期中）已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}?A，則m＝2．【解答】解：因為集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，且{3，6}?A，則6m﹣6＝6，得m＝2，故答案為：2．16．（2022秋?奉賢區校級期中）已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數a的取值范圍是．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A?B，則a≥3，故實數a的取值范圍是[3，+∞）．故答案為：[3，+∞）．17．（2022秋?徐匯區校級月考）已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A?B，則a＝．【解答】解：，當A＝?時，A?B成立，此時a＝0，當A≠?時，，因為A?B，所以，得a＝4，綜上a＝0或a＝4，故答案為：0或4．考點5：數形結合思想（利用數軸求參數的取值范圍）（必考）18．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，所以.考點6：分類討論思想（必考）19．（2022秋?徐匯區校級月考）已知集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|p+1≤x≤2p﹣1}，若B?A，則實數p的取值范圍是．【解答】解：∵A＝[﹣2，5]，又B＝{x|p+1≤x≤2p﹣1}，且B?A，∴①B＝?時，p+1＞2p﹣1，∴p＜2；②B≠?時，，∴2≤p≤3，綜合可得實數p的取值范圍是（﹣∞，3]．故答案為：（﹣∞，3]．20．（2022秋?奉賢區校級月考）設t是實數，集合M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，N＝{y|ty﹣2＝0}，若N?M，則符合條件的實數t組成的集合是．【解答】解：t＝0時，N＝?，滿足N?M，t≠0時，M＝{3，﹣2}，∵N?M，N＝{y|ty﹣2＝0}，∴N＝{3}，或N＝{﹣2}．N＝{3}時，3t﹣2＝0，解得t＝．N＝{﹣2}時，﹣2t﹣2＝0，解得t＝﹣1．綜上可得：符合條件的實數t組成的集合是{0，﹣1，}，故答案為：{0，﹣1，}．21．（2022秋?浦東新區校級月考）若A＝{x|kx＝1}，B＝{x|x2+x＝2}，且A?B，則實數k的值為．【解答】解：B＝{x|x2+x＝2}＝{﹣2，1}，∵A?B，∴A＝?，A＝{﹣2}，A＝{1}，當A＝?時，k＝0；當A＝{﹣2}時，k＝﹣；當A＝{1}時，k＝1；故實數k的值為0，﹣，1．故答案為：0，﹣，1．22．（2022秋?徐匯區校級月考）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，若B≠?，且A?B，求實數a、b的值．【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，又B≠?，且A?B，∴B＝{﹣1}，{1}，{﹣1，1}，①當B＝{﹣1}時，，∴；②當B＝{1}時，，∴；③當B＝{﹣1，1}時，，∴．綜合得或或．23．（2022?楊浦區校級開學）已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．（1）當2∈B，B?A時，求a、x的值；（2）當B＝C時，求a、x的值．【解答】解：（1）∵2∈B，B?A∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3，∴當x＝2吋，；當x＝3時，；（2）∵B＝C，即{3，x2+ax+a}＝{x2+（a+1）x﹣3，1}，∴，兩式相減得x＝5+a，將x＝5+a代入x2+ax+a＝1，可得a2+8a+12＝0，解得a＝﹣2或a＝﹣6．當a＝﹣2時，x＝3；當a＝﹣6時，x＝﹣1，∴或．24．（2022?浦東新區校級開學）已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}．（1）若A是B的子集，求實數a的值；（2）若B是A的子集，求實數a的取值范圍．【解答】解：（1）∵A＝{﹣4，0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，又A?B，∴A＝B，∴，∴a＝1；（2）∵B是A的子集，∴B＝?或B＝{﹣4}或B＝{0}或B＝{﹣4，0}，①B＝?時，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，∴a＜﹣1；②B＝{﹣4}時，，∴a∈?；③B＝{0}時，，∴a＝﹣1；④B＝{﹣4，0}時，由（1）知a＝1，綜合可得實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪{1}．【方法三】差異對比法易錯點1：忽視空集導致出錯1．