4.2

線段、射線、直線第4章圖形的認識第

1課時

線段、射線、直線猜猜看風箏跑了（打一個數學名詞）

線段(斷)情境導入1情境導入2思考：繃緊的琴弦，手電筒射出的光線，向兩方無限延伸的筆直的鐵軌等，它們可以分別抽象出哪些簡單的平面圖形呢？長方體的棱和數學課本封面的邊是什么圖形？合作探究線段線段有兩個端點線段、射線、直線的概念及表示方法怎樣由一條線段得到一條射線和直線呢？由一條線段得到一條射線：由一條線段得到一條直線：將線段的一端固定不動，另一端無限延長，便得到一條射線.將線段的兩端都無限延長，便得到一條直線.想一想CB表示1：線段CB(或線段

BC)b表示2：線段b表示：射線OBEF表示1：直線EF(或直線

FE)表示2：直線

aBOa思考：怎么表示線段、射線、直線呢？(端點的字母O

寫在首位)(點

E、F不能取在線盡頭)(字母b放在線段中央)PO記作：射線

PO

（）ab記作：直線

ab

（）1234××AB記作：直線

AB

（）√AB記作：線段

BA

（）√考考你請用兩種方式分別表示圖中的兩條直線.BAOmn.56如圖，直線

AB

和直線AC

表示的是同一條直線嗎？ABC.射線OB和射線BO

是同一條射線嗎?為什么?(要求：畫圖說明)OB射線

OBOB射線

BOOB怎樣表示圖中以

O

為端點的射線?AOBC87名稱圖形表示方法延伸方向端點個數能否度量線段射線直線ABaABABABl直線l直線AB(或BA)射線BA射線AB線段a線段AB(或BA)不能延伸兩個能AB方向延伸一個否兩方延伸沒有否BA方向延伸歸納總結線段、射線、直線表示方法及比較

例1

如圖所示，下列說法正確的是(

)A．直線

AB和直線

CD是不同的直線B．射線

AB和射線

BA是同一條射線C．線段

AB和線段

BA是同一條線段D．直線

AD＝AB＋BC＋CD典例精析[解析]在直線上任意兩個大寫字母都可以表示這條直線，所以A錯；表示射線時，第一個字母表示射線的端點．端點字母不同，射線必然不同，所以B錯；直線無長短，所以D錯．C練一練1．下列圖形中表示射線

AB的是(

)2．下列關于直線的表示方法正確的是(

)BC問題1動手畫一畫，點與直線有哪幾種位置關系？如圖，QlP點

Q在直線

l外(直線

l不經過點

Q).點

P在直線

l上(直線

l經過點

P)，我們可以說，合作探究點與直線的位置關系(2)點在直線外(直線不經過這個點).點與直線有兩種位置關系：(1)點在直線上(直線經過這個點)；知識要點問題2如圖，畫出直線

AB

與直線

BC，它們有幾個公共點？結論：當兩條不同的直線只有一個公共點時，我們稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.圖中直線

AB，射線

CD，線段

MN

能夠相交的是(

)練一練D(1)過一點O

可以畫幾條直線？(2)過兩點

A、B可以畫幾條直線？·O基本事實：過兩點有且只有一條直線.合作探究·A·B兩點確定一條直線(3)如果你想將一根細木條固定在墻上，至少需要幾個釘子?

這樣做的依據是什么嗎？練一練舉一個能反映“經過兩點有且只有一條直線”的實例.1.植樹時，只要定出兩個樹坑的位置就能確定同一行的樹坑所在的直線.2.射擊的時候瞄準目標活動1：圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；合作探究

以

A

為端點的線段有

AB，AC，AD，AE，共4條，以

B

為端點且與前面不重復的線段有

BC，BD，BE，共3條，以C

為端點且與前面不重復的線段有CD，CE，共2條，以

D

為端點且與前面不重復的線段有

DE，共1條，從而共有4＋3＋2＋1＝10(條)線段．1.當直線

a

上有

1個點時，可得到

條射線，

條線段；·ABOa···C2.當直線

a

上有

2個點時，可得到

條射線，

條線段；3.當直線

a

上有

3個點時，可得到

條射線，

條線段；4.當直線a上有

4個點時，可得到

條射線，

條線段；活動2：當直線

a

上有n

個點時，可得到

條射線，

條線段.204163862nn(n-1)25.當直線

a

上有

5個點時，可得到

條射線，

條線段；106.當直線

a

上有

6個點時，可得到

條射線，

條線段.1012151.下列表示方法正確的是()A.線段

LB.直線

ab

C.直線

mD.射線

OaC3.

