2022-2023學年山東省泰安市高一下學期期中考試數學試題一、單選題1．已知復數，則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先利用復數的除法運算化簡，再利用復數的幾何意義求復數對應的點.【詳解】因為，所以復數在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D2．要得到函數y＝sin的圖象，只需將函數y＝sin2x的圖象()A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【詳解】要得到函數y＝sin，只需將函數y＝sin2x中的x減去，即得到y＝sin2＝sin．3．已知平面向量，，，，，，若，則實數（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】首先根據向量加法的坐標運算求出的坐標，再根據平面向量共線定理計算可得.【詳解】解：，，，，，．故選：【點睛】本題考查向量的坐標運算，平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.4．已知的面積為，且，，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由三角形的面積公式求出即得解.【詳解】因為，則有，所以，因為，所以或.故選：D.5．已知，則在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化簡復數和，再根據復數的幾何意義判斷選項.【詳解】因為，故，所以的共軛復數在復平面內對應的點為，位于第三象限．故選：C.6．已知中，為的中點，且，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量線性運算可得，知，根據投影向量為，結合長度和角度關系可求得結果.【詳解】，，，又，，，，為等邊三角形，；在上的投影向量為.故選：C.7．在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結合已知和等腰梯形的性質進行求解即可.【詳解】因為在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，所以可得：．故選：B.8．一船向正北方向勻速航行，看見正西方向有相距海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續航行一小時后，看見一燈塔在船的南偏西方向，另一燈塔在船的南偏西方向，則這艘船的航行速度是（

）A．海里/時 B．海里/時 C．海里/時 D．海里/時【答案】B【分析】計算得出，可得出，可計算出，進而可計算得出這艘船的航行速度.【詳解】如下圖所示，由題意有，，故，所以，，所以，，在中，，所以，，因此，這艘船的航行速度是海里/時.故選：B.二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．∥C． D．【答案】AC【分析】根據題意可得，，根據，判斷A正誤；根據∥，判斷B正誤；根據，代入計算判斷C正誤；根據，代入計算判斷D正誤．【詳解】∵，，則，，則，A正確；∵，與不平行，B不正確；，，則，C正確；，則，D不正確；故選：AC．10．邊長為2的等邊中，為的中點.下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項ABD，再由向量數量積公式可判斷C.【詳解】根據向量加法法則可知，，故A正確；根據向量減法法則可得，故B錯誤；由向量數量積公式得，故C正確；根據向量加法法則可知，，所以D正確.故選：ACD.11．已知復數（為虛數單位），下列說法正確的是（

）．A．對應的點在第三象限B．的虛部為C．D．滿足的復數對應的點在以原點為圓心，半徑為2的圓上【答案】AB【分析】根據復數的運算法則，化簡得到，根據復數的坐標表示，可判定A正確，根據復數的概念，可判定B正確；根據復數的運算，可判定C不正確；根據復數的幾何意義，可判定D不正確.【詳解】由題意，復數，所以復數在復平面內對應的點位于第三象限，所以A正確；由，可得復數的虛部為，所以B正確；由，所以C不正確；由，所以滿足的復數對應的點在以原點為圓心，半徑為的圓上，所以D不正確.故選：AB.12．如果平面向量，，那么下列結論中正確的是（

）A． B．與平行的一個單位向量為C．與的夾角為 D．在方向上的投影為【答案】ABD【分析】A.根據坐標計算出并判斷；B.利用求解出與平行的單位向量的坐標表示；C.根據向量夾角余弦值的計算公式可求解出結果；D.根據投影的計算公式求解出結果.【詳解】A．因為，所以，因為，所以，所以，故正確；B．與平行的一個單位向量為，且，所以與平行的單位向量為，故正確；C．因為，所以，故錯誤；D．因為在方向上的投影為，故正確；故選：ABD.三、填空題13．平面向量，滿足，，，則與的夾角為．【答案】/【分析】根據，得出，將兩邊同時平方，列式求出，再求出夾角的值.【詳解】設與的夾角為，由，得.因為，，所以，即，解得，因為，所以.故答案為：.14．已知單位向量，的夾角為，則.【答案】1【分析】由題可得，，先求出，即可得出答案.【詳解】因為單位向量，的夾角為，所以，，所以，所以.故答案為：1.15．若，且，則【答案】【分析】利用誘導公式、二倍角正弦公式，將題設條件轉化為，結合角的范圍求值，再應用二倍角正切公式求即可.【詳解】∵，∴或，又，∴，則．故答案為：16．若向量,則.【答案】【解析】首先計算出再代入計算可得.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.四、解答題17．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據已知可求出，進而即可得出答案；（2）根據兩角和的余弦公式，即可得出結果.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以.（2）由（1）得，，，則.18．如圖，在中，，，點在線段上，且.（1）求的長；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用和表示，然后利用平面向量數量積的運算律可計算出的長；（2）利用平面向量數量積計算出的值，即可得出的值.【詳解】（1）設，，則，，故；（2）設，則為向量與的夾角.，，即.【點睛】本題考查利用平面向量的數量積求模和夾角，解題的關鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查計算能力，屬于中等題.19．復數，其中為虛數單位．(1)求及；(2)若，求實數，的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先根據復數的運算求解出復數，進而根據復數的模長公式求解；（2）首先將代入等式，然后根據等式關系構造方程組，解方程組即可得到實數，的值.【詳解】（1）∵，∴．（2）由（1）可知，由，得：，即，∴，解得20．在中內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且．(1)求角A．(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據正弦定理，結合三角形內角和定理、兩角和的正弦公式進行求解即可；（2）根據余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1），由正弦定理知，，即．又，且．所以，由于．所以；（2）由余弦定理得：，．又，所以所以.21．已知函數．(1)求函數的單調遞增區間；(2)求函數在區間上的最大值和最小值；(3)若為銳角，，求的值．【答案】(1)；(2)最大值為2，最小值為；(3).【分析】(1)化簡函數解析式，結合正弦函數單調性求其單調遞增區間；(2)利用不等式的性質和正弦函數的性質求函數的最大值和最小值；(3)由條件可求，利用同角關系求，然后利用算出答案即可.【詳解】（1）由已知．令，解得故函數的單調遞增區間為（2）由，可得所以，故，所以函數在區間上的最大值為2，此時，即，函數在區間上的最小值為-1，此時，即，（3）由，可得，因為，可得，．.22．在中，角、、所對的邊分別是、、.（I）若，，，求邊的值；（II）若，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用余弦定理可得出關于的方程，即可解出邊的值；（II）由正弦定理邊角互化思想結合同角三角函數的基本關系可得出、的