空間角-求面面夾角（第3課時）1.求面面夾角⑴定義二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的兩個面。二面角的平面角：從二面角的棱上任一點在它的兩個面內各引一條垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，叫做這個二面角的平面角。（2） 求面面夾角的步驟如下：①找出或作出二面角的平面角；②證明其確實是所求的面面夾角；③計算平面角的值，一般均在三角形中進行。（3） 向量在數學和物理學中的應用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。隨著新教材中向量工具的引入，立體幾何的解題更加靈活多樣，這為那些空間想象能力較差的同學提供了機遇。利用平面的法向量幾乎可以解決所有的立幾計算和一些證明的問題，尤其在求點面距離、空間的角（斜線與平面所成的角和二面角）時，法向量有著它獨有的優勢，以下舉例全面剖析在立幾中如何用法向量求二面角。利用法向量求二面角的大小的原理:設n設n,n2分別為平面a,P的法向量二面角a-1-P的大小為0，向量的夾角為卬，則有。+的夾角為卬，則有。+中=冗（圖1）或0=9（圖2）圖1基本結論構成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補角等于這個二面角的平面角.

如何求平面的一個法向量：例題1:如圖3,在正方體ABCD-A1B（C1D1中G、E、F分別為AA「AB、BC的中點，求平面GEF的法向量。TOC\o"1-5"\h\z1略解：以D為原點建立右手空間直角坐標系，則E（1， ,0）、F（，1,0）、21 1— 1 1G(1,0，L)由此得:GE=(0 --)FE=(-,--0)\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 .. , —4?設平面的法向量為n=（x,y,乙）由n1GE及n1fe可得? 1 1n?GE=y一z=02 2— ■ 11n?FE=x一y=02 2令y=1取平面的一個法向量為n=（1,1,1）評析因為平面的法向量有無數個，方向可上可下，模可大可小，我們只要求出平面的某一個法向量（教簡單的）即可。法向量的應用舉例:AB=2，BC=4，AA1=2,點Q是BC的例題4.在長方體ABCD—A1B1C1DAB=2，BC=4，AA1=2,點Q是BC的解如圖2,建立空間直角坐標系.依題意：A1（0，0，2），D（0，a，0）.?.?Q（2，2，0），D（0，4，0），???AQ=（2,2,-2）,QD=（-2,20）.面AA1D的法向量7=（1,0,0）.設面A]DQ的法向量n=（a,a,a），

n?AQ=n?AQ=2a+2a—2a=0,- 1 一 一 一n?QD=—2a+2a=0,??n=(a,a,2a)-??cos<n,n>=——1-—2nn??cos<n,n>=——1-—2nn12n-n1.斥—6二面角的平面角為銳角???二面角A—A1D—Q的大小為arccos?評析(1)用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統求二面角問題時的三步曲：“找一一證一一求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這在一定程度上降低了學生的空間想象能力，達到不用作圖就可以直接計算的目的,更加注重對學生創新能力的培養，體現了教育改革的精神。(2)此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若令a=—1，則n=(—1,—1,—2)，?cos<n,n>=一^6，?.二面角A—AD—Q1 2 1'2 6 1的大小是<n,n>=n-arccos^6的補角arccos^。所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或取“補角”。評析上題中的兩個平面的法向量是符合“一進一出”的，所以它們的夾角就等于所求的二面角的大小?？梢娡ㄟ^判斷法向量的方向，就可以解決直觀不能判斷二面角的銳或鈍的情況。將向量引入中學數學