第三章復變函數的積分復變函數的積分（以下簡稱為復積分）是研究解析函數的重要工具之一．我們可以用這種工具證明解析函數的許多重要性質．例如，解析函數導數的連續性，解析函數的無窮可微性等，這些表面看起來只與微分學有關的命題，都可用復積分這一工具得到比較好地解決．另外，對解析函數，我們完全可以通過函數的連續性，再結合函數的適當積分特征（積分與路徑無關）來加以刻畫，從而使對解析函數的研究擺脫了已往過分依賴實、虛部二元實函數，受數學分析知識的限制這種尷尬的境地，為解析函數的研究開辟了新的途徑和新的思路.本章，我們首先建立復變函數積分的概念，然后建立的柯西積分定理和柯西積分公式，它是復變函數論的基本定理和基本公式，是研究解析函數性質所采用的具體工具.第一節復積分的概念、基本性質與基本計算約定：1、本章及以后所提到的曲線都是簡單光滑或分段光滑曲線(從而它必可求長)；分段光滑的簡單閉曲線稱為圍線或周線；2、曲線方向的規定：對非封閉曲線只須規定它的起點和終點，則它的正向是從起點到終點的方向，否則就是負向；對于圍線，則規定“逆時針”為它的正向，而“順時針”為負向；對于有界區域的邊界曲線，則按左手法則規定它的正向，即當某人站在邊界曲線上沿某一方向行走時，區域始終在此人的左手邊，則規定此方向為的正向，否則為的負向．習慣上，曲線的正向記為或，而負向記為．復積分的定義定義1設C是復平面上連接a和b兩點的有向曲線，其中a是起點，b是終點．函數定義在曲線C上,分割：在C上，我們沿C的方向順次插入有限個分點把曲線C分成有限個小的有向弧段（方向與C的方向一致）（這一過程也稱為對曲線的一個有向分割，記為T）．近似求和：在每個小弧段上任取，作和數

其中，并記稱為分割的模．取極限如果存在，且極限值與對C的分割以及點的取法均無關，即對任意，存在，使得對C的任意分割T，只要，總有則稱函數沿曲線C（從a到b）可積，稱為函數沿曲線C（從a到b）的積分，記為其中稱C為積分路徑，表示沿C的正向的積分，表示沿C負向的積分．注：關于復積分存在的條件，有一些與實積分類似的結果，例如，沿曲線C可積的必要條件是在C上有界；若在曲線上連續，則沿C可積等等.根據復積分的定義，不難得到復積分的如下基本性質：設，都在簡單曲線C上連續，則有復積分的性質即：方向性，線性性質，積分路徑可加性證明:取極限得即：估值定理（5)如果進一步還有，，L表示C的長度，則復積分的計算方法1化為第二類曲線積分（見教材p92定理3.1）此法主要思路是利用自變量與函數的實部虛部x,y,u,v的形式化為第二類曲線積分.

2化為對參數t的一元函數積分此法主要思路是利用曲線的參數表示法，將自變量z與函數f都表成t.只對t做積分.詳細證明如下：

證明：按照第二類曲線積分的算法

3.用積分的定義直接計算注：積分的三種運算方法的比較.第一種方法先對被積分式運算化為第二類曲線積分式，再代入曲線的表達式化成一元積分.第二種方法先代入曲線的表達式對被積分式進行運算化簡，則直接成為一元積分.第三種方法用定義求極限.例題解1:第二類曲線積分法

記例1設曲線C是平面上連接a和b兩點的有向曲線（方向是從a到b），證明：（1）；（2）．(1)和(2)的證明方法類似，只證明（2）.解2：定義法記，任取曲線的一個有向分割再在每個小弧段上取得，先在每個小弧段上取得，上面兩式相加得，因連續，則在曲線C上可積．由積分的定義注：由上面兩例的結果知，當曲線C是閉曲線時，例1

解1：參數方程解法直線方程為積分與路徑無關解2:第二類曲線積分法請同學們參照微積分課程知識自己運算第二類曲線積分！積分與路徑無關注：所以不論C是怎樣的連接0與3+4i的曲線，積分值與曲線路徑無關！解積分路徑的參數方程為例2求其中是以為心，為半徑的正向圓周，為正整數.注：該結論可以作為結論直接使用，稱為常用積分.

解(1)：積分路徑的參數方程為解(2)：積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為1到1+i直線段的參數方程為注：本題積分值與路徑有關思考題：1.復積分什么時候與路徑無關.2.復積分有什么幾何（物理）意義.作業：P1293,4人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。