2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題11.5離散型隨機變量的分布列練基礎練基礎1．（2021·全國·高二課時練習）某商店購進一批西瓜，預計晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會虧損500元，根據天氣預報，未來數日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列．2．（2021·全國·高二課時練習）已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.53．（2021·全國·高二課時練習）拋一枚均勻的硬幣，設寫出X的分布列．4．（2021·全國·高二課時練習）若隨機變量ξ只能取兩個值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.5．（2021·全國·高二課時練習）已知離散型隨機變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k6．（2021·全國·高二課時練習）某射擊運動員射擊一次所得環數的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數a的值；（2）求．7．（2021·全國·高二課時練習）從裝有6個白球和4個紅球的口袋中任取1個球，用X表示取得的白球數，求X的分布列．8．（2021·全國·高二課時練習）已知X服從參數為0.3的兩點分布．（1）求；（2）若，寫出Y的分布列．9．（2021·全國·高二課時練習）分別判斷下列表格是否可能是隨機變量X的分布列，并說明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.210．（2021·全國·高二單元測試）設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習）設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的取值對應的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝2．（2021·全國·高二課時練習）若隨機變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．3．（2021·全國·高二課時練習）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是________.4.（2017課標3，理18選）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；5.（2021·全國·高二課時練習）拋一枚均勻的硬幣2次，設正面朝上的次數為X．（1）說明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．6．（2021·全國·高二課時練習）某射擊運動員在一次射擊訓練中，共有5發子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運動員這次訓練耗用的子彈數X的分布列．7.（2021·全國·高二課時練習）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量(件)0123頻數1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變)，設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率.（1）求當天商店不進貨的概率；（2）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列.8．（2021·全國·高二課時練習）從集合的所有非空子集中，隨機地取出一個.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個數為，求的分布列.9．（2021·全國·高二課時練習）同時擲兩個均勻的骰子，設所得點數之和為X．（1）寫出X的分布列；（2）求；（3）求“點數和大于9”的概率．10.（2021·全國·高二單元測試）某市高考模擬考試數學試卷解答題的網上評卷采用“雙評+仲裁”的方式：兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數之差的絕對值小于或等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數和一、二評中與之接近的分數的平均分為該題得分；當一、二評分數和仲裁分數差值的絕對值相同時，取仲裁分數和一、二評中較高的分數的平均分為該題得分．有的學生考試中會做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規范，比如：語言不規范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓部門通過大數據統計發現，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評分數及各分數所占比例如表：老師評分11109分數所占比例將這個表中的分數所占比例視為老師對滿分為12分題目的“缺憾解答”所評分數的概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響．已知一個同學的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學這個題目需要仲裁的概率；（2）求該同學這個題目得分X的分布列．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.（1）用表示取到的豆沙粽的個數，求的分布列；（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列；（3）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．3.（2018年理數天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.4.（2017山東，理18選）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率.（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列.5．（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求的分布列.6．（2017·天津高考真題（理））從甲地到乙地要經過個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和均值．（）若有輛車獨立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個紅燈的概率．專題11.5離散型隨機變量的分布列練基礎練基礎1．