回歸分析第六章回歸分析第六章第一節回歸分析測量與數據處理的目的并不在于被測量的估計值，而是為了尋求兩個變量或多個變量之間的內在關系。表達變量之間關系的方法有散點圖、表格、曲線、數學表達式等，其中數學表達式能較客觀地反映事物的內在規律性，形式緊湊，且便于從理論上作進一步分析研究。數學表達式的獲得是通過回歸分析方法完成的。第一節回歸分析測量與數據處理的目的并不第一節回歸分析回歸分析就是應用數學的方法,對大量的觀測數據進行處理，從而得出比較符合事物內部規律的數學表達式。回歸分析(RegressionAnalysis)是英國生物學家兼統計學家高爾頓(Galton)在1889年出版的《自然遺傳》一書中首先提出的。回歸分析是數理統計中的一個重要分支，在工農業生產和科學研究中有著廣泛的應用。當今在實驗數據處理、經驗公式的求得、因家分析、儀器的精度分析、產品質量的控制、某些新標準的制定、氣象及地震預報、目動控制中的數學模型的制定及其他許多場合中，回歸分析往往是一種很有用的工具。第一節回歸分析回歸分析就是應用數學的方法,對第二節一元線形回歸一元回歸是處理兩個變量之間的關系，即兩個變量x和y之間若存在一定的關系，則通過試驗，分析所得數據，找出兩者之間關系的經驗公式。假如兩個變量之間的關系是線性的就稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。第二節一元線形回歸一元回歸是處理兩個變量之間例題測量某導線在一定溫度x下的電阻值y如表中所示，試找出它們之間的內在關系。例題測量某導線在一定溫度x下的電阻值y如表中所示分析：最小二乘法分析：最小二乘法第六章回歸分析1課件第六章回歸分析1課件第六章回歸分析1課件第六章回歸分析1課件回歸方程的穩定性回歸方程的穩定性是指回歸值的波動大小，被動愈小，回歸方程的穩定性愈好。的波動大小用

的標準差

來表示。回歸方程的穩定性回歸方程的穩定性是指回歸值的波動大小=0=Q回歸方程的方差分析總的離差平方和=U=0=Q回歸方程的方差分析總的離差平方和=U回歸方程的方差分析回歸方程的方差分析回歸方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回歸方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回歸方程顯著性檢驗由回歸平方和與殘余平方和的意義可知：一個回歸方程是否顯著，也就是y與x的線性關系是否密切，取決于U及Q的大小，U愈大Q愈小說明y與x的線性關系愈密切。回歸方程顯著性檢驗通常采用F檢驗法。回歸方程顯著性檢驗由回歸平方和與殘余平方和的意義殘余方差與殘余標準差殘余方差：殘余標準差：殘余方差與殘余標準差殘余方差：殘余標準差：方差分析表方差分析表重復試驗為了檢驗一個回歸方程擬合得好壞，可以做些重復試驗，從而獲得誤差平方和QE和失擬平方和QL(它反映了非線性及其它未加控制的因素的影響)，用誤差平方和對失擬平方和進行F檢驗,就可以確定回歸方程擬合得好壞。重復試驗為了檢驗一個回歸方程擬合得好壞，可以做例題用標準壓力計對萊固體壓力傳感器進行檢定，檢定所得數據如表所示.表中xt為標準壓力，yti為傳感器輸出電壓，yt為四次讀數的算術平均值。試對儀器定標并分折儀器的誤差。例題用標準壓力計對萊固體壓力傳感器進行檢定，檢重復試驗在一般情況下，重復試驗可將誤差平方和與失擬平方和從殘余平方和中分離出來，這對統計分析是有好處的。同時，在精密測試儀器中，通常失擬平方和及誤差平方和分別與儀器的原理誤差(定標誤差、非線性誤差)及儀器的隨機誤差相對應。應用這種方法可以將系統誤差與隨機誤差分離開來，并可用回歸分析方法進一步找出儀器的誤差方程，從而可以對儀器的誤差進行修正。重復試驗在一般情況下，重復試驗可將誤差平方和與失回歸直線的簡便求法分組法:用分組法求回歸方程中的系數

和

的具體作法是：將自變量數據按由小到大的次序安排，分成個數相等或近于相等的兩個組:第一組為第二組為回歸直線的簡便求法分組法:用分組法求回歸方程第六章回歸分析1課件例題測量某導線在一定溫度x下的電阻值y如表中所示，用分組法求回歸方程。例題測量某導線在一定溫度x下的電阻值y如表中所示第六章回歸分析1課件回歸直線的簡便求法圖解法:把N對觀測數據于坐標紙上畫出散點圖，假如畫出的點群形成一直線帶，就在點群中畫一條直線，使得多數點位于直線上或接近此線并均勻地分布在直線的兩邊。這條直線可以近似地作為回歸直線，回歸系數可以直接由圖中求得。利用此直線也可在坐標紙上直接進行預報。由于作圖時完全憑經驗畫直線，主觀性較大，精度較低，但此法非常簡單，精度要求不高時可采用。回歸直線的簡便求法圖解法:把N對觀測數據于坐標紙例題用x光機檢查鎂合金焊接件及鑄件內部缺陷時．為達到最佳靈敏度，透照電壓y應隨被透照件厚度x而改變。經試驗得如下一組數據:例題用x光機檢查鎂合金焊接件及鑄件內部缺陷時．第三節兩個變量都具有誤差時