在同一平面內有三個點

A，B，C，過其中任意兩個點做直線，可以畫出的直線的條數是

()A.1B.2C.1或3D.無法確定C2.

下列語句準確規范的是()A.延長直線

ABB.直線

AB，CD相交于點

MC.延長射線AO到點

BD.直線a，b相交于一點

m

B4.下列現象：①農民伯伯拉繩插秧；②解放軍叔叔打靶瞄準；③學生早操隊列對齊；④在墻上至少要用兩根釘子才能把木條固定；⑤改直彎曲的河道，縮短航程．其中可以用“兩點確定一條直線”來解釋的有__________．(填序號)①②③④5.

如圖，在平面上有四個點

A，B，C，D，根據下列語句畫圖：

(1)做射線

BC；(2)連接線段

AC，BD交于點

F；(3)畫直線

AB，交線段

DC的延長線于點

E；

(4)連接線段

AD，并將其反向延長.EFABCD6.

如圖，A，B，C三點在一條直線上，(1)圖中有幾條直線，怎樣表示它們？(2)圖中有幾條線段，怎樣表示它們？(3)射線AB和射線AC是同一條射線嗎？(4)圖中有幾條射線？寫出以點

B為端點的射線.解：(1)1條，直線

AB或直線AC或直線

BC.(2)3條，線段

AB，線段

BC，線段AC.(3)是.(4)6條.以

B

為端點的射線有射線BC、射線

BA.ABC7.兩條直線相交，最多有

1

個交點.三條直線相交，最多有

3

個交點.四條直線相交，最多有多少個交點？n

條直線相交呢？n(n-1)2結論：n

條直線相交最多有個交點.線段、射線、直線線段、射線、直線的概念及表示

點與直線的位置關系：點在直線上；點在直線外直線的基本事實：兩點確定一條直線

4.2線段、射線、直線第4章圖形的認識第

2課時線段的長短比較合作探究??AB

如圖，從

A地到B

地有四條道路，除它們外能否再修一條從

A

地到

B

地的最短道路？如果能，請你在圖上畫出最短路線.發現：兩點之間的所有連線中，線段最短兩點之間線段最短2.連接兩點的線段的長度，叫做這兩點間的距離.1.上述發現可以總結為：兩點之間線段最短知識要點兩點之間線段最短1.

如圖，這是A，B兩地之間的公路，在公路工程改造計劃時，為使A，B兩地行程最短，應如何設計線路？請在圖中畫出，并說明理由.想一想.BA.2.

把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度有什么變化？ABA，B兩地間的河道長度變短.典例精析[解析]在

MN上任選一點

P，它到

A，B的距離即線段

PA與

PB的長，結合兩點之間線段最短可求．

例1

如圖所示，直線

MN表示一條鐵路，鐵路兩旁各有一點

A和

B，表示兩個工廠．要在鐵路上建一貨站，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站應建在何處？解：連接

AB，交

MN

于點

P，則這個貨站應建在點

P處.PP

(1)兩點之間的距離的概念描述的是數量，而不是圖形，指的是連接兩點的線段的長度，而不是線段本身．(2)在解決選擇位置、求最短距離等問題時，通常轉化為“兩點之間線段最短”．歸納總結情境探究

觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中線段a和b的長短嗎？三組圖形中，線段

a與

b的長度均相等

很多時候，眼見未必為實.準確比較線段的長短還需要更加嚴謹的辦法.(1)(2)(3)abaabb

下圖中哪棵樹高？哪支鉛筆長？窗框相鄰的兩條邊哪條邊長？你是怎么比較的？與同伴進行交流.議一議135467280135467280比較兩條線段的長短思考：怎樣比較兩條線段的長短?(1)度量法(2)疊合法

將其中一條線段“移動”，使其一端點與另一線段的一端點重合，兩線段的另一端點均在同一射線上.用刻度尺量出它們的長度，再進行比較.ABCDabCD1.