（2021·全國·高二課時練習）某商店購進一批西瓜，預計晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會虧損500元，根據天氣預報，未來數日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列．【答案】答案見解析．【分析】根據已知數據列表格．【詳解】用表示獲利，則的取值分別是1000，500，－500，分布列如下表：1000500－5000.40.20.42．（2021·全國·高二課時練習）已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和為1計算．【詳解】由題意，解得3．（2021·全國·高二課時練習）拋一枚均勻的硬幣，設寫出X的分布列．【答案】答案見解析．【分析】的值分別為，1，求出概率后得分布列．【詳解】拋一枚均勻的硬幣，有兩種可能，正面向上或反面向上，兩種情況的可能性相同，或，，分布列如下：014．（2021·全國·高二課時練習）若隨機變量ξ只能取兩個值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【答案】答案見解析【分析】根據概率之和為1可求出.【詳解】由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故.所以ξ的分布列為ξ01P5．（2021·全國·高二課時練習）已知離散型隨機變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k【答案】【分析】根據離散型隨機變量ξ的概率性質即可求解參數．【詳解】因為1＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·＝(2n－1)k，所以．6．（2021·全國·高二課時練習）某射擊運動員射擊一次所得環數的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數a的值；（2）求．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和為1計算；（2）計算即可．（1）由題意，解得；（2）＝．7．（2021·全國·高二課時練習）從裝有6個白球和4個紅球的口袋中任取1個球，用X表示取得的白球數，求X的分布列．【答案】答案見解析．【分析】確定的可能值，計算出概率后得分布列．【詳解】的所有可能值是0，1．，，所以的分布列如下：018．（2021·全國·高二課時練習）已知X服從參數為0.3的兩點分布．（1）求；（2）若，寫出Y的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案見解析．【分析】（1）根據二項分布的概念求解；（2）求出的可能值，寫出分布列即可．（1）．（2）時，，時，，所以的分布列為：130.70.39．（2021·全國·高二課時練習）分別判斷下列表格是否可能是隨機變量X的分布列，并說明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由見解析．（2）不是，理由見解析．【分析】（1）根據分布列中所有概率和為1說明；（2）由概率的范圍說明．（1）由于，因此此表格不是隨機變量的分布列（2）表格中事件的概率是，這是不可能的，概率在范圍內．因此此表格不是隨機變量的分布列．10．（2021·全國·高二單元測試）設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．【答案】（1）分布列見解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性質解出，然后按步驟寫出分布列即可；（2）根據（1）中的分布列可計算出答案.【詳解】由分布列的性質知，，解得．（1）由題意可知，，，，，，所以的分布列為：13579P0.20.10.10.30.3（2）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習）設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的取值對應的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝【答案】ABC【分析】根據題設，結合正方體的性質求兩條棱相交、平行、異面的可能情況數，再寫出對應ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情況數，應用古典概型的概率求法求它們的概率值即可.【詳解】由題設，ξ的可能取值為0，1，．若兩條棱相交，交點必在正方體的頂點處，過任意一個頂點的棱有3條，則P(ξ＝0)＝＝，若兩條棱平行，它們的距離為1或，而距離為的共有6對，∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ分布列如下：ξ01P故選：ABC2．（2021·全國·高二課時練習）若隨機變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為________．【答案】【分析】首先根據分布列的性質得到，再利用基本不等式的性質求解即可.【詳解】由分布列的性質，知，即.因為，當且僅當時取等號.所以的最小值為.故答案為：3．（2021·全國·高二課時練習）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是________.【答案】X123P【分析】將3個小球任意地放入4個玻璃杯中，杯子中球的個數最多為3個，那么對于各種情況下的概率值進行計算得到分布列．【詳解】由題意知X的可能取值為1，2，3；；故答案為：X123P4.（2017課標3，理18選）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；【答案】(1)見解析.【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數據知，，.因此的分布列為0.20.40.45.（2021·全國·高二課時練習）拋一枚均勻的硬幣2次，設正面朝上的次數為X．（1）說明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．【答案】（1）事件見解析，；（2）分布列見解析．【分析】（1）根據表示的意義確定事件，并計算概率．（2）的可能值為0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）表示正面向上的次數為1的事件，．（2）的可能值為0，1，2，則，，的分布列如下：0126．（2021·全國·高二課時練習）某射擊運動員在一次射擊訓練中，共有5發子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運動員這次訓練耗用的子彈數X的分布列．【答案】答案見詳解.【分析】X的可能取值為，分別求出相應的概率，由此能求出耗用的子彈數X的分布列.【詳解】根據題意，，，，，.X的分布列為：7.