PAGE全等三角形判定二（ASA，AAS）（提高）責編：杜少波【學習目標】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角邊角”，判定方法4——“角角邊”；能運用它們判定兩個三角形全等．2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等．3.掌握角平分線的畫法，掌握角平分線性質定理并能熟練運用它解決問題．【要點梳理】【高清課堂：379110全等三角形判定二，知識點講解】要點一、全等三角形判定3——“角邊角”全等三角形判定3——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.要點二、全等三角形判定4——“角角邊”1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.要點三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.要點四、角平分線的性質定理1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點詮釋：

用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

2.角平分線的尺規作圖

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【典型例題】類型一、全等三角形的判定3——“角邊角” 1、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點F；然后證明：當AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.【思路點撥】通過已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【總結升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內角(邊)的兩個三角形；(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質得出所要證的角(線段)相等．舉一反三：【高清課堂：379110全等三角形判定二，例7】【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN類型二、全等三角形的判定4——“角角邊” 2、（2016?黃陂區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過C點作直線l，點D，E在直線l上，連接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求證：△ADC≌△CEB．【思路點撥】先證明∠DAC=∠ECB，根據AAS證△ADC≌△CEB．【答案與解析】證明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【總結升華】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．舉一反三：【變式】（2015?啟東市模擬）如圖，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】C．解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF．第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF．所以有3組能證明△ABC≌△DEF．故符合條件的有3組．故選：C．3、平面內有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF＋BF＝2CE．當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【思路點撥】過B作BH⊥CE與點H，易證△ACE≌△CBH，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得AF＋BF＝2CE．【答案與解析】解：圖2，AF＋BF＝2CE仍成立，證明：過B作BH⊥CE于點H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE與△CBH中，∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【總結升華】正確作出垂線，構造全等三角形是解決本題的關鍵.舉一反三：【變式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB于E、F．當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時（如圖1），易證；當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.【答案】解：圖2成立；圖2A圖2ADBCEMNF過點作則在△AMD和△DNB中，∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME與△DNF中，∴△DME≌△DNF（ASA）∴∴可知，∴類型三、全等三角形判定的實際應用4、（2015春?龍崗區期末）小強為了測量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P．測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°，測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB=36米，小強計算出了樓高，樓高AB是多少米？【思路點撥】根據題意可得△CPD≌△PAB（ASA），進而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．【答案與解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：樓高AB是26米．【總結升華】此題主要考查了全等三角形的應用，根據題意得出△CPD≌△PAB是解題關鍵．類型四、角平分線的性質定理應用【高清課堂：角平分線的性質，例5】5、如圖，P為△ABC的外角平分線上任一點.求證：PB＋PC≥AB＋AC.【答案與解析】證明：①當點P與點A不重合時，在BA延長線上取一點D，使AD＝AC，連結PD.∵P為△ABC的外角平分線上一點，∴∠1＝∠2∵在△PAD和△PAC中∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD∴PB＋PC＞AB＋AC.②當點P與點A重合時，PB＋PC＝AB＋AC.綜上，PB＋PC≥AB＋AC.【總結升華】本題利用角平分線的性質，在角兩邊取相同的線段，通過（SAS）構造全等三角形，從而把分散的線段集中到同一個三角形中.舉一反三：【變式】如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點.求證：AD＝AB＋DC.【答案】證明：在線段AD上取AF＝AB，連接E