線性回歸方程的確定上面用最小二乘法求得的回歸方程,一般認為是最佳的，但它是假設x是沒有誤差或誤差可以忽略的，其所有誤差都歸結在y方向。然而，x的測量也可能是不精確的，存在試驗誤差。現在我們考察另一種極端情況,即y沒有誤差，而所有誤差都歸結于x。在這種情況下，一元線性回歸方程的數學模型是第三節兩個變量都具有誤差時

線性回歸方程的確定第六章回歸分析1課件第六章回歸分析1課件戴明(Deming)解法若

分別具有誤差假定之間為線性關系，其數學模型為戴明(Deming)解法若例題通過試驗測量某量x、y的結果如下：由重復測量已估計出

，即

，試求y對x的回歸直線方程.例題通過試驗測量某量x、y的結果如下：由重復測量已估計出第四節一元非線性回歸在實際問題中，有時兩個變量之間的內在關系并不是線性關系，而是某種曲線關系．這時若求所需的回歸線，一般地說，可以分兩步進行：

①確定函數類型;

②求解相關函數中的未知參數。用最小二乘法直接求解非線性回歸方程是非常復雜的，通常是通過變量代換把回歸曲線轉換成回歸直線，繼而用前面給出的方法求解；或者把回歸曲線展成回歸多項式，直接用回歸多項式來描述兩個變量之間的關系。第四節一元非線性回歸在實際問題中，有時兩個變回歸曲線函數類型的選取和檢驗直接判斷法:觀察法:回歸曲線函數類型的選取和檢驗直接判斷法:觀察法:回歸曲線函數類型的選取和檢驗直線檢驗法:①將預選的回歸曲線f(x,y,a,b)=0寫成Z1=A+BZ2②求出幾對與x、y相對應的Z1和Z2的值，這幾對值以選擇x、y值相距較遠為好。③以Z1和Z2為變量畫圖，若所得圖形為一直線，則證明原先所選定的回歸曲線類型是合適的。回歸曲線函數類型的選取和檢驗直線檢驗法:①將預選的回歸曲線f例題用直線檢驗法說明下列一組數據是否可用

表示.例題用直線檢驗法說明下列一組數據是否可用回歸曲線函數類型的選取和檢驗表差法:①用試驗數據畫圖。②自圖上根據定差，列出各對應值。

③根據的讀出值作出差值

，而回歸曲線函數類型的選取和檢驗表差法:①用試驗數據畫圖。例題檢驗表中所示觀測數據是否可用

表示。例題檢驗表中所示觀測數據是否可用化曲線回歸為直線回歸問題為了測定橢圓齒輪流量計在介質粘度變化時的誤差，先測定10號變壓器油的粘度y與溫度x的變化曲線，以便試驗時測出油溫就可以知道粘度。通過試驗獲得如下一組數據：化曲線回歸為直線回歸問題為了測定橢圓齒輪流量計回歸曲線方程的效果與精度回歸曲線方程的效果與精度第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸第五節多元線性回歸回歸方程的顯著性和精度回歸方程的顯著性和精度每個自變量在多元回歸中所起的作用偏回歸平方和一般地說，由于各自變量之間可能有密切的相關關系，所以一般地不能按偏回歸平方和的大小，把一個回歸中的所有自變量對因變量的重要性大小進行逐個排列。通常在計算偏回歸平方和以后，對各因素的分析可按一定步驟進行.每個自變量在多元回歸中所起的作用偏回歸平方和一般每個自變量在多元回歸中所起的作用①凡是偏回歸平方和大的變量，一定是對y有重要影響的因素。可用殘余平方和對它進行F檢驗。

②凡是偏回歸平方和小的變量，卻并不一定不顯著。但可以肯定，偏回歸平方和最小的那個變量，必是所有變量中對y作用最小的一個，假如此時變量檢驗結果又不顯著，那就可以將該變量剔除。每個自變量在多元回歸中所起的作用①凡是偏回歸平方和大的變量，第六節線性遞推回歸在動態測量中，數據往往是循序測出的，而且有的要求進行實時處理，即每獲得一個新數據，就要及時解算出回歸方程新的系數，計算工作量大。所以數據積累的越多，實時性越差。采用遞推算法是解決上述問題的最佳方法。

遞推算法的基本思想：首先根據初始的測量數據。計算出回歸系數初始值；新增加一組數據后，計算出新增數據帶來的回歸系數增量，回歸系數初始值加上其增量就是回歸系數新的解；再增加新數據時，按此法類推解算。由于回歸系數增量的計算工作量較少，而且無重復性計算，提高了計算速度。第六節線性遞推回歸在動態測量