（2023·高一課時練習）已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，求m的取值范圍．【答案】m≤1．【詳解】∵B?A，若B＝?，則m≤0，滿足B?A，若B≠?，則m＞0，由B?A，得m≤1，解得，0＜m≤1．綜上所述：實數m的取值范圍為m≤1．易錯點點睛：容易漏掉的情形.2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實數m的取值范圍為______．【錯解】由題意得，A＝{x|－1≤x≤6}．因為B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).【錯因】忽略了集合B為空集的情況。【正解】由題意得，A＝{x|－1≤x≤6}．當B＝?時，m－1>2m＋1，即m<－2，滿足B?A.當B≠?時，若B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).易錯點2：忽視高次項系數導致出錯3、已知集合，，若，則實數的值構成的集合是（）A．B． C． D．【錯解】由得：或，即；，，或，解得：或；綜上所述：實數的值構成的集合是【錯因】忽略了對一次項系數a的討論?！菊狻坑傻茫夯颍?；①當時，，滿足，符合題意；②當時，，，或，解得：或；綜上所述：實數的值構成的集合是.易錯點3：忽視判別式導致出錯4．（2022秋?松江區校級期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1個元素，則實數a的取值是．【解答】解：當a＝0時，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}滿足題意當a≠0時，要集合A僅含一個元素需滿足Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1故a的值為0；1故答案為：0或1【點評】本題考查解決二次型方程的根的個數問題時需考慮二次項系數為0的情況、考慮判別式的情況．5．已知，，若，求的取值范圍.【錯解】，，且.由韋達定理可得，解得.所以實數的取值范圍是.【錯因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的個數?！菊狻?，，對于方程，，且.①時，集合，可得，合乎題意；②時，集合中只有一個元素，可得，此時，合乎題意；③時，集合中有兩個元素，，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是或.【方法四】仿真實戰法考法1：集合間關系的應用1．（2020?上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A?B，則a＝．【解答】解：∵3∈A，且A?B，∴3∈B，∴a＝3，故答案為：3．考法2：集合相等2．（2023?上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，則a＝．【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，則a＝2．故答案為：2．【方法五】成功評定法一、填空題1．（2021秋·上海浦東新·高一上海南匯中學校考期中）滿足的集合有個．【答案】7【分析】根據非空子集的定義求解.【詳解】由題意可知與的非空子集的并集，而的非空子集有有個，所以滿足條件的有7個，故答案為：7.2．（2022·上海·高一專題練習）用適當的符號填空：0.【答案】【分析】結合空集、元素與集合的關系確定正確答案.【詳解】空集沒有任何元素，所以.故答案為：3．（2022秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┮阎?，.若，則.【答案】2【分析】根據集合相等的定義進行求解即可.【詳解】因為，，，所以，故答案為：24．（2022秋·上海徐匯·高一?？茧A段練習）已知集合，，且，則．【答案】0或4/4或0【分析】先求出集合，再分和兩種情況求解.【詳解】，當時，成立，此時，當時，，因為，所以，得，綜上或，故答案為：0或45．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）若集合，，且，則滿足條件的實數的取值集合為.【答案】【分析】求出集合，由可分、、三種情況討論，可求得實數的值.【詳解】依題意得，.∵,所以集合、、．當時，即方程無實根，所以，符合題意；當時，則1是方程的根，所以，符合題意；當時，則是方程的根，所以，符合題意；故答案為：．【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數值，解題時不要忽略對空集的討論.6．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知集合且，集合且，那么集合與之間的關系是.【答案】＃＃【分析】確定兩集合中元素的屬性是否一致即可得．【詳解】則同號，又，所以同負，因此因為，所以.故答案為：．7．（2022秋·上海普陀·高一校考階段練習）若集合至多有兩個子集，則實數的取值范圍為．【答案】或．