PAGE18淺談一階微分方程的初等解法1基本概念微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式.如（其中，為自變量，為未知函數(shù)）；（1.1）（為自變量，為未知函數(shù)）；（1.2）微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階數(shù)，例如方程（1.1）它含有未知數(shù)及它的一階導(dǎo)數(shù)，這樣的方程稱(chēng)為一階常微分方程，方程（1.2）為二階常微分方程.一階常微分方程一般形式可表示為（1.3）如果（1.3）能解出y＇，則得到（1.4）或(1.5)(1.3)稱(chēng)為一階隱微分方程，（1.4）稱(chēng)為一階顯微分方程，（1.5）稱(chēng)為微分形式的一階方程.如果函數(shù)代入方程（1.3）后，能使它變?yōu)楹愕仁剑瑒t稱(chēng)函數(shù)為方程（1.3）的解.定義我們把含有一個(gè)任意常數(shù)的解稱(chēng)為一階微分方程（1.3）的通解.本文主要介紹一階常微分方程的初等解法.2一階顯微分方程的初等解法2.1恰當(dāng)方程2.1.1恰當(dāng)方程考慮微分形式的一階方程（1.5）如果方程（1.5）的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即（2.1）則稱(chēng)（1.5）為恰當(dāng)方程.容易驗(yàn)證，（1.5）的通解就是（c為任意常數(shù)）（2.2）定理方程(1.5）為恰當(dāng)方程的充要條件（2.3）且恰當(dāng)方程（1.5）的通解為（2.4）例1求通解解這里且所以該方程是恰當(dāng)方程.解法1現(xiàn)在求使它同時(shí)滿(mǎn)足如下兩個(gè)方程(2.5)(2.6)由(2.5)對(duì)積分,得到(2.7)為了確定,將（2.7）對(duì)求導(dǎo)數(shù),使它滿(mǎn)足(2.6),即得故,積分后得,將代入(2.7),得到因此，方程的通解為（為任意常數(shù)）.解法2代入通解公式可得，即，所以方程的通解為（為任意常數(shù)）.2.1.2分項(xiàng)組合法往往在判斷方程是恰當(dāng)方程后，并不需要按照上述一般方法來(lái)求解，而是采取“分項(xiàng)組合”的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出，再把剩下的項(xiàng)湊成全微分.這種方法要求熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分，如：，，，，，.例2求方程的通解.解這里，，且，，因此方程是恰當(dāng)方程解法1現(xiàn)在求使它同時(shí)滿(mǎn)足如下兩個(gè)方程（2.8）（2.9）由(2.8)對(duì)積分,得到（2.10）為了確定,將（2.10）對(duì)求導(dǎo)數(shù),使它滿(mǎn)足(2.9),即得，故，積分后得，將代入（2.10）得到：因此，方程的通解為（為任意常數(shù)）.解法2把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到即，于是得因此方程的通解為（為任意常數(shù)）.2.1.3恰當(dāng)方程的新解法定理2對(duì)于恰當(dāng)方程（1.5），若,（2.11）且中的每一項(xiàng)必含；中的每一項(xiàng)必含，則可得方程的通解為或且（這里是任意常數(shù)）.證明，顯然已構(gòu)成全微分，由（2.3）、（2.11）得則也是恰當(dāng)方程，所以構(gòu)成全微分.設(shè)的通解為我們證明或由恰當(dāng)方程的解法得（2.12）只需證明即可，（這里是任意常數(shù)）.（2.12）兩邊對(duì)求偏導(dǎo)由恰當(dāng)方程得下面證明當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，中至少有一項(xiàng)是只含的函數(shù)，與所設(shè)的中的每一項(xiàng)必含矛盾.所以.同理.則，即，由“分項(xiàng)組合”法得，方程的通解為或（這里，是任意常數(shù)）.證畢當(dāng)判定方程（1.5）為恰當(dāng)方程后，則一定存在函數(shù)，使，上面當(dāng)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，中含的項(xiàng)在中以各自的導(dǎo)數(shù)仍出現(xiàn)，而中只含和常數(shù)的項(xiàng)在中不出現(xiàn)；當(dāng)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，中含的項(xiàng)在只也以各自的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)，而中只含和常數(shù)的項(xiàng)在中不出現(xiàn).而中既含也含的項(xiàng)即和的交叉項(xiàng)在、中都出現(xiàn)了.現(xiàn)在對(duì)求積分（是參變量）；對(duì)求積分（是參變量）.然后取“并集”就得到了中除常數(shù)項(xiàng)外的所有項(xiàng)，由此就得到了通解.例3求的通解.解，,，因此方程是恰當(dāng)方程解法1把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到，即于是，，因此方程的通解為（為任意常數(shù)）.解法2對(duì)求積分，對(duì)求積分取“并集”得方程的通解為.（是任意常數(shù)）.例4求的通解解,，因此方程是恰當(dāng)方程解法1把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到即，于是，，因此方程的通解為（為任意常數(shù)）.