江蘇省南通一中2024屆數學高一上期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．歷史上數學計算方面的三大發明是阿拉伯數、十進制和對數，其中對數的發明，大大縮短了計算時間，為人類研究科學和了解自然起了重大作用，對數運算對估算“天文數字”具有獨特優勢.已知，，則的估算值為（）A. B.C. D.2．下列函數中，與函數的奇偶性相同，且在上單調性也相同的是A. B.C. D.3．下列函數中既是奇函數，又是其定義域上的增函數的是A. B.C. D.4．若一個三角形采用斜二測畫法作直觀圖，則其直觀圖的面積是原來三角形面積的（）倍.A B.C. D.25．把函數y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是（）A. B.C. D.6．是上的奇函數，滿足，當時，，則（）A. B.C. D.7．已知點的坐標分別為,直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1,則點的軌跡方程為A. B.C. D.8．下列函數中，在區間上是增函數是A. B.C. D.9．直線截圓所得的線段長為（）A.2 B.C.1 D.10．已知，則下列說法正確的是（）A.有最大值0 B.有最小值為0C.有最大值為－4 D.有最小值為－4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數，則__________12．已知冪函數在上單調遞減，則___________.13．將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則__________.14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸非負半軸和軸的非負半軸上滑動，頂點在第一象限內，，，設.若，則點的坐標為______；若，則的取值范圍為______.15．已知函數，若，，則的取值范圍是________16．若m，n滿足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，則的值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2020年12月26日，我國首座跨海公鐵兩用橋、世界最長跨海峽公鐵兩用大橋——平潭海峽公鐵兩用大橋全面通車.這是中國第一座真正意義上的公鐵兩用跨海大橋，是連接福州城區和平潭綜合實驗區的快速通道，遠期規劃可延長到，對促進兩岸經貿合作和文化交流等具有重要意義.在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數.當橋上的車流密度達到輛/千米時，將造成堵塞，此時車流速度為；當車流密度不超過輛/千米時，車流速度為千米/時，研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數.（1）當時，求函數的表達式；（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時）可以達到最大？并求出最大值.18．某城市地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發車時間間隔（單位：分鐘）滿足.經測算，地鐵載客量與發車時間間隔相關，當時地鐵為滿載狀態，載客量為人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為分鐘時的載客量為人，記地鐵載客量為.（1）求的表達式，并求當發車時間間隔為分鐘時，地鐵的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？每分鐘的最大凈收益為多少？19．已知角的終邊在第二象限,且與單位圓交于點（1）求的值；（2）求的值.20．已知圓經過,兩點,且圓心在直線：上.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若點在直線：上,過點作圓的一條切線,為切點,求切線長的最小值；（Ⅲ）已知點為,若在直線：上存在定點（不同于點）,滿足對于圓上任意一點,都有為一定值,求所有滿足條件點的坐標.21．已知函數的圖象關于直線對稱，若實數滿足時，的最小值為1（1）求的解析式；（2）將函數的圖象向左平移個單位后，得到的圖象，求的單調遞減區間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】令，化為指數式即可得出.【題目詳解】令，則，∴，即的估算值為.故選：C.2、A【解題分析】先判斷函數為偶函數，且在上單調遞增，再依次判斷每個選項的奇偶性和單調性得到答案.【題目詳解】易知：函數為偶函數，且在上單調遞增A.，函數為偶函數，且當時單調遞增，滿足；B.為偶函數，且當時單調遞減，排除；C.函數為奇函數，排除；D.，函數為非奇非偶函數，排除；故選：【題目點撥】本題考查了函數的單調性和奇偶性，意在考查學生對于函數性質的綜合應用.3、C【解題分析】對于A，函數的偶函數，不符合，故錯；對于B，定義域為，是非奇非偶函數，故錯；對于C，定義域R，是奇函數，且是增函數，正確；對于D，是奇函數，但是是減函數，故錯考點：本題考查函數的奇偶性和單調性點評：解決本題的關鍵是掌握初等函數的奇偶性和單調性4、A【解題分析】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可【題目詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半，故三角形的高變為原來的，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的.故選：A.【題目點撥】本題考查平面圖形的直觀圖，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可，屬于基礎題.5、A【解題分析】由題意,的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),即解析式為,向左平移一個單位為,向下平移一個單位為,利用特殊點變為,選A.