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文檔簡介

PAGE全等三角形判定二(ASA,AAS)(提高)責編:杜少波【學習目標】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角邊角”,判定方法4——“角角邊”;能運用它們判定兩個三角形全等.2.能把證明一對角或線段相等的問題,轉化為證明它們所在的兩個三角形全等.3.掌握角平分線的畫法,掌握角平分線性質定理并能熟練運用它解決問題.【要點梳理】【高清課堂:379110全等三角形判定二,知識點講解】要點一、全等三角形判定3——“角邊角”全等三角形判定3——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”).要點詮釋:如圖,如果∠A=∠,AB=,∠B=∠,則△ABC≌△.要點二、全等三角形判定4——“角角邊”1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”)要點詮釋:由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等,也就是說,用角邊角條件可以證明角角邊條件,后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.這說明,三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.要點三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法,要根據具體的已知條件而定,見下表:已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等(1)可以從求證出發,看求證的線段或角(用等量代換后的線段、角)在哪兩個可能全等的三角形中,可以證這兩個三角形全等;(2)可以從已知出發,看已知條件確定證哪兩個三角形全等;(3)由條件和結論一起出發,看它們一同確定哪兩個三角形全等,然后證它們全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加輔助線,構造全等三角形.要點四、角平分線的性質定理1.角平分線的性質定理:角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點詮釋:

用符號語言表示角的平分線的性質定理:

若CD平分∠ADB,點P是CD上一點,且PE⊥AD于點E,PF⊥BD于點F,則PE=PF.

2.角平分線的尺規作圖

(1)以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于D,交OB于E.

(2)分別以D、E為圓心,大于DE的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內部交于點C.

(3)畫射線OC.射線OC即為所求.【典型例題】類型一、全等三角形的判定3——“角邊角” 1、如圖,G是線段AB上一點,AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF,交AC于點F;然后證明:當AD∥BC,AD=BC,∠ABC=2∠ADG時,DE=BF.【思路點撥】通過已知條件證明∠DAC=∠C,∠CBF=∠ADG,則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC=2∠CBF∵∠ABC=2∠ADG∴∠CBF=∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF(ASA)∴DE=BF【總結升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下:(1)找到以待證角(線段)為內角(邊)的兩個三角形;(2)證明這兩個三角形全等;(3)由全等三角形的性質得出所要證的角(線段)相等.舉一反三:【高清課堂:379110全等三角形判定二,例7】【變式】已知:如圖,在△MPN中,H是高MQ和NR的交點,且MQ=NQ.求證:HN=PM.【答案】證明:∵MQ和NR是△MPN的高,∴∠MQN=∠MRN=90°,又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4∴∠1=∠2在△MPQ和△NHQ中,∴△MPQ≌△NHQ(ASA)∴PM=HN類型二、全等三角形的判定4——“角角邊” 2、(2016?黃陂區模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過C點作直線l,點D,E在直線l上,連接AD,BE,∠ADC=∠CEB=90°.求證:△ADC≌△CEB.【思路點撥】先證明∠DAC=∠ECB,根據AAS證△ADC≌△CEB.【答案與解析】證明:∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,在△ADC和△CEB中,,∴△ADC≌△CEB(AAS).【總結升華】本題考查三角形全等的判定方法,注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,若有兩邊一角對應相等時,角必須是兩邊的夾角.舉一反三:【變式】(2015?啟東市模擬)如圖,給出下列四組條件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的條件共有()A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】C.解:第①組滿足SSS,能證明△ABC≌△DEF.第②組滿足SAS,能證明△ABC≌△DEF.第③組滿足ASA,能證明△ABC≌△DEF.第④組只是SSA,不能證明△ABC≌△DEF.所以有3組能證明△ABC≌△DEF.故符合條件的有3組.故選:C.3、平面內有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直線MN.過點C作CE⊥MN于點E,過點B作BF⊥MN于點F.當點E與點A重合時(如圖1),易證:AF+BF=2CE.當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時,上述結論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系,請直接寫出你的猜想,不需證明.【思路點撥】過B作BH⊥CE與點H,易證△ACE≌△CBH,根據全等三角形的對應邊相等,即可證得AF+BF=2CE.【答案與解析】解:圖2,AF+BF=2CE仍成立,證明:過B作BH⊥CE于點H,∵∠CBH+∠BCH=∠ACE+∠BCH=90°∴∠CBH=∠ACE在△ACE與△CBH中,∴△ACE≌△CBH.(AAS)∴CH=AE,BF=HE,CE=EF,∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC.【總結升華】正確作出垂線,構造全等三角形是解決本題的關鍵.舉一反三:【變式】已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點,∠EDF=90°,∠EDF繞D點旋轉,它的兩邊分別交AC、CB于E、F.當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時(如圖1),易證;當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時,在圖2情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請寫出你的猜想,不需證明.【答案】解:圖2成立;圖2A圖2ADBCEMNF過點作則在△AMD和△DNB中,∴△AMD≌△DNB(AAS)∴DM=DN∵∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN=90°,∴∠MDE=∠NDF在△DME與△DNF中,∴△DME≌△DNF(ASA)∴∴可知,∴類型三、全等三角形判定的實際應用4、(2015春?龍崗區期末)小強為了測量一幢高樓高AB,在旗桿CD與樓之間選定一點P.測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°,測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°,量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等,等于10米,量得旗桿與樓之間距離為DB=36米,小強計算出了樓高,樓高AB是多少米?【思路點撥】根據題意可得△CPD≌△PAB(ASA),進而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可.【答案與解析】解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,∴∠DCP=∠APB=54°,在△CPD和△PAB中∵,∴△CPD≌△PAB(ASA),∴DP=AB,∵DB=36,PB=10,∴AB=36﹣10=26(m),答:樓高AB是26米.【總結升華】此題主要考查了全等三角形的應用,根據題意得出△CPD≌△PAB是解題關鍵.類型四、角平分線的性質定理應用【高清課堂:角平分線的性質,例5】5、如圖,P為△ABC的外角平分線上任一點.求證:PB+PC≥AB+AC.【答案與解析】證明:①當點P與點A不重合時,在BA延長線上取一點D,使AD=AC,連結PD.∵P為△ABC的外角平分線上一點,∴∠1=∠2∵在△PAD和△PAC中∴△PAD≌△PAC(SAS),∴PD=PC∵在△PBD中,PB+PD>BD,BD=AB+AD∴PB+PC>AB+AC.②當點P與點A重合時,PB+PC=AB+AC.綜上,PB+PC≥AB+AC.【總結升華】本題利用角平分線的性質,在角兩邊取相同的線段,通過(SAS)構造全等三角形,從而把分散的線段集中到同一個三角形中.舉一反三:【變式】如圖,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的平分線相交于E,過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點.求證:AD=AB+DC.【答案】證明:在線段AD上取AF=AB,連接E

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