第四章4.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過對(duì)有理指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪含義的認(rèn)識(shí),了解指數(shù)冪的拓展過程.2.理解根式運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系.3.掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),能正確進(jìn)行實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

n次方根1.n次方根的定義:一般地,給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a,如果存在實(shí)數(shù)x,使得xn=a,則x稱為

.

2.n次方根的性質(zhì):(1)0的任意正整數(shù)次方根均為0,記為

.

(2)正數(shù)a的偶數(shù)次方根有兩個(gè),它們互為

,其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根,記為

,負(fù)的方根記為

;負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

,即當(dāng)a<0且n為偶數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

.

(3)任意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個(gè),記為

.而且正數(shù)的奇數(shù)次方根是一個(gè)

數(shù),負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方根是一個(gè)

數(shù).

a的n次方根

相反數(shù)

不存在

沒有意義

正

負(fù)根式根指數(shù)被開方數(shù)aa|a|名師點(diǎn)睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是實(shí)數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求a的n次方根,就是求一個(gè)n次方后等于a的數(shù).2.n次方根實(shí)際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運(yùn)算.過關(guān)自診1.[北師大版教材習(xí)題](1)27的3次方根表示為

;

(2)a6的3次方根表示為

;

(3)16的4次方根表示為

.

知識(shí)點(diǎn)2

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

2.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:當(dāng)a>0時(shí),規(guī)定

=

(n,m∈N+).

名師點(diǎn)睛

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

不可理解為

個(gè)a相乘,

它是根式的一種寫法.2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù).3.在冪和根式的化簡運(yùn)算中,一般將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再利用冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.過關(guān)自診1.將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:2.將下列分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式:知識(shí)點(diǎn)3

實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于任意正數(shù)a,b和實(shí)數(shù)s,t,指數(shù)冪均滿足下面的運(yùn)算性質(zhì):(1)asat=

(a>0,s,t∈R);

(2)(as)t=

(a>0,s,t∈R);

(3)(ab)s=

(a>0,b>0,s∈R).

as+tastasbs名師點(diǎn)睛1.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對(duì)任意無理數(shù)t,at都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).同理規(guī)定

.這樣指數(shù)冪中指數(shù)的范圍就擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù).2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)除了上述三個(gè)外,還有下面兩個(gè)常用的公式:(1)as÷at=as-t(a>0,s,t∈R);過關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題改編]式子

a-π(a>0)的計(jì)算結(jié)果為

.

1重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利用根式的性質(zhì)化簡或求值【例1】

[人教A版教材例題]求下列各式的值:2.在對(duì)根式進(jìn)行化簡時(shí),若被開方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意討論字母參數(shù)的取值范圍,即確定

中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.探究點(diǎn)二根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化并計(jì)算【例2】

[人教A版教材例題改編]化簡求值,將根式改為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:規(guī)律方法

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化技巧(1)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中,若冪指數(shù)為負(fù)數(shù),可先將其化為正數(shù),再化為根式;(2)含有多重根號(hào)時(shí),要理清被開方數(shù),由里向外逐次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示,最后運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)化簡.探究點(diǎn)三實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算【例3】

[人教A版教材習(xí)題改編]計(jì)算下列各式(式中字母均為正數(shù)):規(guī)律方法

1.化簡結(jié)果的一個(gè)要求和兩個(gè)不能

2.冪的運(yùn)算的常規(guī)方法(1)化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪.(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算.探究點(diǎn)四條件求值問題(1)a2+a-2;(2)a2-a-2.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.由a+a-1=3,兩邊同時(shí)平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(2)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.規(guī)律方法

條件求值的解題策略解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.要注意正確地變形,以及對(duì)一些常用公式的熟練應(yīng)用.變式訓(xùn)練4已知x+y=12,xy=9,且x<y,求

的值.解

∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.又x<y,成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12