1.設是實數集,則對任意的,代數運算(C)(A)適合結合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結合律(C)不適合結合律和交換律(D)適合結合律和交換律2.在群中,,的階為12,則的階為(B)(A)12(B)3(C)4(D)63．在7次對稱群中和,則等于（A）(A)(B)(C)(D)7.在群中,,則方程和分別有唯一解為(B)(A),(B),(C),(D),8.設是正整數集,則對任意的,下面“o”是代數運算的是(B)(A)(B)(C)(D)9.設是實數集,代數運算是普通加法，下列映射是的自同構的是(D)(A)(B)(C)(D)10.在偶數階群中階等于2的元數為(A)(A)奇數(B)偶數(C)1(D)不可確定11．在5次對稱群中元和的乘積是（D）(A)(B)(C)(D)12．若群的階為48,的真子群的階不可能為(C)(A)12(B)16(C)18(D)2413．群中元的階為24中，那么的循環子群的階為(C)(A)3(B)4(C)8(D)921．{所有整數},令:,當是偶數;,當是奇數.則為(B)(A)單射變換(B)滿射變換(C)一一變換(D)不是變換22．若,且的階為有限整數,則下列說法正確的是(A)(A)與模的剩余類加群同構(B)的階可能無限(C)元中沒有相同元(D)與整數加群同構24.設是有理數集,則對任意的,下列“o”是代數運算的是(C)(A)(B)(C)(D)25.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)26．在6次對稱群中的階是（A）(A)5(B)24(C)12(D)631.設是實數集,則對任意的,代數運算(C)(A)適合結合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結合律(C)不適合結合律和交換律(D)適合結合律和交換律32.設是有理數集,則對任意的,下列“o”是代數運算的是(A)(A)(B)(C)(D)33.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)34．在5次對稱群中的階是（B）(A)2(B)3(C)4(D)537.在16階循環群中,循環子群的階為(D)(A)6(B)3(C)4(D)816.用循環置換的方法寫出5次對稱群的元和,并計算，，.解:，，,(或),（或）.（或）17.求出模48的剩余類加群的所有子群.這些子群是否是不變子群?解:因為為循環群,所以為交換群,又因為48的所有正整數因子為：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48.所以模48的剩余類加群的所有子群為循環子群：([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).并且這些子群都是不變子群.設群中元的階為，試證：當且僅當.證明:必要性:設,其中為整數,,那么有,由的階為知,即.充分性:由可設,其中為整數,那么有,8.若群的每一個元都適合方程，那么是交換群.證明:任取,可知，，,所以所以是交換群.9.證明:一個循環群必是一個交換群.證明:設循環群，任取，則有所以循環群是交換群.12.證明：有限群中元的階都有限.證明:設是一個有限群，對任意的，則元都是中元，且其中一定有相同元.不妨設，則有，即.由且為有限正整數得的階為有限.13.證明:階為素數的群一定是循環群,且群中任意元都可作為群的生成元.證明:設是一個階為素數的有限群,則對任意的,的循環子群有個不同的元,所以為循環群,且群中任意元都可作為群的生成元.1、設是群中的元素，且，，則。(√)2、法則不是自然數集上的一個代數運算。(√)3、設集合，則上所有對換作成的集合是次對稱群的一個生成系。(√)4、設是實數集，規定：，則是上的一個等價關系。(×)5、交換群中任意兩個子群的乘積仍是子群。(√)7、設是循環群中一個元素，則當且僅當。(×)8、若，則到的映射是滿射當且僅當是單射。(×)3、試求置換，，的階。4、任意集合上自身到自身的映射稱之為置換。(×)5、有限群中的元素的階一定都有限。(√)3、在群中設，則對任意整數，