若點A與點C重合，點B落在

C，D之間，則AB

CD.(A)B

＜疊合法結論：CDABB(A)2.

若點A與點C重合，點B與點D

，則AB=CD.3.

若點A與點C重合，點B落在CD的延長線上，則AB

CD.重合＞BABACD(A)(B)

在直線上畫出線段AB=a，再在AB的延長線上畫線段BC=b，線段AC就是

與

的和，記作AC=

.如果在AB上畫線段BD=b，那么線段AD就是

與

的差，記作

AD=

.

ABCDa+ba-babb畫一畫aba+baba-b線段的和、差、倍、分

如圖，點

B，C在線段AD上則

AB+BC＝____；

AD－CD＝___；BC＝___－___＝___－___.ABCDACACACABBDCD做一做例2

如圖，已知線段

a，借助圓規和直尺作一條線段使它等于2a.(1)作射線

AD；(2)在

AD上順次截取

AB=BC=a.則

AC就是所要求作的線段a解：作圖步驟如下：典例精析這樣僅用圓規和沒有刻度的直尺作圖的方法叫尺規作圖.ABCD

在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點處于線段的什么位置？ABMABM

如圖，點M在線段AB上，且把線段AB分成相等的兩條線段

AM與BM，點M叫做線段AB的中點.類似地，還有線段的三等分點、四等分點等.線段的三等分點線段的四等分點AaaMBM是線段AB的中點.幾何語言：因為

M是線段AB的中點，所以

AM=BM=AB

(或AB=2AM=2BM).反之也成立：因為

AM=BM=AB

(或AB=2AM=2BM)，

所以

M是線段AB的中點.點M，N是線段AB的三等分點：AM=MN=NB=___AB(或AB=___AM=___MN=___NB)333NMBA例3如圖，已知線段

a，b(a>b)作一條線段使它等于a-

b.解：作圖步驟如下：Ab(1)作射線

AF；F

(2)在射線AF

上截取

AC=a；aCB

(3)在線段

AC

截取

AB=b.則線段

BC就是所要求作的線段.變式：如果線段

AB＝6，點

C

在直線

AB

上，BC＝4，D

是

AC

的中點，那么

A、D

兩點間的距離是(

)A.

5B.

2.5C.

5

或

2.5D.

5

或

1【解析】本題有兩種情形：(1)當點

C

在線段

AB

上時，如圖：AC＝AB－BC，又因為

AB＝6，BC＝4，所以

AC＝6－4＝2，因為

D

是

AC

的中點，所以

AD＝1；(2)當點

C

在線段

AB

的延長線上時，如圖：AC＝AB＋BC，又因為AB＝6，BC＝4，所以

AC＝6＋4＝10，因為

D

是

AC

的中點，所以

AD＝5.

故選

D.方法總結：解答本題關鍵是正確畫圖，本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解.

(1)逐段計算：求線段的長度，主要圍繞線段的和、差、倍、分關系展開．若每一條線段的長度均已確定，所求問題可迎刃而解．計算線段長度的一般方法：(2)整體轉化：巧妙轉化是解題關鍵．首先將線段轉化為兩條線段的和，然后再通過線段的中點的等量關系進行替換，將未知線段轉化為已知線段．歸納總結例4如圖，B、C兩點把線段

AD分成

2∶3∶4

的三部分，點

E是線段

AD的中點，EC＝2cm，求：(1)AD的長；(2)AB∶BE.解：(1)設

AB＝2x，則

BC＝3x，CD＝4x，由線段的和差，得

AD＝AB＋BC＋CD＝9x.由

E為

AD的中點，得

ED＝AD＝

x.由線段的和差，得

CE＝DE－CD＝

x－4x＝＝2.解得

x＝4.∴AD＝9x＝36(cm).（2）AB:BE.解：AB＝2x＝8cm，BC＝3x＝12cm.由線段的和差，得

BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm).所以

AB∶BE＝8∶10＝4∶5.方法總結：在遇到線段之間比的問題時，往往設出未知數，列方程解答.1.用圓規截取的方法比較圖中下列兩組線段的大小：(1)

AC和

AB；(2)

BC

和

AB.(1)

AC<AB(2)B