電氣工程師-公共基礎-高等數學-無窮級數[單選題]1.級數滿足下列什么條件時收斂()。[2017年真題]A.B.C.發散D.an單調增且正確答案：D參考解析：級數收斂的條件為絕對值1/an單調遞減且即an單調遞增且[單選題]2.冪級數的收斂域是()。[2019年真題]A.[－1，1]B.（－1，1]C.[－1，1）D.（－1，1）正確答案：A參考解析：|x|＜1時，，因此收斂半徑為1。當x＝1時代入級數得，為交錯級數，滿足萊布尼茨條件，收斂；當x＝－1時代入級數得，為交錯級數，滿足萊布尼茨條件，收斂；因此該級數的收斂域為[－1，1]。[單選題]3.設an＝（1＋1/n）n，則數列{an}是()。[2014年真題]A.單調增而無上界B.單調增而有上界C.單調減而無下界D.單調減而有上界正確答案：B參考解析：判斷，等價于判斷，因為所以又故數列{an}單調增且有上界。[單選題]4.正項級數的部分和數列有上界是該級數收斂的()。[2013年真題]A.充分必要條件B.充分條件而非必要條件C.必要條件而非充分條件D.既非充分而又非必要條件正確答案：A參考解析：正項級數的部分和Sn構成一個單調增加（或不減少）的數列{Sn}。由極限存在準則可知，正項級數收斂的充要條件是其部分和數列{Sn}有上界。[單選題]5.級數()。[2014年真題]A.當1＜p≤2時條件收斂B.當p＞2時條件收斂C.當p＜1時條件收斂D.當p＞1時條件收斂正確答案：A參考解析：條件收斂，即發散，收斂。已知發散，故0＜p－1≤1。所以當1＜p≤2時，級數條件收斂。[單選題]6.下列級數中，條件收斂的是()。[2012年真題]A.B.C.D.正確答案：A參考解析：因條件收斂，應選A項。而和絕對收斂，的一般項不趨近于零，發散。[單選題]7.下列級數中，發散的是()。[2018年真題]A.B.C.D.正確答案：C參考解析：A項，因為級數的前n項和為求極限得所以級數收斂。B項，p級數當p＞1時收斂，當p≤1時發散。因為B項中p＝3/2＞1，所以級數收斂。C項，級數的一般項如果不趨于零，則該級數必定發散。計算得因此C項對應的級數發散。D項，為一個交錯級數，又隨著n的增大，其值越來越小，且利用萊布尼茲定理知級數收斂。[單選題]8.若級數收斂，則下列級數中不收斂的是()。[2011年真題]A.B.C.D.正確答案：D參考解析：因為級數收斂，故因此，故不收斂。[單選題]9.級數的收斂域是()。[2014年真題]A.（－1，1）B.[－1，1]C.[－1，0）D.（－1，0）正確答案：C參考解析：采用排除法求解。當x＝0時，原級數可化為級數是發散的，排除AB兩項；當x＝－1時，代入可知級數是交錯級數，收斂。[單選題]10.冪級數的和函數S（x）等于()。[2017年真題]A.exB.ex＋1C.ex－1D.cosx正確答案：C參考解析：考慮到為ex的展開式，[單選題]11.下列冪級數中，收斂半徑R＝3的冪級數是()。[2013年真題]A.B.C.D.正確答案：D參考解析：冪級數收斂半徑A項，B項，C項，D項，[單選題]12.設冪級數的收斂半徑為2，則冪級數的收斂區間是()。[2011年真題]A.（－2，2）B.（－2，4）C.（0，4）D.（－4，0）正確答案：C參考解析：由于冪級數的收斂半徑為2，故則因此需滿足|（x－2）/2|＜1，即x∈（0，4），其收斂區間是（0，4）。[單選題]13.冪級數在|x|＜2的和函數是()。[2016年真題]A.2/（2＋x）B.2/（2－x）C.1/（1－2x）D.1/（1＋2x）正確答案：A參考解析：根據和函數的計算公式，計算得：[單選題]14.函數f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的麥克勞林展開式中的前三項是()。