北京市西城區名校2024屆八年級數學第一學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．2．下面是一名學生所做的4道練習題：①；②；③，④，他做對的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．43．248﹣1能被60到70之間的某兩個整數整除，則這兩個數是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和674．周長38的三角形紙片（如圖甲），,將紙片按圖中方式折疊，使點與點重合，折痕為（如圖乙），若的周長為25，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．135．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）．A． B．C． D．6．如圖，在等腰中，的垂直平分線交于點，若，，則的周長是（）A． B． C． D．7．已知，則下列變形正確的是（）A． B． C． D．8．已知,則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．下列“慢行通過，注意危險，禁止行人通行，禁止非機動車通行”四個交通標志圖（黑白陰影圖片）中為軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．已知等腰三角形的一邊長為2，周長為8，那么它的腰長為()A．2 B．3 C．2或3 D．不能確定11．如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，射線交于點，則下列說法中：①是的平分線；②；③點在的垂直平分線上；④．其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，則∠BAD為（）A．50° B．60° C．80° D．120°二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，則∠EDF的度數是_____.14．如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN的周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數是_____．15．若二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是_____________．16．兩個最簡二根式與相加得，則______．17．若是完全平方式，則的值為______.18．若|x+y+1|與（x﹣y﹣3）2互為相反數，則2x﹣y的算術平方根是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，求證：BD平分∠ADC．20．（8分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．求證：BE=CF．21．（8分）如圖，為邊長不變的等腰直角三角形，，，在外取一點，以為直角頂點作等腰直角，其中在內部，，，當E、P、D三點共線時，．下列結論：①E、P、D共線時，點到直線的距離為；②E、P、D共線時，；；④作點關于的對稱點，在繞點旋轉的過程中，的最小值為；⑤繞點旋轉,當點落在上，當點落在上時，取上一點，使得，連接，則．其中正確結論的序號是___．22．（10分）解分式方程：＝－．23．（10分）（1）化簡（2）解方程（3）分解因式24．（10分）（問題）在中，，，點在直線上（除外），分別經過點和點作和的垂線，兩條垂線交于點，研究和的數量關系.（探究發現）某數學興趣小組在探究，的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，他們發現當點是中點時，只需要取邊的中點（如圖1），通過推理證明就可以得到和的數量關系，請你按照這種思路直接寫出和的數量關系；（數學思考）那么點在直線上（除外）（其他條件不變），上面得到的結論是否仍然成立呢？請你從“點在線段上”“點在線段的延長線上”“點在線段的反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結論.25．（12分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°．（1）實踐與操作：作AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別交于點D，E（用尺規作圖．保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）推理與計算：求∠AEC的度數．26．如圖，點A、D、B、E在一條直線上，AD=BE，∠C=∠F，BC∥EF.求證：（1）△ABC≌DEF；（2）AC∥DF

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】先由數軸觀察a、b、c的正負和大小關系，然后根據不等式的基本性質對各項作出正確判斷.【題目詳解】由數軸可以看出a＜b＜0＜c，因此，A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故選項錯誤；B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故選項正確；C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故選項錯誤；D、∵a＜c，b＜0，∴，故選項錯誤.故選B.【題目點撥】此題主要考查了不等式的基本性質及實數和數軸的基本知識，比較簡單．2、B【分析】根據零次冪、積的乘方、完全平方公式、負整數指數冪進行判斷.【題目詳解】解：①，正確；②，錯誤；③，錯誤；④，正確.故選B.【題目點撥】本題考查了整式乘法和冪的運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.3、B【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．【題目詳解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故選：B．【題目點撥】此題考察多項式的因式分解，將248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案4、B【分析】由折疊的性質可得AD=BD，由△ABC的周長為38cm，△DBC的周長為25cm，可列出兩個等式，可求解．【題目詳解】∵將△ADE沿DE折疊，使點A與點B重合，