【分析】若集合至多有兩個子集，則集合中至多有一個元素，通過分類討論得出的范圍．【詳解】若集合至多有兩個子集，則集合中至多有一個元素．當時，，此時集合為，符合題意，當時，方程是一元二次方程，時，解得，，此時集合為，符合題意，時，解得，此時集合為空集，符合題意，綜上，的取值范圍是或．故答案為：或．8．（2022秋·上海黃浦·高一上海市大同中學?？茧A段練習）已知集合，若，則實數組成的集合為．【答案】【分析】求解一元二次方程化簡集合，分類討論求解集合，結合，求得的值．【詳解】因為，，且，所以或或，當時，；當時，；當時，．所以綜上可得，實數組成的集合為：．故答案為：9．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學校考階段練習）下列表達式中正確的序號是①

②

③

④【答案】②④【分析】利用元素與集合之間和集合與集合之間的關系的概念即可求解.【詳解】對于①：∵是無理數，故，故①錯誤；對于②：空集為任何集合的子集，故②正確；對于③：集合間的關系應該用“”或者“”來表示，故③錯誤；對于④：∵是自然數，是整數，∴，故④正確.故答案為：②④.10．（2022秋·上海浦東新·高一上海師大附中?？茧A段練習）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝，則b的值為．【答案】或【分析】根據題意可得集合有且只有一個元素，再分和兩種情況討論求解．【詳解】根據題意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝，則集合中只有一個元素，即只有一個實數根，①當時，化為，解得，此時集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，則b＝；②當時，，則a＝1，此時集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝；所以的值為或.故答案為：或．11．（2022秋·上海徐匯·高一上海市第二中學?？茧A段練習）若，且BA，實數a的取值為【答案】【分析】由B是A的子集，可知集合B中元素的特征，從而求出實數a.【詳解】因為集合，BA，所以當時，，符合要，當時，，即，解得，所以實數a的取值為.故答案為：12．（2021秋·上海虹口·高一上海市復興高級中學校考階段練習）已知集合有整數解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個數為．【答案】【分析】根據集合有整數解，結合韋達定理可求出集合，再由題目信息中集合滿足的兩個條件，得到集合中互為相反數的兩個元素同屬于集合或同不屬于集合，即可求解.【詳解】因為的整數解只能是36的約數，當方程的解為，36時，；當方程的解為，18時，；當方程的解為，12時，；當方程的解為，9時，；當方程的解為，6時，；當方程的解為1，時，；當方程的解為2，時，；當方程的解為，時，；當方程的解為，時，；故集合由非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，即集合中互為相反數的兩個元素同屬于集合或同不屬于集合，得這樣的集合共有個，故答案為：.二、單選題13．（2022·上海·高一專題練習）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M＝，N＝ B．M＝，N＝C．M＝，N＝ D．M＝，N＝【答案】D【分析】利用集合的三個性質及其定義，對A、B、C、D四個選項進行一一判斷．【詳解】A、M＝，M集合的元素表示點的集合，N＝，N表示數集，故不是同一集合，故A錯誤；B、M＝，M集合的元素表示點的集合，N＝，N表示直線x+y＝1的縱坐標，是數集，故不是同一集合，故B錯誤；C、M＝集合M的元素是點，N＝，集合N的元素是點，故C錯誤；D、M＝，N＝根據集合的無序性，集合M，N表示同一集合，故D正確；故選：D．14．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對每個集合進行逐一檢驗，研究集合內的元素是否存在即可選出.【詳解】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.15．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列六個關系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之間的包含關系可判定②，⑤，利用元素與集合的關系可判定⑥.【詳解】①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，表示空集，而表示的是含這個元素的集合，所以不成立.④錯誤，表示空集，而表示含有一個元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，由元素與集合的關系知，．故選：C.16．