（2021·全國·高二課時練習）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量(件)0123頻數1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變)，設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率.（1）求當天商店不進貨的概率；（2）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【詳解】（1）記“當天商品銷售量為0件”為事件A，“當天商品銷售量為1件”為事件B，“當天商店不進貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P8．（2021·全國·高二課時練習）從集合的所有非空子集中，隨機地取出一個.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個數為，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）計算基本事件總數和滿足條件的基本事件數，利用古典概型的概率公式即得解；（2）的所有可能取值為1，2，3，4，5，計算對應的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）記“所取出的非空子集中所有元素之和為10”為事件.基本事件總數，事件包含的基本事件有，，，共3個，故.（2）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5.，，，，.故的分布列為123459．（2021·全國·高二課時練習）同時擲兩個均勻的骰子，設所得點數之和為X．（1）寫出X的分布列；（2）求；（3）求“點數和大于9”的概率．【答案】（1）答案見解析（2）（3）．【分析】（1）的可能值為，分別計算出概率后可得分布列；（2）由可得；（3）由可得．（1）由題意的可能值依次為，兩枚骰子的點數和列表如下（第一行是一個骰子的點數，第一列是另一個骰子的點數，其他格子中為兩個骰子點數和，共36個：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得，，，，，，的分布列如下：23456789101112（2）；（3）．10.（2021·全國·高二單元測試）某市高考模擬考試數學試卷解答題的網上評卷采用“雙評+仲裁”的方式：兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數之差的絕對值小于或等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數和一、二評中與之接近的分數的平均分為該題得分；當一、二評分數和仲裁分數差值的絕對值相同時，取仲裁分數和一、二評中較高的分數的平均分為該題得分．有的學生考試中會做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規范，比如：語言不規范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓部門通過大數據統計發現，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評分數及各分數所占比例如表：老師評分11109分數所占比例將這個表中的分數所占比例視為老師對滿分為12分題目的“缺憾解答”所評分數的概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響．已知一個同學的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學這個題目需要仲裁的概率；（2）求該同學這個題目得分X的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析.【分析】（1）記表示事件："該同學這個解答題需要仲裁"，設—評、二評所打分數分別為由題設知事件的所有可能情況有：或由此能求出該同學這個題目需要仲裁的概率；（2）隨機事件的可能取值為分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列.【詳解】（1）設事件A表示“該同學這個題目需要仲裁”，一評、二評所打分數分別為x，y，由題意知事件A的所有可能情況有或，∴．（2）隨機事件X的取值范圍為，設仲裁所打分數為z，則，，，，，∴X的分布列為：X99.51010.511P練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.（1）用表示取到的豆沙粽的個數，求的分布列；（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列見解析；（2）.【分析】（1）首先求隨機變量，再利用古典概型求概率；（2）根據（1）的結果求概率.【詳解】（1）由條件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有，則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列；（3）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列見解析，E（X）=1；（3）見解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人，僅使用B的學生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有100?30?25?5=40人．所以從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計為．（2）X的所有可能值為0，1，2．記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”．由題設知，事件C，D相互獨立，且．所以，，．所以X的分布列為X012P0.240.520.24（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設樣本僅使用A的學生中，本月支付金額大于2000元的人數沒有變化，則由上個月的樣本數據得．答案示例1：可以認為有變化．理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發生．一旦發生，就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化，所以可以認為有變化．答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下：事件E是隨機事件，P（E）比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生的，所以無法確定有沒有變化．3.（2018年理數天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）67【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=C4k?C33?kC73（所以，隨機變量X的分布列為X0123P112184（ii）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A發生的概率為64.