...wd......wd......wd...電力生產問題摘要 本文解決的是電力生產中發電機的安排問題，在滿足每日各時間段電力需求的條件下，安排各型號發電機來供電，以期獲得最小的本錢。為解決此問題，我們建設了兩個最優化模型。針對問題一：建設了非線性單目標最優化模型。從條件、目標函數、約束條件三方面進展綜合分析可知，每天的總本錢由總固定本錢、總邊際本錢、總啟動本錢組成，確定總本錢為目標函數，各時段各型號發電機工作數量及其總超出功率為主要變量，并列出相應約束條件。最后通過Lingo軟件[2]求出最小本錢為1540770元，并得出各時段各型號發電機的數量及其功率如下表〔具體見表三〕：時段型號0-66-99-1212-1414-1818-2222-241臺數0222220超出功率0200015002000011000······4臺數3303130超出功率600110005100000針對問題二：建設了線性單目標最優化模型。引入非負變量，即為各時段新增開的各型號的發電機臺數，通過此變量線性表示出啟動本錢。以總本錢為目標函數，在模型一的根基上，只需改變一個約束條件，即發電機組在任意時間段內所能發出的最大總功率的80%要大于等于該時段的用電需求。最后通過lingo軟件求出最小本錢為1885420元，并得出各時段各型號發電機的數量及其功率。關鍵詞：非線性最優化模型線性最優化模型最小生產本錢1問題重述1.1問題背景在電力生產過程中，為滿足每日的電力需求并且使生產本錢到達最小，因不同發電性能的發電機本錢不同，故可以選用不同型號的發電機組合使用。1.2題目信息題中給出了一天中七個時段的用電需求〔見表一〕及四種發電機的發電性能和相應本錢〔見表二〕。其中，所有發電機都有一個最大發電能力，當接入電網時，其輸出功率不應低于其最小輸出功率，且所有發電機均存在一個啟動本錢，以及工作于其最小功率狀態時固定的每小時本錢，并且如果功率高于最小功率，則超出局部的功率每兆瓦每小時還存在一個本錢，即邊際本錢。表一：每日用電需求〔兆瓦〕時段〔0-24〕0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000表二：發電機情況可用數量最小輸出功率〔MW〕最大輸出功率〔MW〕固定本錢〔元/小時〕每兆瓦邊際本錢〔元/小時〕啟動本錢型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.812001.3待解問題問題〔1〕：在每個時段應分別使用哪些發電機才能使每天的總本錢最小，最小總本錢為多少問題〔2〕：如果在任何時刻，正在工作的發電機組必須留出20%的發電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應分別使用哪些發電機才能使每天的總本錢最小，此時最小總本錢又為多少2模型假設假設1：不計發電機啟動時所需時間；假設2：各發電機均在24時關閉，即不考慮循環過程；假設3：各發電機的輸出功率在時段初調整好后，保持不變；假設4：題目所列出的本錢以外的本錢消耗不計。3符號說明符號符號說明每天的不同時段四種發電機的型號第個時段所需型號發電機的臺數第個時段新增開的型號發電機的臺數第個時段的時長第個時段型號發電機的總超出功率型號發電機的可用數量型號發電機的最小輸出功率型號發電機的最大輸出功率型號發電機的啟動本錢第個時段的用電需求型號發電機的固定本錢型號發電機的每兆瓦邊際本錢每天的總本錢變量說明4問題分析此題研究的是電力生產中合理安排不同類型發電機的數學建模問題。為滿足電力需求，對于每日七個時段，需要對四種不同類型發電機進展合理安排。針對問題一：從以下三方面來分析對條件的分析：七個時段分別對應不同的用電需求，四種不同類型發電機可供使用，且其可用數量、最小輸出功率、最大輸出功率、固定本錢、每兆瓦邊際本錢、啟用本錢。要使總本錢到達最小，則問題的目標函數就是總本錢函數。對目標函數的分析：發電機總本錢包括總固定本錢、總邊際本錢、總啟動本錢。該問題的關鍵在于如何求啟動本錢。對約束條件的分析：四種型號發電機在第個時間段的發電總量應不小于總需求量；型號發電機在任一時間段的數量不能超過可用數量；型號發電機在任一時間段的超出功率不超過最大功率與最小功率之差。綜合以上分析，我們將建設非線性單目標最優化模型。針對問題二：為了使求解更簡單，我們試圖采用線性方法來解決該問題，對于啟動本錢的求解，將引入表示第個時段新增開的型號的發電機的臺數，后一時間段需關閉發電機時，。此外，只需改變一個約束條件，即發電機組在第個時間段所能發出的最大總功率的80%要大于等于該時段的用電需求。最后建設線性單目標最優化模型來求解。