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列六個關系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個數為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據集合與集合、元素與集合的關系判斷．【詳解】由子集定義任何集合都是本身的子集，知①正確，由集合中元素的無序性知②正確，空集中沒有任何元素但它是一個集合，而0是一個實數，③錯誤，由集合的定義，④正確，“”是連接元素與集合的關系，⑤錯誤，空集是任何集合的子集，⑥正確．正確的個數有4個．故選：C．三、解答題17．（2020·上海·高一專題練習）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數m的取值范圍．【答案】{m|m≤3}．【分析】由B＝和B≠分類討論得不等式（或不等式組）解之可得．【詳解】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.①若B＝，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時有B?A；②若B≠，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴實數m的取值范圍是{m|m≤3}．18．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知集合，若，且，求實數的值．【答案】或或【分析】先求得集合，然后根據進行分類討論，由此求得的值.【詳解】，解得或，所以，依題意，且，.①當時，，∴；②當時，，∴；③當時，，∴．綜合得或或．19．（2022秋·上海浦東新·高一上海南匯中學?？茧A段練習）已知，若，求滿足條件的的取值范圍．【答案】【分析】對B分類討論，利用集合的包含關系列不等式組，即可求解.【詳解】當時，滿足，此時，有，解得：；當時，要使，只需，解得：.所以實數的取值范圍為.20．（2021秋·上海徐匯·高一位育中學?？茧A段練習）設且，有限集合，其中，若對任意（），都有，則稱集合為“含差集合”.（1）分別判斷集合和集合是否是“含差集合”，并說明理由；（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，試判斷集合與集合的關系，并加以證明.【答案】（1）A是，B不是；（2），證明見解析.【分析】（1）根據含差集合的定義判斷即可；（2）根據“含差集合”的定義，可求出集合，再與集合比較即可.【詳解】（1）由，可知或或，因為，所以集合是“含差集合”，由，可知或或，因為，所以不是“含差集合”，（2）因為是含差集合，所以，且對任意（），都有，因為最小，所以，因為，所以或（舍）所以，又且，，可得，；，；當時，；當時，；當時，；因為，，此種情況不成立，當時，；所以，又且，，，，可得，，；，，；當時，；當時，；當時，；當時，，因為，此種情況不成立，當時，；當時，；所以，，，或，所以或此種情況，不成立，所以，而，所以.21．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學校考階段練習）設集合，如果對于的任意一個含有個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于，稱正整數m為集合的一個“相關數”．(1)當時，判斷5和6是否為集合的“相關數”，說明理由；(2)若m為集合的“相關數”，證明：．【答案】(1)5不是，6是；(2)證明見解析【分析】（1）寫出，分別考慮含有5個元素的子集和含有6個元素的子集討論其中某四個數之和是否為13即可；（2）分析的含有個元素的集合，，其中任意四個元素之和的最小值，不可能等于，所以不是集合的“相關數”，分析當時，不是集合的“相關數”，即可得證.（1）解：當時，，它的5個元素的子集中，它的四個元素之和的最小值，其中任意四個元素之和都不可能為13，所以5不是集合的“相關數”，它的6個元素的子集中只能是，存在四個元素，所以6是集合的“相關數”；（2）證明：若為集合的“相關數”，假設，則，分析的含有個元素的集合，其中任意四個元素之和的最小值，不可能等于，則不是集合的“相關數”，與題矛盾，所以.22．（2022秋·上海青浦·高一校考階段練習）設，若，則稱A為集合M的元“好集”．(1)寫出實數集的一個二元“好集”；(2)請問正整數集上是否存在二元“好集”？說明理由；(3)求出正整數集上的所有三元“好集”．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3).【分析】（1）通過對元“好集”的理解寫出實數集的一個二元“好集”；（2）假設存在，利用作差法與整數的概念推出矛盾即可得證；（3）記正整數集上的一個三元“好集”為，利用條件可推得的值，進而求得，從而得到正整數集上的所有三元“好集”.【詳解】（1）因為，所以是實數集的一個二元“好集”.（2）假設是正整數集上的一個二元“好集”，則，不妨設，則有，故，得，因為，所以，而，顯然不成立，矛盾，所以假設不成立，故正整數集上不存在二元“好集”.（3）設正整數集上的一個三元“好集”為，則，不妨設，則有，故，又因為且，所以，將其代入得，