（2017山東，理18選）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率.（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列.【答案】（I）(II)X的分布列為X01234P【解析】因此X的分布列為X01234P5．（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3.（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標y的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，指標y的值小于60的有15人，所以從概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為0126．（2017·天津高考真題（理））從甲地到乙地要經過個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和均值．（）若有輛車獨立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個紅燈的概率．【答案】(1)見解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數學期望.（Ⅱ）解：設表示第一輛車遇到紅燈的個數，表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.專題11.6離散型隨機變量的均值與方差練基礎練基礎1．（2021·全國·高二課時練習）一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·模擬預測）已知隨機變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．53．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三月考（理））設，隨機變量的分布列如表所示，隨機變量滿足，則當在上增大時，關于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數，則_______，_______．5．（2021·全國·高二課時練習）已知隨機變量X服從參數為p的兩點分布，求．6.（2021·全國·高二學業考試）陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質膏膩，營養豐富，深受消費者喜愛.某水產品超市購進一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹，隨機抽取了50只統計其重量，得到的結果如下表所示：規格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數量/只32152073（1）估計該批大閘蟹有______只；（結果保留整數）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機購買了4只，記重量在區間[260，280]內的大閘蟹數量為X，則______.7．（2021·全國·高二課時練習）醫學上發現，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫學統計發現，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時，相當于，求，．8．（2021·全國·高二課時練習）一臺機器生產某種產品，如果生產一件甲等品可獲利50元，生產一件乙等品可獲利30元，生產一件次品會虧損20元，已知這臺機器生產甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺機器每生產一件產品的平均預期收入．9．（2021·全國·高一課時練習）甲、乙兩臺半自動車床加工同一型號的產品，各生產1000只產品中次品數分別用x和y表示.經過一段時間的觀察，發現x和y的頻率分布如下表，問：哪一臺車床的產品質量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.2010．（2021·全國·高二課時練習）若離散型隨機變量X的概率分布是，其中，求證：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國·高三專題練習）甲盒中裝有3個紅球、1個黃球、乙盒中裝有1個紅球、3個黃球，同時從甲、乙兩盒中取出（）個球交換，分別記交換后甲、乙兩個盒子中紅球個數的數學期望為，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關游戲，第一關在兩個情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個情境中選擇一個開始第一關，若尋寶失敗則比賽結束；若尋寶成功則進入另一個情境，無論尋寶成功與否，第一關比賽結束．情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無關．（1）若該玩家選擇從情境開始第一關，記為經驗值累計得分，求的分布列；（2）為使經驗值累計得分的期望最大，該玩家應選擇從哪個情境開始第一關？并說明理由．3．（2021·全國·高二課時練習）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗方案：方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止．方案乙：先取3只動物的血液進行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗方案更好．4．（2021·全國·模擬預測）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團攬入本界奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分數（單位：分），將所得數據分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分數低于60分的人數；（2）從樣本中射擊技能分數在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進一步進行射擊訓練，記抽取的3人中射擊技能分數不低于70分的人數為X，求X的分布列與數學期望.5．（2021·福建省福州外國語學校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進行體檢普查某病毒，費用全部由單位承擔，假定這12名職工的血液中每個人都不含有病毒（結果呈陰性）的概率都為p，若對每一個人的血樣都進行檢查，則每一個人都要耗費比較高的一份化驗費，經過合理的分析后，提出一份改進方案：先將每一個人的血樣各取出一部分，k個人為一組混合后再化驗，如果結果都呈陰性，則k個人同時通過，每個人平均化驗了次，如果呈陽性再將k個人的血樣分別化驗，以找出血樣中含病毒者，這樣每個人化驗（1+）次.