第八講函數與方程課標要求考情分析1.結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程解的關系.2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性1.利用函數零點存在定理或函數的圖象，判斷零點個數或求相關參數的范圍，是高考的熱點.2.本考點在高考中的常考題型為選擇題，分值為5分，中、高等難度1.函數的零點(1)零點的定義：對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.(2)零點的幾個等價關系：方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)的圖象與x軸有公共點?函數y＝f(x)有零點.

[注意]函數的零點不是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點，而是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，也就是說函數的零點不是一個點，而是一個實數.2.函數零點存在定理

如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.

[注意]函數零點存在定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而連續函數在一個區間的端點處的函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件.考點一函數零點所在區間的判定[例1](1)函數f(x)＝lnx－

2x－1的零點所在的區間是()A.(1，2)C.(3，4)

B.(2，3)D.(4，5)解析：函數f(x)＝lnx－

2x－1在(1，＋∞)上單調遞增，且在(1，＋∞)上連續.因為f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函數f(x)的零點所在的區間是(2，3).答案：B答案：(1，2)【題后反思】判斷函數零點所在區間的方法(1)解方程法，當對應方程易解時，可直接解方程.(2)根據“零點存在性定理”判斷.

(3)數形結合法，畫出相應函數的圖象，觀察圖象與x軸的交點情況來判斷，或轉化為兩個函數的圖象在所給區間上是否有交點來判斷.【變式訓練】1.若a<b<c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x)－a)的兩個零點分別位于區間( A.(a，b)和(b，c)內

B.(－∞，a)和(a，b)內

C.(b，c)和(c，＋∞)內

D.(－∞，a)和(c，＋∞)內

解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函數零點存在性定理可知，在區間(a，b)，(b，c)內分別存在一個零點.又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點，因此函數f(x)的兩個零點分別位于區間(a，b)和(b，c)內.答案：A區間是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)又f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴函數f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點，且零點在(1，2)內.

答案：B考點二函數零點個數的確定1.函數f(x)＝2x＋x3－2在區間(0，1)內的零點個數是(

)A.0B.1C.2D.3

解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數在定義域上連續且單調遞增， ∴函數f(x)在區間(0，1)內有且只有1個零點.

答案：B2.函數f(x)＝3x|lnx|－1的零點個數為(

)A.1B.2C.3D.4圖D11答案：B

解析：當x>0時，作出函數y＝lnx和y＝x2－2x的圖象，如圖D12，由圖可知，兩函數的圖象有兩個交點，所以當x>0時，f(x)有兩個零點；

綜上所述，f(x)有3個零點.圖D12答案：3【題后反思】函數零點個數判定的方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.

(2)函數零點存在定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點.(3)作出兩個函數圖象，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.考點三根據函數零點個數求參數通性通法：根據函數零點個數求參數的方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解.在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是()A.(0，1]C.(0，1)B.[1，＋∞)D.(－∞，1]

解析：畫出函數f(x)的大致圖象如圖2-8-1所示，f(x)在(－∞，0]上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞增.因為函數f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個零點.當x≤0時，f(x)有一個零點，則f(0)＝1－a≥0，解得a≤1；當x>0時，f(x)有一個零點，需－a<0，解得a>0.綜上所述，0<a≤1.答案：A圖2-8-1

(2)(2022年蘇州市質檢)函數f(x)＝x·2x－kx－2在區間(1，2)內有零點，則實數k的取值范圍是________.答案：(0，3)【變式訓練】A.－1B.0C.1D.2解析：根據題意，作出函數f(x)的圖象如圖D13所示.圖D13令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，

所以要使函數g(x)＝f(x)－x－a有且只有兩個不同的零點，只需函數f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同的交點，根據圖象可得實數a的取值范圍為(－1，＋∞).故選BCD.答案：BCD2.若函數f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個零點分別在區間(－1，0)和區間(1，2)內，則m的取值范圍是______