Page19浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)映射，帶值檢驗(yàn)即可解決.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)；故選：A.2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A令即可判斷；B、C應(yīng)用作差法判斷大小關(guān)系；D利用基本不等式，注意等號(hào)成立條件判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤；B：，而，故，錯(cuò)誤；C：，而，若時(shí)，錯(cuò)誤；D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，正確.故選：D3.設(shè)，則“”是“關(guān)于x的不等式有解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先分，，討論，求出不等式有解時(shí)的范圍，再通過(guò)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】關(guān)于x的不等式有解當(dāng)時(shí)，，得，符合有解；當(dāng)時(shí)，或，解得或關(guān)于x不等式有解得，故“”是“關(guān)于x的不等式有解”的必要不充分條件故選：B.4.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，得，而，易得兩集合之間關(guān)系.【詳解】,且,,，又，則集合中的元素應(yīng)為12的正整數(shù)倍,集合中的元素為24的整數(shù)倍,故,.可知,當(dāng)元素滿足為24的整數(shù)倍時(shí),必滿足為12的正整數(shù)倍,則故A,B錯(cuò)誤，對(duì)D選項(xiàng)，若，則此元素既不在集合中，也不在集合中，故D錯(cuò)誤，故選：C.5.下列判斷正確的是（）A.函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) B.函數(shù)是非奇非偶函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，，所以，故函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瑒t為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域滿足，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)非奇非偶，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瑒t函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：D.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先對(duì)時(shí)，函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，然后得到其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后的單調(diào)性，再討論時(shí)，利用基本不等式等到它在此范圍內(nèi)的最值，然后得到其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后的最值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，根據(jù)減函數(shù)加上減函數(shù)為減函數(shù)，則在單調(diào)遞減，故當(dāng)其關(guān)于對(duì)稱(chēng)后，變?yōu)楫?dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A,B,D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)其關(guān)于對(duì)稱(chēng)后，變?yōu)椋瑧?yīng)有最小值2，故選：C.7.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)得出的對(duì)稱(chēng)軸，單調(diào)性得出的單調(diào)性，由根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】由題知：是在上的偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋裕獾茫海匀≈捣秶鸀椋蔬x：A.8.已知集合，，，．若，則集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為（）A.1347 B.1348 C.1349 D.1350【答案】C【解析】【分析】通過(guò)假設(shè)，求出相應(yīng)的，通過(guò)建立不等關(guān)系求出相應(yīng)的值.【詳解】設(shè)滿足題意，其中，則，，，，，，中最小的元素為1，最大的元素為，，，，實(shí)際上當(dāng)時(shí)滿足題意，證明如下：設(shè)，則,由題知，即，故的最小值為674，于是時(shí)，中的元素最多，即時(shí)滿足題意，終上所述，集合中元素的個(gè)數(shù)的最大值為1349故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.0【答案】BD【解析】分析】首先求出，再代入中，解指數(shù)方程即可.【詳解】依題意得，，則，即，解得或者.故選：BD10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤是（）A.命題“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”B.已知，，則C.“成立”是“成立”的充要條件D.關(guān)于x的方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根的充要條件是【答案】AD【解析】【分析】A.利用存在命題的否定式全稱(chēng)命題，并否定結(jié)論來(lái)判斷；B.利用不等式的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)充分性和必要性的概念來(lái)判斷；D.利用判別式和韋達(dá)定理來(lái)判斷.【詳解】A.命題“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A錯(cuò)誤；B.，則，又，根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩式相加得，可推出，B正確；C.由得，對(duì)于，有當(dāng)時(shí)，，故“成立”是“成立”的充要條件，C正確；D.關(guān)于x的方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則，解得，D錯(cuò)誤.故選：AD.11.下列函數(shù)中滿足性質(zhì)：“存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)、，使得成立”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)，利用作差法可判斷B選項(xiàng)，利用圖象法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，A選項(xiàng)中的滿足滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的、且，，所以，，B選項(xiàng)中的函數(shù)不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，，所以，，C選項(xiàng)中的函數(shù)滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋鞒龊瘮?shù)圖象，如圖，若要使，則需找,使得D為BC的中點(diǎn)，所以D選項(xiàng)中的函數(shù)滿足條件.故選：ACD.12.已知定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)，有，則稱(chēng)為“好函數(shù)”.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則為“好函數(shù)”B.若為“好函數(shù)”，則為偶函數(shù)C.若為“好函數(shù)”，則不一定是周期函數(shù)D.若為“好函數(shù)”，且，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合“好函數(shù)”、函數(shù)的奇偶性、周期性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】令，則，故，令，則，可得，（則）或，即為偶函數(shù)，B正確；A選項(xiàng)中，不是偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤.令，則，若，則，若，則，無(wú)法構(gòu)成周期函數(shù)，C正確；若，，則，，，令則，故，則，故，令則，故，則，故，綜上，，，，，，，，…可知是周期為4的函數(shù)，則，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)于新定義的抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵點(diǎn)有三個(gè)，一個(gè)是賦值法，一個(gè)是新定義中“定義”的理解和運(yùn)用，一個(gè)是函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】【分析】利用判別式法即可求出函數(shù)的值域.【詳解】由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瑢⒄淼茫裕?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是故答案為：14.給定集合A和B，定義運(yùn)算“”：．