5問題一的解答5.1模型的建設5.1.1確定目標函數要使總本錢最小，需合理安排四種發電機來滿足七個時間段的用電需求，總本錢由以下三個指標組成：〔1〕總固定本錢=第個時間段的時長第個時間段型號發電機的數量型號發電機每小時的固定本錢〔2〕總邊際本錢=第個時間段的時長第個時間段型號發電機的數量第個時間段型號發電機超出最小功率局部的功率型號發電機每兆瓦邊際本錢〔3〕總啟動本錢=型號發電機啟動數量型號發電機的啟動本錢則總本錢=固定總本錢+邊際總本錢+啟動總本錢5.1.2確定約束條件約束條件一：臺數約束型號發電機在任一時間段的數量不超過可用數量約束條件二：功率約束型號發電機在任一時間段的超出功率不超過最大功率與最小功率只差約束條件三：需求約束四種型號發電機在第個時間段的發電總量應不小于其需求量5.1.3綜上所述，得到問題一的最優化模型5.2模型一的求解根據建設的模型用Lingo軟件代入數據求解〔源程序見附錄〕得最小總本錢為1540770元，各時段各型號發電機的數量和總超出功率結果如表三：表三：各時段各型號發電機的數量和總超出功率時段〔h〕型號0-66-99-1212-1414-1818-2222-241臺數〔臺〕0222220總超出功率〔MW〕02000150020000110002臺數〔臺〕4444444總超出功率〔MW〕20002000200020001700200020003臺數〔臺〕0888886總超出功率(MW)06400640064006400640048004臺數〔臺〕3303130總超出功率〔MW〕600110005100000最小本錢〔元〕15407705.3模型一結果分析經過對上述表格中的數據進展分析，我們可以發現，求出的結果中，發電機的數量和功率均符合要求。型號1的發電機由于啟動本錢比擬大，故不適宜啟動過多；型號2的發電機由于固定本錢和啟動本錢比擬小，故可以盡量啟動；型號3的發電機由于邊際本錢比擬小，故該型號可以盡量采用大功率。型號4的發電機固定本錢過高，故不適宜持續啟用。6問題二的解答6.1模型的建設6.1.1確定目標函數通過問題分析模型二中固定總本錢和邊際總本錢與模型一一樣，而采用線性方法后，啟動總本錢=第個時段新增開的型號的發電機的臺數型號的發電機的啟動本錢。故〔1〕固定總本錢〔2〕邊際總本錢〔3〕啟動總本錢總本錢6.1.2確定約束條件因為問題二是在問題一的根基上新增了一個約束條件，即發電機組在第個時間段所能發出的最大總功率的80%要大于等于該時段的用電需求，可以直接將問題一的約束三變化得到新的約束條件，故約束條件一：臺數約束約束條件二：功率約束約束條件三：需求約束6.1.3綜上所述，得到問題二的最優化模型6.2模型二的求解根據建設的模型用Lingo軟件代入數據求解〔源程序見附錄〕得最小總本錢為1885420元，各時段各型號發電機的數量和總超出功率結果如表四：表四：各時段各型號發電機的數量和總超出功率時段〔h〕型號0-66-99-1212-1414-1818-2222-241臺數〔臺〕1778661總超出功率〔MW〕250700040080000560002臺數〔臺〕4444444總超出功率〔MW〕20002000200020001350200017503臺數〔臺〕4888888總超出功率(MW)32006400640064006400640064004臺數〔臺〕0323330總超出功率〔MW〕035003600000最小本錢〔元〕18854206.3模型二的結果分析將上述求解結果與表1和表2對照，發現各型號的發電機臺數和功率均滿足題目要求。因為問題二要使任何時刻發電機組都有20%的發電能力余量，以防用電量突然上升，所以每個時段的發電機按上述分別進展組合后的實際供電量的80%均應大于或等于每時段的供電需求。此結果與第一問的結果用matlab編程分析并繪制出在兩個問題的結果中發電機在每個時段的功率和臺數的變化圖(源程序參見附錄)如下：圖一：不同時段發電機的超出功率變化圖二:不同時段發電機的臺數變化注：圖中紅線代表無保存電力(問題一)情況下的發電機使用情況，藍線代表有保存電力(問題二)情況下的發電機使用情況因該模型只是在模型一的根基上做的改良，故結果改變不大。由上圖比照可以看出，型號1的發電機的啟動本錢過高，故不宜重復啟動；對于型號2和型號3的發電機，因其各種本錢相對較低，故可盡量多啟動這兩種型號并使其到達最大功率；型號4的發電機因其啟動本錢較低而邊際本錢和固定本錢均較高，故輸出功率不宜過高，但可重復啟動。7模型的評價7.1模型的優點優點一：模型一考慮細致，表述簡潔，易于理解，便于重復利用，模型二為線性規劃模型，易于求解；優點二：該模型對電力生產問題的考慮比擬全面，在電力生產方面有較好的應用前景，對資源的合理利用上有較大的奉獻；優點三：在結果分析的檢驗證明，我們所建模型得到的結果既滿足了題目的約束條件又是相應問題的最優解。7.2模型的缺點缺點一：模型一為非線性規劃模型，故求解上有一定的難度；缺點二:本文所建模型忽略了發電機輸出功率的轉換時間與消耗；缺點三：本文所建模型考慮的是一天中0時-24時發電機組的安排，而實際問題中是長期循環過程。8模型的改良8.1模型改良改良一：模型一可以改良為線性規劃模型，方便求解。改良二：查詢更多相關資料數據,得到發電機輸出功率的轉換時間與消耗。改良三：可以考慮長期循環過程，以便模型能夠得到更廣泛的應用。8.2模型推廣上述模型不僅可用于電力生產的優化，也可用于其它生產的優化，特別是對于生產過程中涉及到資源的選擇分配問題有很好的適用性。