2022-2023學年河北省保定市里縣中學高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點，點P在曲線上運動，點F為拋物線的焦點，則的最小值為（

）A. B. C. D.4參考答案：D【分析】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：D.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.2.，，“”是“”的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充分必要條件

D．非分非必要條件參考答案：A3.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為（）A．8π B．π C．π D．12π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖得出空間幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O﹣ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點，利用球的幾何性質求解即可．【解答】解：根據三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O﹣ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點根據幾何體可以判斷：球心應該在過A，D的平行于底面的中截面上，設球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，該多面體外接球的表面積為：4πR2=π，故選：C．4.設向量，，定義一種向量積：==．已知=，=，點在的圖象上運動，點在的圖象上運動，且滿足=+（其中為坐標原點），則的最大值是

．參考答案：5.已知拋物線，過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為-2，則該拋物線的準線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.若均為單位向量，且＝0，≤0，則||的最大值為()A.－1

B．1

C.

D．2參考答案：B略7.稱d（）=|﹣|為兩個向量、間的“距離”．若向量、滿足：①||=1；②≠；③對任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），則（）A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】先作向量，從而，容易判斷向量t的終點在直線OB上，并設，連接AC，則有．從而根據向量距離的定義，可說明AB⊥OB，從而得到．【解答】解：如圖，作，則，t∥，∴向量t的終點在直線OB上，設其終點為C，則：根據向量距離的定義，對任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故選：C．【點評】考查有向線段可表示向量，以及對向量距離的理解，向量減法的幾何意義，共線向量基本定理．8.設全集，集合，則下列結論正確的是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.函數的定義域是

（

）

A．（-2，0）

B．（-2，-1）

C．（-1，0）

D．（-2，-1）∪（-1，0）參考答案：D10.執行如圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.毛澤東在《送瘟神》中寫到：“坐地日行八萬里”又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長約______________萬里參考答案：答案：412.過原點作曲線的切線，則切線的方程為

.參考答案：【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程．B11

【答案解析】y=ex

解析：y′=ex，設切點的坐標為（x0，ex0），切線的斜率為k，則k=ex0，故切線方程為y﹣ex0=ex0（x﹣x0），又切線過原點，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．則切線方程為y=ex，故答案為y=ex．【思路點撥】欲求切點的坐標，先設切點的坐標為（x0，ex0），再求出在點切點（x0，ex0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=x0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點即可解決問題．13.方程－3x＝k有3個不等的實根,則常數k的取值范圍是.參考答案：（-2,2）略14.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若|AB|=8，則線段AB中點的橫坐標為

．參考答案：3考點：拋物線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．與拋物線方程聯立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根與系數的關系及其弦長公式：|AB|=，解得m．再利用中點坐標公式即可得出．解答： 解：由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．聯立，化為y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化為m2=1，解得m=±1，當m=1時，聯立，化為x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1時，=3．∴線段AB中點的橫坐標為3．故答案為：3．點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.以間的整數為分子，以為分母組成分數集合，其所有元素和為；以間的整數為分子，以為分母組成不屬于集合的分數集合，其所有元素和為；……，依次類推以間的整數為分子，以為分母組成不屬于的分數集合，其所有元素和為；則（1）=

；（2）=________.參考答案：略16.已知A，B，C三點都在體積為的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，則球心O到平面ABC的距離為

．參考答案：3【考點】M1：空間向量的概念．【分析】設球的半徑為R，則=，解得R．設△ABC的外接圓的半徑為r，2r=，解得r．可得球心O到平面ABC的距離d=．【解答】解：設球的半徑為R，則=，解得R=5．設△ABC的外接圓的半徑為r，2r===8，解得r=4．∴球心O到平面ABC的距離d===3．故答案為：3．17.設數列都是等差數列,若,則______。參考答案：35

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值.參考答案：(1)；(2)最小值0；最大值【分析】（1）對函數進行三角恒等變換得，即可得最小正周期；（2）整體考慮的取值范圍，求出最大值和最小值.【詳解】解:(1)f(x)的最小正周期T=；(2)因為,所以所以當,即時,f(x)取得最小值；當,即時,f(x)取得最大值，所以f(x)在區間上的最小值0；最大值.【點睛】此題考查利用三角恒等變換對函數進行化簡，求最小正周期和閉區間上的值域，關鍵在于利用公式準確化簡，正確求值.19.已知點A，B，C是單位圓O上圓周的三等分點，設=，=，=（I）求證：（－）⊥（II）若|t++|=1，求實數t的值．參考答案：【分析】（I）由題意可得===1，且，，兩兩夾角均為120°，計算（）?=0，即可證明（）⊥．（II）由|t++|=1，可得=+++2t+2=1，又===﹣，代入即可得出．【解答】解：（I）由題意可得===1，且，，兩兩夾角均為120°，所以：（）?=1×1×cos120°﹣1×1×cos120°=0，所以（）⊥．（II）因為|t++|=1，所以=+++2t+2=1，因為===﹣，則t2+1+1﹣t﹣t﹣1=1，則t2﹣2t=0，解得t=0或2．20.(本小題10分)選修4—4:坐標系與參數方程在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線,已知過點的直線的參數方程為:直線與曲線分別交于(1)寫出曲線和直線的普通方程;(2)若成等比數列,求的值.參考答案：(1)(2)21.為了解今年某校高三畢業班準備報考飛行員學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數為12．（1）求該校報考飛行員的總人數；（2）以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省報考飛行員的同學中（人數很多）任選二人，設X表示體重超過60公斤的學生人數，求X的分布列和數學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；用樣本的頻率分布估計總體分布．【專題】計算題．【分析】（1）設報考飛行員的人數為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，根據前3個小組的頻率之比為1：2：3和所求頻率和為1建立方程組，解之即可求出第二組頻率，然后根據樣本容量等于進行求解即可；（2）由（1）可得，一個報考學生體重超過60公斤的概率為p，通過X服從二項分布p（x=k），從而求出x的分布列，最后利用數學期望公式進行求解．【解答】解：（1）設該校報考飛行員的人數為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由題意可知，，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．又因為p2=0.25=，故n=48．（2）由（1）可得，一個報考學生體重超過60公斤的概率為p=p3+（0.0375+0.0125）×5=．所以X服從二項分布，P（X=k）=，∴隨機變量X的分布列為