若，，則集合的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)集合新定義確定集合的元素，按照子集概念求得集合的子集，即可得子集得個(gè)數(shù).【詳解】解：因?yàn)椋裕瑒t集合的子集有：共8個(gè).故答案為：8.15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由得，設(shè)，得，代入目標(biāo)式整理，利用基本不等式求解最值.【詳解】由得，設(shè)，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，即或時(shí)等號(hào)成立的最小值是故答案為：.16.已知，函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先作出的函數(shù)圖像，令，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)，再一步轉(zhuǎn)化為與的圖像交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖像分析的范圍，即可間接求出參數(shù)的范圍.【詳解】令,則的有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖像有且僅有三個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)只有一解時(shí)，此時(shí)，即.而時(shí)，代入，解得，此時(shí)與沒(méi)有三個(gè)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，代入解得，由圖像可知，此時(shí)與圖像有有三個(gè)交點(diǎn)，符合題意，;②當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，即或.設(shè)解分別為和，則與以及兩條直線有三個(gè)交點(diǎn)即可.，當(dāng)時(shí)，由圖形可知，不符合題意，故，此時(shí).當(dāng)，時(shí)，此時(shí)函數(shù)圖像共有三個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)，由韋達(dá)定理知，，解得，與矛盾，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，由二次函數(shù)根分布的條件可知有，解得.綜上所述，有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，范圍為.故答案為：三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．17.計(jì)算求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換地公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】18.已知全集，設(shè)集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，應(yīng)用集合補(bǔ)、并運(yùn)算求結(jié)果.（2）由集合的包含關(guān)系，討論、求參數(shù)范圍，然后取并.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，故或，所以或.【小問(wèn)2詳解】由，若，即，可得或；若，則（區(qū)間端點(diǎn)等號(hào)不同時(shí)成立），可得；綜上，或.19.二十大正式開(kāi)幕，二十大報(bào)告中，“推動(dòng)綠色發(fā)展，促進(jìn)人與自然和諧共生”作為一章被單獨(dú)羅列了出來(lái)，過(guò)去十年是生態(tài)文明建設(shè)和生態(tài)環(huán)境保護(hù)認(rèn)識(shí)最深、力度最大、舉措最實(shí)、推進(jìn)最快、成效最顯著的十年，而與每個(gè)居民的日常生活密切相關(guān)的就是水資源問(wèn)題．目前，居民用戶(hù)綜合水價(jià)按三檔分階梯計(jì)價(jià)（如下表所示），階梯水量以年為計(jì)價(jià)周期，周期之間不累計(jì)、不結(jié)轉(zhuǎn)．階梯用戶(hù)用水量（噸）綜合水價(jià)（元／噸）其中自來(lái)水費(fèi)（元／噸）污水處理費(fèi)（元／噸）第一階梯0～144（含）3.502.501.00第二階梯144～204（含）7.006.00第三階梯204以上9.008.00（1）若一戶(hù)家庭一年所交水費(fèi)為756元，問(wèn)其一年用水多少?lài)崳唬?）將居民繳納的污水處理費(fèi)視為污水處理廠的收入，一個(gè)中型污水處理廠的月處理污水量在30萬(wàn)噸到300萬(wàn)噸之間，中型污水處理廠的月處理成本y（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，問(wèn)該廠每月污水處理量為多少萬(wàn)噸時(shí)，才能使每萬(wàn)噸的處理利潤(rùn)最大？【答案】（1）噸；（2）每月處理萬(wàn)噸時(shí)處理利潤(rùn)最大.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)寫(xiě)出水費(fèi)的分段函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)求對(duì)應(yīng)用水量值即可；（2）由，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)用水量為噸，則：當(dāng)，水費(fèi)元；當(dāng)，水費(fèi)元；當(dāng)，水費(fèi)元；由題設(shè)，水費(fèi)，當(dāng)元，而，，所以，可得噸.【小問(wèn)2詳解】由題意，處理利潤(rùn)且，所以，在上遞增，當(dāng)萬(wàn)噸時(shí)，最大萬(wàn)元.20.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．（1）求a（2）設(shè)函數(shù)，，記在上的最小值為，求的最小值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義建立方程組即可求解.（2）首先根據(jù)題意求出的表達(dá)式，再利用換元法，將其轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，討論二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的位置，分別求最小值，然后利用分段函數(shù)以及二次函數(shù)研究的最小值即可.【小問(wèn)1詳解】為指數(shù)函數(shù)，根據(jù)定義得，解得.此時(shí).【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，則.令，，則只需求在上的最小值.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在處取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸處取得最小值，即時(shí)，此時(shí)；當(dāng),即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處取得最小值，.綜上，可得.由可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在處取最小值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在處取最小值.綜上的最小值為1.21.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)，．（1）求時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）判斷在R上的單調(diào)性；（3）解關(guān)于x的不等式，其中．【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞減；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）令，根據(jù)其為奇函數(shù)，則；（2）因其是奇函數(shù)，則只需證明在上單調(diào)性，利用定義法證明其單調(diào)性，取值，作差，因式分解，判定符號(hào)，得到結(jié)論.（3）根據(jù)其為奇函數(shù)移項(xiàng)得，根據(jù)其為單調(diào)減函數(shù)，則，接下來(lái)對(duì)分類(lèi)討論即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，則，根據(jù)為奇函數(shù)，則，【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞減，理由：為奇函數(shù)，且，故我們證明其在上單調(diào)性，任取，且，，所以，，，即，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榉侄魏瘮?shù)的銜接點(diǎn)，且為奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，，即，即，①當(dāng)時(shí)，，解得，②當(dāng)時(shí),,不等式化為,解得或;③當(dāng)時(shí),,不等式為,解得;④當(dāng)時(shí),,不等式為,解得;⑤當(dāng)時(shí),,不等式為,解得;綜上知,時(shí),不等式的解集為;時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為.22.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，都存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令，知，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)為，去掉絕對(duì)值后，得，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，列出不等式，求出即可.（2）原問(wèn)題中的命題為全稱(chēng)命題，可先求出滿足其命題的否定形式的實(shí)數(shù)b的取值范圍，求出的取值范圍的反面就是滿足原題命題