（1）當p=時且采用改進方案時取k=2，求此時每位職工化驗次數X的分布列（2）當k=3時，求采用改進方案能達到節約化驗費目的，且此時滿足條件的p的取值范圍6.（2020·山西應縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：甲公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數101510105乙公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數51010205（1）現從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天，求這3天送餐單數都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數學期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由．7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元?元?元，出險后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年20萬元.（1）若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.（2）現有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業有甲、乙兩條生產線，其產量之比為.現從兩條生產線上按分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統計數據如表（單位：件），且每件產品都有各自生產線的標記.產品件數一等品二等品總計甲生產線乙生產線總計（1）請將列聯表補充完整，并根據獨立性檢驗估計；大約有多大把握認為產品的等級差異與生產線有關?（2）為進一步了解產品出現等級差異的原因，現將樣本中所有二等品逐個進行技術檢驗（隨機抽取且不放回）.設甲生產線的兩個二等品恰好檢驗完畢時，已檢驗乙生產線二等品的件數為，求隨機變量的分布列及數學期望.參考公式：.9．（2021·全國·高二課時練習）假設在A軍與B軍的某次戰役中，A軍有8位將領，善用騎兵的將領有5人；B軍有8位將領，善用騎兵的將領有4人.（1）現從A軍將領中隨機選取4名將領，求至多有3名是善用騎兵的將領的概率；（2）在A軍和B軍的將領中各隨機選取2人，X為善用騎兵的將領的人數，寫出X的分布列，并求.10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批發商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元．現分別統計該蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設批發商在下個銷售周期購進噸該蔬菜，在甲、乙兩個市場同時銷售，以（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，（單位：元）表示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤．（1）求變量概率分布列；（2）當時，求與的函數解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷與應選用哪一個．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（文））設一組樣本數據x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數據10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．102．（2020·全國高考真題（理））在一組樣本數據中，1，2，3，4出現的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）A． B．C． D．3.（2020·浙江省高考真題）盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為，則_______；______．4.（2021·全國·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.5.（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)6．（2020·江蘇省高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示)．專題11.6離散型隨機變量的均值與方差練基礎練基礎1．（2021·全國·高二課時練習）一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為，已知他投籃一次得分的均值為2（不計其他得分情況），則ab的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設可得，結合基本不等式即可求ab的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題意，得，即，∴，則，當且僅當時取得等號，∴ab的最大值為.故選：D2．（2021·浙江·模擬預測）已知隨機變量的分布列如下：X123Pab2b—a則的最大值為（）A． B．3C．6 D．5【答案】C【分析】根據概率和為1得到，再計算，得到，，計算最值得到答案.【詳解】，只需求的最大值即可，根據題意：，，，所以，當時，其最大值為，故的最大值為．故選：C.3．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三月考（理））設，隨機變量的分布列如表所示，隨機變量滿足，則當在上增大時，關于的表述，下列正確的是（）-2-10A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【分析】由分布列的性質求得，再求、關于的表達式，由及得到關于的二次函數，即可判斷的單調性.【詳解】由分布列的性質：，可得，∴，，∴，又，∴在上增大時，增大.故選：A4．（2021·浙江·高三期中）將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數，則_______，_______．【答案】11【分析】根據題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應的概率，進而求出和，根據計算即可.【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；15．（2021·全國·高二課時練習）已知隨機變量X服從參數為p的兩點分布，求．【答案】【分析】利用離散型隨機變量期望及方差公式即得.【詳解】∵隨機變量X服從參數為p的兩點分布，∴，所以．6.