2022-2023學(xué)年陜西省西安市高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】可解方程組得出，或，從而得出有兩個(gè)元素，從而得出的子集個(gè)數(shù)．【詳解】解得，或；,即中有2個(gè)元素；子集個(gè)數(shù)為4．故選：B．【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的概念，交集的定義及運(yùn)算，以及子集的定義，子集個(gè)數(shù)的求法．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求出其模.【詳解】因?yàn)椋?故選：A3．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)椋?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．4．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④的圖象（部分）如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（

）A．①②③④ B．④③②① C．②①③④ D．③②①④【答案】D【分析】根據(jù)各函數(shù)的特征如函數(shù)值的正負(fù)，單調(diào)性、奇偶性，定義域、值域等進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且時(shí)，，所以對(duì)應(yīng)的是第個(gè)三函數(shù)圖象；對(duì)于函數(shù)，有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)對(duì)應(yīng)的是第二個(gè)函數(shù)圖象；對(duì)于函數(shù)，為冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象是第一個(gè)圖象；對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)對(duì)應(yīng)的是第四個(gè)函數(shù)圖象；則按照?qǐng)D象從左到右的順序?qū)?yīng)的應(yīng)該為③②①④.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．10 B．20 C．25 D．30【答案】D【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】等差數(shù)列中，，則，則故選：D6．設(shè)且，若函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)滿足.當(dāng)時(shí)，分類討論的范圍，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的范圍，綜合可得結(jié)論.【詳解】由于函數(shù)且的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿足.若在它的定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，.若在它的定義域上單調(diào)遞減，，不滿足的值域是.綜上可得，.故選：C.7．二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為（

）A．3 B． C．或 D．或【答案】C【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求出參數(shù)，在根據(jù)定義求定積分.【詳解】依題意，展開式第二項(xiàng)的系數(shù)為：，故，于是，.故選：C8．如圖，正方體的棱線長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．異面直線AE，BF所成的角為定值【答案】D【分析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)可證得；運(yùn)用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)，可證明平面ABCD；結(jié)合三棱錐的體積公式可求其體積為定值；在線段上選取特殊位置，結(jié)合異面直線所成的角，即可求得異面直線AE，BF所成的角不是定值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，在正方體中，平面，平面，所以，即，四邊形為正方形，則，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，在正方體中,平面平面，平面，所以平面ABCD，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，連接交于點(diǎn)，設(shè)三棱錐的高為，，平面，平面，所以點(diǎn)B到直線的距離即為，，又因?yàn)槠矫妫雌矫妫訟O為三棱錐的高，在中，，所以，（定值），故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)異面直線AE，BF所成的角為，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，在正方體，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，即為異面直線AE，BF所成的角，在中，，，，因?yàn)椋詾橹苯侨切危援惷嬷本€AE，BF所成的角的正弦值為.當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，即，即為即為異面直線AE，BF所成的角，在中，，，，，所以異面直線AE，BF所成的角的正弦值為,異面直線AE，BF所成的角不是定值,故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，記，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期為2π B．C． D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可逐一判定.【詳解】解：∵，由并結(jié)合圖像知，∴，又，且在上單調(diào)遞減，∴，又，∴，，∴，∴．故選：C．10．已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，且直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)滿足，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故，即，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，且，故，且，故點(diǎn)在雙曲線的右支上，，則在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故雙曲線的漸近線方程為，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題中，利用雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，以及構(gòu)造的齊次式，從而可求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出漸近線方程的.11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡(jiǎn)為，再利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕矗裕驗(yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.所以.故選：C12．已知函數(shù)的定義域均為，且.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①；②4為的周期；③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④.其中結(jié)論正確的編號(hào)為（