∴AD=BD，

∵△ABC的周長為38cm，△DBC的周長為25cm，

∴AB+AC+BC=38cm，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm，

∴AB=13cm=AC

∴BC=25-13=12cm

故選：B．【題目點撥】本題考查了翻折變換，熟練運用折疊的性質是本題的關鍵．5、C【分析】根據因式分解的定義即可判斷．【題目詳解】因式分解是指把多項式化成幾個單項式或多項式積的形式，A、B錯誤，C正確．而，故D不正確．故選C．【題目點撥】此題主要考查因式分解的判斷，解題的關鍵熟知因式分解的定義．6、A【解題分析】先根據線段垂直平分線的性質得到AD＝DC，由是等腰三角形得到AB=AC，則AD＋DB＝DC＋DB＝AC，再根據△BCD的周長＝BC＋BD＋CD即可進行解答．【題目詳解】∵是線段AC的垂直平分線，

∴AD＝DC，∵是等腰三角形，

∴，∴AD＋CD＝BD＋CD＝AC，∵，，

∴△BCD的周長．故選：A．【題目點撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解題的關鍵．7、D【分析】根據不等式的基本性質，逐一判斷選項，即可.【題目詳解】∵，∴，∴A錯誤；∵，∴，∴B錯誤；∵，∴，∴C錯誤；∵，∴，∴D正確，故選D.【題目點撥】本題主要考查不等式的基本性質，特別要注意，不等式兩邊同乘以一個負數，不等號要改變方向.8、C【分析】根據不等式的性質逐項分析.【題目詳解】A在不等式的兩邊同時減去1，不等號的方向不變，故A錯誤；B在不等式的兩邊同時乘以3，不等號的方向不變，故B錯誤；C在不等式的兩邊同時乘以-1，不等號的方向改變，故C正確；D在不等式的兩邊同時乘以，不等號的方向不變，故D錯誤.【題目點撥】本題主要考查不等式的性質，（1）在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數，不等號的方向不變；（2）在不等式的兩邊同時乘以或除以（不為零的數）同一個正數，不等號的方向不變；（3）在不等式的兩邊同時乘以或除以（不為零的數）同一個負數，不等號的方向改變.9、B【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得出答案．【題目詳解】A．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B．是軸對稱圖形，故本選項正確；C．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選B．10、B【分析】根據等腰三角形性質和已知條件，進行分類討論，即可得到答案,要注意的是一定要符合構成三角形的三邊關系.【題目詳解】已知三角形一邊長為2,(1)當這一邊是等腰三角形的腰時,它的腰長就為2,則底邊是4根據三角形三邊關系,這種情況不符合條件;(2)當這一邊是等腰三角形的底邊時∵周長為8,底邊為2∴腰長為:=3(等腰三角形兩腰相等)根據三角形三邊關系,這種情況符合條件;綜上所述,這個等腰三角形的腰長為3.故答案選B.【題目點撥】本題考查了三角形的三邊關系與等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握三角形的三邊關系與等腰三角形的性質.11、D【分析】①連接，，根據定理可得，故可得出結論；②根據三角形的外角的性質即可得出結論；③先根據三角形內角和定理求出的度數，再由是的平分線得出，根據可知，故可得出結論；④先根據直角三角形的性質得出，，再由三角形的面積公式即可得出結論．【題目詳解】解：①證明：連接，，在與中，，，則，故是的平分線，故此結論正確；②在中，，，．是的平分線，，∴，故此結論正確；③，，，點在的垂直平分線上，故此結論正確；④在中，，，，，，，故此結論正確；綜上，正確的是①②③④．故選：D．【題目點撥】本題考查的是角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，作圖基本作圖等，熟知角平分線的作法是解答此題的關鍵．12、B【分析】先根據全等三角形的對應角相等得出B=∠D=25°，再由三角形內角和為180°，求出∠DAE=50°，然后根據∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度數．【題目詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=105°，∴∠DAE=180°-25°-105°=50°，∵∠EAB=10°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=60°．故選B．【題目點撥】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理．綜合應用全等三角形的性質和三角形內角和定理是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、50°【分析】由題中條件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°與∠BDE、∠CDF的差表示，進而求解即可．【題目詳解】解：如圖，在△BDE與△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE=∠CFD，∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=50°，∴∠EDF=50°，故答案是：50°．【題目點撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．14、160°．【解題分析】分析：根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠AA″A′=80°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．詳解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB=100°，∴∠AA′M+∠A″=80°．由軸對稱圖形的性質可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°．故答案為：160°．點睛：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵．15、≤4【分析】根據被開方數大于等于0列式計算即可.【題目詳解】解：由題意，得4-≥0解得≤4.故答案為≤4.【題目點撥】本題考查了二次根式有意義的條件.二次根式的被開方數是非負數.16、1【分析】兩個最簡二次根式可以相加，說明它們是同類二次根式，根據合并的結果即可得出答案．【題目詳解】由題意得，與是同類二次根式，∵與相加得，∴，，