解法2對(duì)求積分,對(duì)求積分取“并集”得方程的通解為（是任意常數(shù)）.2.1.4恰當(dāng)方程與積分因子上面介紹了恰當(dāng)方程的解法，但是，方程（1.5）未必都是恰當(dāng)方程.當(dāng)（1.5）不是恰當(dāng)方程的時(shí)候，在一定的條件下，我們可以把它化為恰當(dāng)方程.為此我們引進(jìn)積分因子的定義：假如存在連續(xù)函數(shù)，使得方程（2.13）為恰當(dāng)方程，我們就把稱(chēng)為方程（1.5）的積分因子.根據(jù)上節(jié)可知，函數(shù)為（1.5）的積分因子的充要條件是即（2.14）這是一個(gè)以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程.如果對(duì)于方程（1.5）存在只與有關(guān)的積分因子，則，這時(shí)方程（2.14）變?yōu)榧矗纱丝芍匠蹋?.5）有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里僅為的函數(shù)，假設(shè)此條件成立，則方程（1.5）的一個(gè)積分因子為（２.15)同理方程(1.5)有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是,這里僅是的函數(shù),則方程(1.5)的一個(gè)積分因子為.注：方程（1.5）的二元函數(shù)的積分因子在此不詳加討論，可具體問(wèn)題具體分析.例5求解方程.解因?yàn)?故原方程有只與有關(guān)的積分因子,以乘方程兩邊,得到于是方程的通解為(為任意常數(shù)).2.2變量分離方程2.2.1變量分離方程形如（2.16）的方程，其特點(diǎn)是，右邊是一個(gè)的函數(shù)與一個(gè)的函數(shù)的乘積，我們稱(chēng)這類(lèi)方程為變量分離方程.方程（2.16）的求解方法為：將（2.16）改寫(xiě)為這樣，變量就“分離”開(kāi)來(lái)了，兩邊積分，得到（2.17）這里我們把積分常數(shù)也明確寫(xiě)出來(lái)，而把，分別理解為，的某一個(gè)原函數(shù)，因而常數(shù)的取值必須以（2.17）有意義為前提.把（2.17）作為確定是的隱函數(shù)的關(guān)系式，于是，對(duì)于任一常數(shù)，微分方程（2.17）的兩邊，就知（2.17）所確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足方程（2.16），因而（2.17）是（2.16）的通解.特別地，如果存在，使，直接代入，可知也是（2.16）的解，可能它不包含在方程的通解（2.17）中，必須予以補(bǔ)上.例6求解方程解將變量分離，得到 兩邊積分，即得解出y，得到通解（是任意常數(shù)）另外，方程還有解，它不包含在通解中.例7求解方程解此方程可改寫(xiě)為將變量分離，得到兩邊積分，即得（為任意常數(shù)）將任意常數(shù)寫(xiě)成的形式是為了方便.由此得方程的通解為另外，方程還有解，所以在通解中，任意常數(shù)也可以為零.例求方程（2.18）的通解，其中是的連續(xù)函數(shù).解將變量分離，得到，兩邊積分，即得（是任意函數(shù)），由對(duì)數(shù)定義，，即令，得到（2.19）另外方程還有解，它含在通解中，故可不寫(xiě).2.2.2可化為變量分離方程的類(lèi)型（1）形如（2.20）的方程，其特點(diǎn)是，它的右端是一個(gè)以為為變?cè)暮瘮?shù)，這種類(lèi)型的方程稱(chēng)為齊次方程，這里是的連續(xù)函數(shù).方程（2.20）的求解方法為：作變量變換,則，，代入方程（2.20)，則方程變?yōu)檎砗罂傻茫海?.21）方程（2.21）是一個(gè)變量分離方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原來(lái)的變量，即可得方程（2.20）的解.例9求解方程.解將方程改寫(xiě)為這是齊次方程，以及代入，則原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分得或（為任意常數(shù)）將代入，得原方程的通解（為任意常數(shù)）另外方程還有解，即也是方程的解.例10求解方程解將方程改寫(xiě)為這是齊次方程，以及代入，則原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分得將代入，得原方程的通解（為任意常數(shù)）（2）形如（2.22）的方程（其中a，b（b0）為常數(shù)）.這種類(lèi)型的方程的解法為：作變量變換，則，將其帶回方程（2.22），則方程變?yōu)椋?.23）方程（2.23）是一個(gè)變量分離方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原來(lái)的變量，即可得方程（2.22）的解.例11求解方程解將方程改寫(xiě)為令，則，代入原方程，則得分離變量得兩邊積分得（為任意常數(shù)）將代入，得原方程的通解為（為任意常數(shù)）（3）形如（2.24）的方程（其中都是常數(shù)）.我們分三種情況討論：的情形.這時(shí)方程可化為這是齊次方程，作變換，則方程就化為變量分離方程.不全為0，且，即的情形.不妨設(shè)，則方程可寫(xiě)為作變換，則方程就化為變量分離方程.例12求解方程.解方程可改寫(xiě)為，令，則，將其代入原方程則得變量分離得兩邊積分得（c為任意常數(shù)），將代入，得原方程的通解（為任意常數(shù)）③及不全為零的情形.這時(shí)方程（2.24）右端的分子、分母都是、的一次式，因此（2.25）代表平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為（）.