）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】對(duì)中的合理的賦值，消去到得，從而得到的周期；根據(jù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱及平移得的圖象關(guān)于直線，對(duì)稱；由及對(duì)稱性求得.【詳解】由，可得，又因?yàn)椋裕傻茫?為的周期，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，由，可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又因?yàn)椋矗?故結(jié)論正確的編號(hào)為①②④.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)含有混合關(guān)系的抽象函數(shù)，要探求性質(zhì)首先要消去一個(gè)函數(shù)只剩下另一下函數(shù)，消去其中一個(gè)函數(shù)的方法就是對(duì)進(jìn)行合理的賦值，組成方程組消去一個(gè)函數(shù)，再考查剩余函數(shù)的性質(zhì).如在本題中，將中的代換為可得，與聯(lián)立消去可得，再進(jìn)一步推斷的性質(zhì).二、填空題13．我市雁塔路是一條南北走向的繁華的主街道，也是我市一道美麗的風(fēng)景線.某單位利用周日安排6名志愿者在雁塔路上相鄰的6個(gè)十字路口進(jìn)行“創(chuàng)文”宣傳活動(dòng)，每個(gè)路口安排1名志愿者，則甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口的安排方式共有種.【答案】240【分析】利用捆綁法可求安排方式的總數(shù).【詳解】把甲乙看成一個(gè)元素，該元素與其余4人一起共有種不同的安排方程，故甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個(gè)路口的安排方式總數(shù)為，故答案為：.14．關(guān)于問題“從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)x，y，求x，y滿足的概率”，有一種解法是：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，條件表示的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)的正方形，面積；所求表示的區(qū)域?yàn)榘霃降膱A的，面積，則所求概率.類比上述解法，我們可求得：從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取三個(gè)數(shù)x，y，z，則x，y，z滿足的概率為.【答案】【分析】正方形類比正方體，圓類比球，即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，條件對(duì)應(yīng)的空間為棱長(zhǎng)的正方體，體積，所求表示的空間為半徑的球的，體積，則所求概率.故答案為：.15．下列命題中，正確的命題有（將所有正確的序號(hào)寫在橫線上）.①回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心；②將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；③用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，越接近0，說(shuō)明模型的擬合效果越好；④用等距系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1~160編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成20組（1~8號(hào)，9~16號(hào)，…，153~160號(hào)），若第16組抽出的號(hào)碼為126，則第一組中用抽簽法確定的號(hào)碼為6號(hào).【答案】①②④【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷①的正誤，根據(jù)方差的公式可判斷②的正誤，根據(jù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)可判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋驶貧w直線恒過樣本點(diǎn)的中心，①正確；對(duì)于②，對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)，其均值為,其方差為，若該組數(shù)據(jù)同時(shí)加上常數(shù)，得新的一組數(shù)據(jù)：，其均值為，方差為，此時(shí)兩個(gè)方差相等，故②正確.對(duì)于③，當(dāng)越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④，設(shè)第一組中用抽簽法確定的號(hào)碼為，則第16組抽出的號(hào)碼為，故，故第一組中用抽簽法確定的號(hào)碼為，故④正確.故答案為：①②④16．英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，.則.【答案】【分析】由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，據(jù)此可得，故可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，，因?yàn)椋剩剩始矗剩蕿榈缺葦?shù)列，故.所以故答案為：三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，且AC邊上的高為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)15【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，從而得到；（2）由比例引入常數(shù)，利用三角形面積相等得到，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得到，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)椋杂傻茫裕獾没颍驗(yàn)椋裕瑒t，故，則，故．（2）因?yàn)椋睿瑒t，由三角形面積公式可得，則，故，由余弦定理可得，則，解得，從而，，，故的周長(zhǎng)為．18．某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業(yè)務(wù).該地區(qū)某一興趣小組由20名高二級(jí)學(xué)生和15名高一級(jí)學(xué)生組成，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取7人，組成一個(gè)體驗(yàn)小組去市場(chǎng)體驗(yàn)“共享單車”的使用.問：(1)應(yīng)從該興趣小組中抽取高一級(jí)和高二級(jí)的學(xué)生各多少人；(2)已知該地區(qū)有X，Y兩種型號(hào)的“共享單車”，在市場(chǎng)體驗(yàn)中，該體驗(yàn)小組的高二級(jí)學(xué)生都租X型車，高一級(jí)學(xué)生都租Y型車.①如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市場(chǎng)體驗(yàn)過程中租X型車的概率；②已知該地區(qū)X型車每小時(shí)的租金為1元，型車每小時(shí)的租金為1.2元，設(shè)為從體驗(yàn)小組內(nèi)隨機(jī)抽取3人得到的每小時(shí)租金之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)應(yīng)從該興趣小組中抽取中高一人數(shù)為，高二人數(shù)為(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可求各自抽取的人數(shù).（2）①根據(jù)古典概型的概率公式結(jié)合組合計(jì)數(shù)可求概率；②可取，古典概型的概率公式結(jié)合組合計(jì)數(shù)可求分布列，利用公式可求期望.【詳解】（1）高二與高一興趣小組的人數(shù)之比為，故體驗(yàn)小組中高二人數(shù)為，高一人數(shù)為.故應(yīng)從該興趣小組中抽取中高一人數(shù)為，高二人數(shù)為（2）①設(shè)為“抽取的3人中至少有2人在市場(chǎng)體驗(yàn)過程中租X型車”，則.②可取，又，，，，故的分布列為：所以.19．如圖，在多面體中，，平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，平面.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由線面平行得到線線平行，得到和，從而證明出線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，從而得到二面角的余弦值；法二：作出輔助線，得到是二面角的平面角，求出各邊長(zhǎng)后得到答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連接MD，．在中，M，D分別是，的中點(diǎn)，所以，且．又，故，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面．因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕剩谡鰽BC中，M是BC的中點(diǎn)，故AM⊥BC，故，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫妗推矫妫?/p>

（2）法一：因?yàn)椋矫妫浴推矫妫訟為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．則，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，故平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量，則，取，則，，故平面的一個(gè)法向量為．所以，設(shè)二面角C1－A1B－C的大小為θ，由圖可知，，所以二面角的余弦值為．

法二：連接，在平面內(nèi)，過點(diǎn)C作，垂足為H，連接DH．在中，，D是的中點(diǎn)，所以．由（1）可知，⊥平面，平面，故．又，平面，所以⊥平面．因?yàn)槠矫妫浴停帧停矫妫浴推矫妫驗(yàn)槠矫妫裕允嵌娼堑钠矫娼牵谥校裕瑩?jù)，得．在Rt中，，，所以二面角C1－A1B－C的余弦值為．

20．已知橢圓：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為、，且.求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)離心率設(shè)，故，根據(jù)的最大值可求，故可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用“知點(diǎn)求點(diǎn)”可得的坐標(biāo)（用表示），取，則可證明共線，故可證直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.因?yàn)殡x心率為，故，故可設(shè)，故.設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故即，故.故，所以橢圓方程為：.（2）

由（1）可得.直線的方程為，由可得，該方程必有一根，故即，所以，同理，.取，若，則或，故，此時(shí)直線的方程為：，過定點(diǎn)；若，則，，，故，故共線，即直線過定點(diǎn)，綜上，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，和討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可；（3）結(jié)合前面的解析，取時(shí)，則，利用不等式的放縮即可證明.【詳解】（1）由題意可知的定義域?yàn)椋睿瑒t，①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，故，所以，即，由得，令（），則，令，則，在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，故在單調(diào)遞增．所以，故在恒成立．由在單調(diào)遞增，而，，故．（3）取時(shí)，，則，所以，因此，則.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟：1.

作差或變形；2.

構(gòu)造新的函數(shù)；3.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值；4.

根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.22．在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，