則．

故答案為：1．【題目點撥】本題考查了二次根式的加減運算，判斷出與是同類二次根式是解答本題的關鍵．17、9【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可．【題目詳解】∵是完全平方式，∴，∴k=9，故答案為9.【題目點撥】此題考查完全平方式，解題關鍵在于掌握完全平方式的運算.18、1【分析】首先根據題意，可得：，然后應用加減消元法，求出方程組的解是多少，進而求出的算術平方根是多少即可．【題目詳解】解：根據題意，可得：，①②，可得，解得，把代入①，解得，原方程組的解是，的算術平方根是：．故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應用．三、解答題（共78分）19、見解析【分析】由AB＝AD可得出∠ADB＝∠ABD，由AB∥DC，利用“兩直線平行，內錯角相等”可找出∠ABD＝∠BDC，結合∠ADB＝∠ABD可得出∠ADB＝∠BDC，進而可證出BD平分∠ADC．【題目詳解】證明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，又∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即BD平分∠ADC．【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，角平分線的判定，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．20、見解析【分析】由AD是△ABC的中線就可以得出BD=CD，再由平行線的性質得到∠FCD=∠EBD，∠DFC=∠DEB，推出△CDF≌△BDE，就可以得出BE=CF．【題目詳解】∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵BE∥CF，∴∠FCD=∠EBD，∠DFC=∠DEB，在△CDF和△BDE中，，∴△CDF≌△BDE（AAS），∴BE=CF．【題目點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質、平行線的性質等知識，解答時證明三角形全等是關鍵．21、②③⑤【分析】①先證得，利用鄰補角和等腰直角三角形的性質求得，利用勾股定理求出，即可求得點到直線的距離；②根據①的結論，利用即可求得結論；③在中，利用勾股定理求得，再利用三角形面積公式即可求得；④當共線時，最小，利用對稱的性質，的長，再求得的長，即可求得結論；⑤先證得，得到，根據條件得到，利用互余的關系即可證得結論．【題目詳解】①∵與都是等腰直角三角形，∴，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，作BH⊥AE交AE的延長線于點H，∵，，∴，∴，∴點到直線的距離為，故①錯誤；②由①知：，，，∴，故②正確；③在中，由①知：，∴，，，故③正確；④因為是定值，所以當共線時，最小，如圖，連接BC，∵關于的對稱，∴，∴，∴，，故④錯誤；⑤∵與都是等腰直角三角形，∴，，，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤正確；綜上，②③⑤正確，故答案為：②③⑤．【題目點撥】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的應用，三角形的面積公式，綜合性強，全等三角形的判定和性質的靈活運用是解題的關鍵．22、x＝1【分析】方程兩邊同時乘以（2x+1）（2x﹣1），化為整式方程，求解整式方程，并進行檢驗即可．【題目詳解】解：原方程可變為：，兩邊同時乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1=1x﹣3﹣4x﹣2，解得：x=1．經檢驗：x=1是原分式方程的解．∴原方程的解是x=1．【題目點撥】本田考查解分式方程，注意分式方程結果要檢驗．23、（1）；（2）無解；（3）【分析】（1）直接根據分式知識化簡即可；（2）去分母然后解方程即可；（3）先提公因式，再根據完全平方因式分解即可.【題目詳解】解：（1）====；（2）檢驗：把x=3代入得：x-3=0，則x=3為方程的增根，故原方程無解；（3）原式===.【題目點撥】本題是對計算的綜合考查，熟練掌握分式化簡，分式方程及因式分解是解決本題的關鍵.24、（1）；（2）；（3）仍然成立..【分析】(1)【探究發現】取中點，連接，根據三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數量關系;(2)【數學思考】分三種情況討論:①若點在線段上，在AC上截取，連接;②若點在線段的反向延長線上，在AC反向延長線上截取，連接;③若點在線段的延長線