（2021·全國·高二學業考試）陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產于江蘇省蘇州市，蟹身青殼白肚，肉質膏膩，營養豐富，深受消費者喜愛.某水產品超市購進一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹，隨機抽取了50只統計其重量，得到的結果如下表所示：規格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]數量/只32152073（1）估計該批大閘蟹有______只；（結果保留整數）；（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機購買了4只，記重量在區間[260，280]內的大閘蟹數量為X，則______.【答案】446【分析】（1）由頻率直方表求大閘蟹的平均重量，進而求100千克的陽澄湖大閘蟹大概數量.（2）由題設有X的范圍是{0，1，2，3}，進而求其分布列，根據分布列求期望即可.【詳解】7．（2021·全國·高二課時練習）醫學上發現，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫學統計發現，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人體體溫為時，相當于，求，．【答案】（1）38.4，0.64.（2）101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.（1）由題可得，.（2）由可知，，.8．（2021·全國·高二課時練習）一臺機器生產某種產品，如果生產一件甲等品可獲利50元，生產一件乙等品可獲利30元，生產一件次品會虧損20元，已知這臺機器生產甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，求這臺機器每生產一件產品的平均預期收入．【答案】37元.【分析】根據已知條件，可設這臺機器每生產一件產品可獲利，且得出的可能值和對應的概率，根據離散型隨機變量直接求出數學期望，即可得出這臺機器每生產一件產品的平均預期收入.【詳解】解：由題可知，一臺機器生產甲等品、乙等品和次品分別獲利50元，30元和-20元，這臺機器生產甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，可設這臺機器每生產一件產品可獲利，則的可能值為50，30，-20，則，，，所以臺機器每生產一件產品的平均預期收入為：（元）.9．（2021·全國·高一課時練習）甲、乙兩臺半自動車床加工同一型號的產品，各生產1000只產品中次品數分別用x和y表示.經過一段時間的觀察，發現x和y的頻率分布如下表，問：哪一臺車床的產品質量較好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.20【答案】乙比甲質量好【分析】利用數學期望計算公式可得比較其大小即可得得出結論.【詳解】由表格可得：，即乙比甲質量好.10．（2021·全國·高二課時練習）若離散型隨機變量X的概率分布是，其中，求證：．【答案】詳見解析.【分析】利用離散型隨機變量X的概率分布的性質及期望公式即得.【詳解】練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2022·全國·高三專題練習）甲盒中裝有3個紅球、1個黃球、乙盒中裝有1個紅球、3個黃球，同時從甲、乙兩盒中取出（）個球交換，分別記交換后甲、乙兩個盒子中紅球個數的數學期望為，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分別就，2，3計算概率得出數學期望，憨厚逐一分析各選項即可得出結論．【詳解】解：X表示交換后甲盒子中的紅球數，Y表示交換后乙盒子中的紅球數，當時，則，，，∴，，故A正確，C正確；當時，，，，∴，，故B正確；當時，，，，∴，∴，故D錯誤.故選：ABC.2．（2021·廣東·高三月考）已知某闖關游戲，第一關在兩個情境中尋寶．每位參賽選手先在兩個情境中選擇一個開始第一關，若尋寶失敗則比賽結束；若尋寶成功則進入另一個情境，無論尋寶成功與否，第一關比賽結束．情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分；情境尋寶成功獲得經驗值分，否則得分．已知某玩家在情境中尋寶成功的概率為，在情境中尋寶成功的概率為，且每個情境中尋寶成功的概率與選擇初始情境的次序無關．（1）若該玩家選擇從情境開始第一關，記為經驗值累計得分，求的分布列；（2）為使經驗值累計得分的期望最大，該玩家應選擇從哪個情境開始第一關？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析；（2）應從情境開始第一關，理由見解析.【分析】（1）確定所有可能的取值，并求出對應的概率，從而得到分布列；（2）分別求得從兩個情境開始的得分期望值，根據大小關系可得結論.（1）由題意知：所有可能的取值為，，，；；，的分布列為：（2）由（1）得：從情境開始第一關，則；若從情境開始第一關，記為經驗值累計得分，則所有可能的取值為，，，；；，；，應從情境開始第一關.3．（2021·全國·高二課時練習）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結果呈陽性的為患病動物．下面是兩種化驗方案：方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止．方案乙：先取3只動物的血液進行混合，然后檢查，若呈陽性，對這3只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動物中1只動物的血液．分析哪種化驗方案更好．【答案】方案乙更好.【分析】用，分別表示兩個方案所需化驗的次數，通過比較的大小即得.【詳解】用表示方案甲所需化驗的次數，則可取1,2,3,4，∴；用表示方案乙所需化驗的次數，則可取2,3若，有兩種可能：先化驗3只結果為陽性，再從中逐個化驗時，恰好一次驗中的概率為，先化驗3只結果為陰性，再從其余2只中取1只化驗的概率為，故，若，只有一種可能：先化驗3只結果為陽性，再從中逐個化驗時，恰好兩次驗出時的概率為，∴，∴，故方案乙更好.4．（2021·全國·模擬預測）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團攬入本界奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分數（單位：分），將所得數據分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分數低于60分的人數；（2）從樣本中射擊技能分數在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進一步進行射擊訓練，記抽取的3人中射擊技能分數不低于70分的人數為X，求X的分布列與數學期望.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，數學期望：【分析】（1）先根據頻率分布直方圖得到射擊技能分數低于60分的頻率，然后可得射擊技能分數低于60分的人數；（2）根據頻率分布直方圖及分層抽樣的知識得到抽取的8人中射擊技能分數不低于70分的人數和射擊技能分數低于70分的人數，然后寫出X的所有可能取值，根據超幾何分布的概率公式分別求出各個取值對應的概率，最后可得分布列和數學期望.