[2018年真題]A.1＋xlna＋x2/2B.1＋xlna＋（lna/2）x2C.1＋xlna＋（lna）2x2/2D.1＋x/lna＋x2/（2lna）正確答案：C參考解析：麥克勞林公式是泰勒公式（在x0＝0下）的一種特殊形式。函數f（x）麥克勞林展開式為因此前三項是1＋xlna＋（lna）2x2/2。[單選題]15.當|x|＜1/2時，函數f（x）＝1/（1＋2x）的麥克勞林展開式正確的是()。[2012年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：因為故|x|＜1/2。[單選題]16.下列各級數中發散的是()。[2010年真題]A.B.C.D.正確答案：A參考解析：設bn＝1/n，則而發散，則發散。根據交錯級數判別法，可以判定BD兩項收斂；C項是正項級數，根據根值判別法可以判定C項也是收斂的。[單選題]17.已知級數則級數等于()。A.3B.7C.8D.9正確答案：C參考解析：設法將轉化為用級數和表示即可。則[單選題]18.設常數λ＞0，且級數收斂，則級數()。A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.收斂性與λ有關正確答案：C參考解析：注意利用不等式|ab|≤（1/2）（a2＋b2）。因為由題設收斂，又也收斂，故絕對收斂。[單選題]19.設0≤an≤1/n（n＝1，2，…），則下列級數中肯定收斂的是()。A.B.C.D.正確答案：D參考解析：由0≤an≤1/n可知，0≤an2＜1/n2，而由收斂及正項級數的比較判別法知，級數收斂，從而絕對收斂，得級數收斂。[單選題]20.已知級數與廣義積分均收斂，則p的取值范圍是()。A.p＞2B.p＜2C.p＞0D.0＜p＜2正確答案：D參考解析：若和均收斂，則同時有p－2＜0且p＞0，綜合得0＜p＜2。[單選題]21.函數ex展開成為x－1的冪級數是()。A.B.C.D.正確答案：B參考解析：ex在實數范圍內有直到n＋1階的導數，利用泰勒公式在x＝1處展開如下：[單選題]22.若的收斂域是（－8，8]，則的收斂半徑及的收斂域分別是()。A.8，（－2，2]B.8，[－2，2]C.不定，（－2，2]D.8，[－2，2）正確答案：A參考解析：由的收斂域是（－8，8]可知，冪級數的收斂半徑是8，從而冪級數的收斂半徑也是8，又因冪級數是冪級數兩次逐項求導所得，由冪級數逐項求導或逐項積分后所得冪級數的收斂半徑不變，可知冪級數的收斂半徑是8，對于有收斂域－8＜x3≤8，即－2＜x≤2。[單選題]23.已知的收斂半徑R＝1，則的收斂域為()。A.（－1，1）B.[－1，1）C.（－1，1]D.（－∞，＋∞）正確答案：D參考解析：因為的收斂半徑R＝1，則對故收斂域為（－∞，＋∞）。[單選題]24.設則f（x）在x＝0時的6階導數f（6）（0）是()。A.不存在B.－1/6C.1/56D.－1/56正確答案：D參考解析：由于所以f（x）＝1/（2！）－x2/（4！）＋x4/（6！）－x6/（8！）＋…，x∈（－∞，＋∞）因為令n＝6，由函數展開式的唯一性：f（6）（0）/（6！）＝－1/（8！）所以f（6）（0）＝－6！/（8！）＝－1/56。[單選題]25.設α為常數，則級數()。A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與α的取值有關正確答案：C參考解析：因級數的一般項有|sin（nα）/n2|≤1/n2，且，故收斂；又顯然發散，根據級數的運算性質知，級數必發散。[單選題]26.設其中則S（－5/2）等于()。A.1/2B.－