令（2.26）則（2.24）可化為形如（2.27）的齊次方程。在作變量變換，將（2.27）化為變量分離方程.例13求解方程解解方程組得.令代入原方程，則有再令即則上式化為兩邊積分得（為任意常數(shù)）代回原變量得原方程的通解為（為任意常數(shù)）.④形如的方程，（其中是已知實(shí)數(shù)）.這種類(lèi)型的方程的求解方法為；作變量變換，可將方程化為變量分離方程，將代入方程，整理后可得這已是變量分離方程.形如的方程通常是指標(biāo)為的廣義齊次方程。它是前述齊次方程的推廣.例14求解方程解方程可改寫(xiě)為，方程可化為因此原方程是指標(biāo)為的廣義齊次方程.令，則，代入原方程整理得變量分離，再積分，整理得代回原變量，得原方程的通解（為任意常數(shù)）.證畢此外,,,以及（其中為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些類(lèi)型的方程，均可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程。2.3線性方程形如（2.28）的方程稱(chēng)為一階線性微分方程，這里假設(shè)在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)。若，（2.28）變?yōu)?2.18)（2.18）稱(chēng)為一階齊線性方程。若,(2.28)稱(chēng)為一階非齊線性方程.(2.18)是變量分離方程,在上面的例8中求得它的通解為(2.19)這里c是任意常數(shù).現(xiàn)在主要討論非齊線性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿(mǎn)足方程(2.28),從而求出.為此,令(2.29)微分之,得到(2.30)以(2.29)(2.30)代入(2.28),得到即積分后得到(2.31)這里是任意常數(shù),將(2.31)代入(2.29),得到這就是方程(2.19)的通解.這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱(chēng)為常數(shù)變易法.例15求方程的解.解這是一階線性方程，按公式求解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；合并之，有.例16求方程的通解.解先解齊次線性方程的通解為用常數(shù)變易法，令非齊次方程的通解為（2.32）微分之，得到（2.33）將（2.32）（2.33）代入原方程得積分得到，將代入原方程，即得原方程的通解為（為任意常數(shù)）.2.4伯努利（Bernoulli）方程形如（2.34）的方程，稱(chēng)為伯努利（Bernoulli）方程.這里為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù).方程（2.34）的求解方法為：對(duì)于，用乘（2.34）兩邊，得到（2.35）引入變量變換（2.36）從而（2.37）將（2.36）（2.37）代入（2.35），得到（2.38）這是線性方程，可按2.3節(jié)介紹的方法求得它的通解，然后代回原來(lái)的變量，便得到（2.34）的通解.此外，當(dāng)＞0時(shí)，方程還有解.例17求方程的通解.解這是的伯努利方程.令算得代入原方程得到這是線性方程，求得它的通解為代回原來(lái)的變量，得原方程的通解為，這里是任意常數(shù).此外方程還有解.例18求解.解這是的伯努利方程.令算得代入原方程得到,這是線性方程，求得它的通解為代回原來(lái)的變量，得原方程的通解為（是任意常數(shù)）.3一階隱微分方程的初等解法一階隱微分方程一般形式可表為（1.3）3.1形如（3.1）類(lèi)型的隱方程.這種類(lèi)型的隱方程的解法為：引進(jìn)參數(shù)，則（3.1）變?yōu)椋?.2）將（3.2）兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并以代入，得到（3.3）方程（3.3）是關(guān)于的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出.于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解.這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為（其中是參數(shù)，是任意常數(shù)）若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為（其中是參數(shù)，是任意常數(shù)）3.2形如（3.4）類(lèi)型的隱方程.這種類(lèi)型的隱方程的解法與方程（3.1）的求解方法完全類(lèi)似。這里假設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)，則（3.4）變?yōu)椋?.5）將（3.5）兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，然后以代入，得到（3.6）方程（3.6）是關(guān)于的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出.于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解，于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解.設(shè)求得通解為則得（3.4）的通解為.3.3形如（3.7）類(lèi)型的隱方程.這種類(lèi)型的隱方程的解法為：記.從幾何的觀點(diǎn)看