（1）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數低于60分的頻率為，所以這200名射擊愛好者中射擊技能分數低于60分的人數為.（2）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數在，，的頻率分別為0.2，0.4，0.2，由分層抽樣的知識知抽取的8名射擊愛好者中，射擊技能分數不低于70分的人數為，則射擊技能分數低于70分的人數為.所以X的所有可能取值為1，2，3，；；；X的分布列為X123P所以.5．（2021·福建省福州外國語學校高三月考）某單位組織外出參加公差的12位職工在返回崗位前先讓他們進行體檢普查某病毒，費用全部由單位承擔，假定這12名職工的血液中每個人都不含有病毒（結果呈陰性）的概率都為p，若對每一個人的血樣都進行檢查，則每一個人都要耗費比較高的一份化驗費，經過合理的分析后，提出一份改進方案：先將每一個人的血樣各取出一部分，k個人為一組混合后再化驗，如果結果都呈陰性，則k個人同時通過，每個人平均化驗了次，如果呈陽性再將k個人的血樣分別化驗，以找出血樣中含病毒者，這樣每個人化驗（1+）次.（1）當p=時且采用改進方案時取k=2，求此時每位職工化驗次數X的分布列（2）當k=3時，求采用改進方案能達到節約化驗費目的，且此時滿足條件的p的取值范圍【答案】（1）詳見解析（2）【分析】（1）由題意可知X的可能取值為,，分別求出對應的概率，即得；（2）當k=3時，設采用改進方案檢驗次數為Y，則Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.（1）由題意可得，X的可能取值為,，則，故X的分布列為：XP（2）當k=3時，采用改進方案進行檢驗，設檢驗的次數為Y,則Y的可能取值為1,4，，，采用改進方案能達到節約化驗費目的，則，解得，故p的取值范圍為.6.（2020·山西應縣一中高二期中（理））甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：甲公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數101510105乙公司送餐員送餐單數頻數表送餐單數3839404142天數51010205（1）現從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天，求這3天送餐單數都不小于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數學期望；②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由．【答案】（1）.（2）見解析【解析】（1）記抽取的天送餐單數都不小于40為事件，則.（2）①設乙公司送餐員送餐單數為，則當時，，當時，，當時，，當時，，當時，.所以的所有可能取值為228，234，240，247，254.故的分布列為：228234240247254所以②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數為所以甲公司送餐員日平均工資為元.由①得乙公司送餐員日平均工資為241.8元.因為，故推薦小王去乙公司應聘.7．（2021·湖南·高三月考）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元?元?元，出險后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年20萬元.（1）若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.（2）現有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.【答案】（1）證明見解析（2）建議單位選擇方案二【分析】（1）求得個工種對應職工的每份保單保險公司的收益的期望值，然后結合職工類別的頻率以及“每年收益的期望不低于保費的”列不等式，由此證得.（2）分別求得兩種方案單位總支出的期望值，由此作出選擇.（1）設工種，，對應職工的每份保單保險公司的收益分別為隨機變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為，，.所以，整理得.（2）方案一：單位不與保險公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開支共為（元）.方案二：單位與保險公司合作，則單位支出金額為（元）.因為，所以建議單位選擇方案二.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業有甲、乙兩條生產線，其產量之比為.現從兩條生產線上按分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統計數據如表（單位：件），且每件產品都有各自生產線的標記.產品件數一等品二等品總計甲生產線乙生產線總計（1）請將列聯表補充完整，并根據獨立性檢驗估計；大約有多大把握認為產品的等級差異與生產線有關?（2）為進一步了解產品出現等級差異的原因，現將樣本中所有二等品逐個進行技術檢驗（隨機抽取且不放回）.設甲生產線的兩個二等品恰好檢驗完畢時，已檢驗乙生產線二等品的件數為，求隨機變量的分布列及數學期望.參考公式：.【答案】（1）答案見解析；（2）分布列見解析，數學期望為2.【分析】（1）分析題意完成2×2列聯表,直接套公式求出，對照參數下結論；（2）直接求出概率，寫出分布列，套公式求出數學期望.（1）由題意可得，一共抽樣50個，產量之比為，按分層抽樣抽取，故甲生產線抽取，乙生產線抽取，故甲生產線抽取一等品40-2=38，乙生產線抽取二等品10-7=3，填表如下：產品件數一等品二等品總計甲生產線3840乙生產線310總計455所以，故有97.5％把握認為產品的等級差異與生產線有關（2）依題意得，檢驗順序的所有可能為甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10種可能.的所有可能取值為：0，1，2，3.故，，，，則的分布列為：0123P所以9．（2021·全國·高二課時練習）假設在A軍與B軍的某次戰役中，A軍有8位將領，善用騎兵的將領有5人；B軍有8位將領，善用騎兵的將領有4人.（1）現從A軍將領中隨機選取4名將領，求至多有3名是善用騎兵的將領的概率；（2）在A軍和B軍的將領中各隨機選取2人，X為善用騎兵的將領的人數，寫出X的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）利用對立事件來求得“至多有3名是善用騎兵的將領的概率”.（2）結合古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得.（1）若從A軍將領中隨機選取4名將領，則有4名是善用騎兵的將領的概率為，故從A軍將領中隨機選取4名將領，至多有3名是善用騎兵的將領的概率為.（2）由題意知，則：，，，，，所