點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數是奇函數；函數是偶函數；函數是奇函數；函數是偶函數.6、D【解題分析】根據函數的周期性與奇偶性可得，結合當時，，得到結果.【題目詳解】∵∴的周期為4，∴，又是上奇函數，當時，，∴，故選：D【題目點撥】本題考查函數的周期性與奇偶性，解題的關鍵是根據函數的性質將未知解析式的區間上函數的求值問題轉化為已知解析式的區間上來求，本題考查了轉化化歸的能力及代數計算的能力.7、B【解題分析】設，直線的斜率為，直線的斜率為.有直線的斜率與直線的斜率的差是1,所以.通分得：，整理得：.故選B.點睛：求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)＝0（2）待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程（3）定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程（4）代入(相關點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程8、A【解題分析】由題意得函數在上為增函數，函數在上都為減函數．選A9、C【解題分析】先算出圓心到直線的距離，進而根據勾股定理求得答案.【題目詳解】圓，即圓心.圓心C到直線的距離，則直線截圓所得線段長為：.故選：C.10、B【解題分析】由均值不等式可得，分析即得解【題目詳解】由題意，，由均值不等式，當且僅當，即時等號成立故，有最小值0故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】先根據2的范圍確定表達式，求出；后再根據的范圍確定表達式，求出.【題目詳解】因為，所以，所以.【題目點撥】分段函數求值問題，要先根據自變量的范圍，確定表達式，然后代入求值．要注意由內而外求值，屬于基礎題.12、【解題分析】由系數為1解出的值，再由單調性確定結論【題目詳解】由題意，解得或，若，則函數為，在上遞增，不合題意若，則函數為，滿足題意故答案為：13、0【解題分析】根據題意，可知將函數的圖象向右平移個單位長度后得到，由函數圖象的平移得出的解析式，即可得出的結果.【題目詳解】解：由題意可知，將函數的圖象向右平移個單位長度后得到，則，所以.故答案為：0.14、①.②.【解題分析】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，設點、，根據銳角三角函數的定義可得出點、的坐標，然后利用平面向量數量積的坐標運算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【題目詳解】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，如下圖所示：則，設點、，則，，，.當時，，，則點；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【題目點撥】本題考查點的坐標的計算，同時也考查了平面向量數量積的取值范圍的求解，解題的關鍵就是將點的坐標利用三角函數表示，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】先利用已知條件，結合圖象確定的取值范圍，設，即得到是關于t的二次函數，再求二次函數的取值范圍即可.【題目詳解】先作函數圖象如下：由圖可知，若，，設，則，，由知，；由知，；故，，故時，最小值為，時，最大值為，故的取值范圍是.故答案為：.【題目點撥】本題解題關鍵是數形結合，通過圖象判斷的取值范圍，才能分別找到與相等函數值t的關系，構建函數求值域來突破難點.16、【解題分析】由題可知是方程的兩個不同實根，根據韋達定理可求出.【題目詳解】由題可知是方程的兩個不同實根，則，.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）車流密度為110輛/千米時，車流量最大，最大值為6050輛/時【解題分析】（1）根據題意，當時，設，進而待定系數得，故；（2）結合（1）得，再根據二次函數模型求最值即可.【小問1詳解】解：當時，設則，解得：所以【小問2詳解】解：由（1）得，當時，當時，，∴當時，的最大值為∴車流密度為110輛/千米時，車流量最大，最大值為6050輛/時18、（1），人（2）當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為元【解題分析】（1）由題意分別寫出與時，的表達式，寫成分段函數的形式，可得的表達式，可得的值；（2）分別求出時，時，凈收益為的表達式，并求出其最大值，進行比較可得凈收益最大及收益最大時的時間.【題目詳解】解：當時，當時，設解得，所以，所以(人)當時，當時當時，當且僅當時，即時，取到最大值.答:的表達式為當發車時間間隔為分鐘時，地鐵的載客量為人.當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為元.【題目點撥】本題主要考查分段函數解析式的求解及函數模型的實際應用，及利用基本不等式求解函數的最值，綜合性大，屬于中檔題.19、【解題分析】(1)先求出，再求出的值.(2)先利用誘導公式化簡，再把tan的值代入求解.【題目詳解】（1）由題得因為角終邊在第二象限，所以所以.(2)=.【題目點撥】本題主要考查三角函數的坐標定義，考查同角的商數關系和誘導公式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解題分析】分析】(Ⅰ)根據題意,設出圓的標準方程,代入條件,列方程求解即可;(Ⅱ)由勾股定理得,所以要求的最小值,即求的最小值,而最小時,垂直于直線,據此可得結論;(Ⅲ)設,,列出相應等式化簡,再利用點的任意性,列出方程組求解即可.【題目詳解】(Ⅰ)設圓的方程為,根據題意有,解得,所以圓的方程為;(Ⅱ)由勾股定理得,即,所以要求的最小值,即求的最小值,而當垂直于直線時,最小,此時,所以的最小值為;(Ⅲ)設,滿足,假設的定值為,則,化簡得,因為對于圓上任意一點上式都成立,所以,解得(舍),因此滿足條件點的坐標為.【題目點撥】本題涉及圓與直線的綜合應用,利用了數形結