9參考文獻[1]宋來忠，王志明，數學建模與實驗，北京：科學出版社，2005[2]惠頂峰，Lingo軟件在求解數學優化問題的使用技巧，《科技視界》，2013[3]王能淼，楊華，謝偉，電力生產安排的數學模型，百度文庫，2012.7[4]趙靜，但琦，數學建模與數學實驗，高等教育出版社，2008附錄附錄一：問題一程序model:sets:time/1..7/:length,demond;type/1..4/:startcost,precost,fixcost,pmin,pmax,num;cost(time,type):p,x;endsets!這里是數據;data:length=6,3,3,2,4,4,2;demond=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;startcost=5000,1600,2400,1200;precost=2.7,2.2,1.8,3.8;fixcost=2250,1800,3750,4800;pmin=750,1000,1200,1800;pmax=1750,1500,2000,3500;num=10,4,8,3;enddata@for(cost(i,j):p(i,j)<=(pmax(j)-pmin(j))*x(i,j));@for(time(i):@sum(type(j):(p(i,j)+pmin(j)*x(i,j)))>=demond(i));!電機數量約束;!@for(cost(i,j):ns(i,j)<=num(j));@for(cost(i,j):x(i,j)<=num(j));@for(cost:@gin(x));!@for(cost(i,j)|i#gt#1:ns(i,j)>=x(i,j)-x(i-1,j));!目標函數;min=@sum(cost(i,j):x(1,j)*startcost(j)+(@sign(x(i,j)-@if(i#ge#2,x((i-1),j),0))+1)/2*(x(i,j)-@if(i#ge#2,x((i-1),j),0))*startcost(j)+fixcost(j)*length(i)*x(i,j)+p(i,j)*precost(j)*length(i));end附錄二：問題二程序model:sets:time/1..7/:length,demond;type/1..4/:startcost,precost,fixcost,pmin,pmax,num;cost(time,type):p,ns,x;endsetsdata:length=6,3,3,2,4,4,2;demond=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;startcost=5000,1600,2400,1200;precost=2.7,2.2,1.8,3.8;fixcost=2250,1800,3750,4800;pmin=750,1000,1200,1800;pmax=1750,1500,2000,3500;num=10,4,8,3;enddata!功率約束;@for(cost(i,j):p(i,j)<=(pmax(j)-pmin(j))*x(i,j));!需求約束;@for(time(i):@sum(type(j):(p(i,j)+pmin(j)*x(i,j))*0.8)>=demond(i));!電機數量約束;!@for(cost(i,j):ns(i,j)<=num(j));@for(cost(i,j):x(i,j)<=num(j));@for(cost:@gin(x));@for(cost(i,j):ns(1,j)=x(1,j));@for(cost(i,j)|i#ge#2:ns(i,j)>=x(i,j)-x(i-1,j));!目標函數;min=@sum(cost(i,j):startcost(j)*ns(i,j)*(ns(i,j)#ge#0)+fixcost(j)*length(i)*x(i,j)+p(i,j)*precost(j)*length(i));End附錄三：模型一與模型二的結果分析的matlab源程序figure('color','w')x=1:7;A1=[0200015002000011000];subplot(2,2,1)plot(x,A1,'-r',x,A1,'ro')holdonB1=[25070004008000056000];plot(x,B1,'-b',x,B1,'b*')title('型號1發電機超出功率變化')A2=[2000200020002000170020002000];subplot(2,2,2)plot(x,A2,'-r',x,A2,'ro')holdonB2=[2000200020002000135020001750];plot(x,B2,'-b',x,B2,'b*')title('型號2發電機超出功率變化')A3=[0640064006400640064006400];subplot(2,2,3)plot(x,A3,'-r',x,A3,'ro')holdonB3=[3200640064006400640064006400];plot(x,B3,'-b',x,B3,'b*')title('型號3發電機超出功率變化')A4=[6001100051