-5-淺談數學歸納法的應用中山市石歧張溪鄭二小學康火娣[摘要]數學歸納法是數學中一種簡便而應用廣泛的證明命題的方法，是解數學題最基本和最重要的方法之一.本文歸納總結了數學歸納法的解題步驟和數學歸納法在中學證明恒等式、不等式、整除問題、幾何問題的應用.[關鍵詞]歸納法證明應用歸納法的解題步驟數學歸納法的步驟非常嚴謹，如果把證明的命題記作,那么數學歸納法的步驟為：（1）證明當取允許值時，正確；（2）假設時，命題成立，即正確，證明當時，也正確；（3）根據（1）、（2）,對任意正整數n都成立.數學歸納法的實質在于：將一個無法窮盡檢驗證明的命題轉化為證明兩個普通的命題：“真”和“若真，則真”，從而達到證明的目的，所以說數學歸納法是“化歸方法”的一種，它把“無限”的東西轉化到“有限”上來.二、數學歸納法的應用數學歸納法是證明與正整數有關的命題的一種非常有效的方法，它在證明中的應用是十分廣泛的，應用數學歸納法證明與正整數n有關的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題有關的問題等.用數學歸納法證明恒等式應用數學歸納法證明恒等式，證明過程中只要實現等式左右兩邊相等即可.例1證明：分析：這是一道關于正整數的等式，只要證左邊=右邊即可，故用數學歸納法.證明：（1）當時，左邊=右邊=，左邊=右邊，所以等式成立.（2）假設時，等式成立.即有則當時，即當時，等式也成立.由（1）(2)可知，對于一切等式成立.點評：用數學歸納法能有效簡單完成這種證明題.例2證明：已知，求證:，且.分析：本題要求證的等式是與自然數有關的命題，直接求證該等式有點難，需要用數學歸納法來證明.證明：（1）時，左邊=，右邊.左邊=右邊，所以當時，等式成立.（2）假設當時，等式成立，即有成立.則當時，整理得：因此時等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于等于2的正整數，等式都成立.點評：因為要證明的等式中含有，所以先要找到等式的首項，然后在第（2）步的證明中把用代換.例3用數學歸納法證明：分析：三角函數一般都要借助三角公式來化簡所證的命題.證明：（1）當時，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立.（2）假設時，成立.則當時,有即當時，等式成立.由（1）（2）可知，對于任意命題都成立.點評：對于這種三角證明題應用數學歸納法來解答會更加容易.用數學歸納法解決不等式應用數學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴格不等式兩種，嚴格不等式的證明，只要保證原不等式中或成立即可；對于非嚴格不等式而言，情況略顯復雜.例4若為大于1的自然數，求證：.分析：這種不等式在運用歸納假設后，再把式子適當變形，湊成目標的形式.本題要證明的不等式左邊是和的形式，可考慮加上歸納假設中需要的，再減去.證明：（1）當時，.（2）假設當時命題成立，即.則當時，.即當時，命題也成立.由（1）（2）可知，當為大于1的自然數時，不等式恒成立.點評：對于這種不等式用數學歸納法更容易解答.例5求證：且.分析：若設時不等式成立，即，即有，無法推出時命題成立，由此，聯想到證明一個更加一般的假命題，若，則.證明：（1）當時，，結論成立.（2）假設當時結論成立，即有成立.當時，由（1）（2）可知，對于一切，不等式成立,又當時，原不等式顯然成立.從而且得證.點評：比一般的命題提供了更強的歸納假設，因而用數學歸納法證明會更加簡單明了.例6證明：.分析：對于這種三角函數不等式需要借助三角公式來解答.證明：(1)當時，上式左邊==右邊，不等式成立.（2）假設當時，命題成立，即有.當時，有即當時，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式對一切正整數n均成立.點評：對于這種三角函數用數學歸納法更簡便.用數學歸納法解決整除問題用數學歸納法證明整除性問題，如：求證能被整除，設是隨自然數變化的已知整式（或整數），是給定的整式或整數.由假設時命題成立，來推證時命題也成立，是關鍵的一步，也是最難證明的一步.例7用數學歸納法證明：能被13整除..分析：為了充分利用歸納假設在第（2）步要提公因子再湊假設.證明：(1)當時，能被13整除；(2)假設當時，能被13整除；則當時，所以與都能被13整除.即能被13整除.由（1）（2）可知，命題成立.點評：本題應用數學歸納法能更便捷地解決問題.例8求證：能被整除，.分析：解這一道題關鍵在第（2）步，在第（2）步時化一個數的分式，通過增項或者減項等方法化為的倍數就容易解答了.證明：(1)當時，，命題成立.(2)假設時，能被，命題成立.則當時，由歸納假設，上式的兩項都能被整除，故時命題成立.點評：數學歸納法證明有關數或式整除的問題時，要充分利用整除的性質，若干個數（或整式）都能被一個數（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個數（或整式）整除.例9求證：對于整數，能被133整除.證明：(1)當時，能被133整除.(2)假設時，，命題成立.則時，.所以因為，且.所以，即能被133整除，又由數學歸納假設可知能被133整除，再根據整除性質可知也能被133整除.由（1）（2）可知，命題對任意的整數都成立.用數學歸納法解決幾何問題例10平面內有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這條直線把平面分割成個區域.分析：這是一道關于幾何上證明區域的問題，時是否成立，假設時，推出時的情況，由小到大用數學歸納法證明即可.證明：(1)當時，，即一條直線把平面分成兩個區域，命題成立.(2)假設時，命題成立，即條滿足題意的直線把平面分割成了個區域.則當時，條直線中的條直線把平面分成了個區域，第條直線被條直線分成段，每段把它們所在區域分成了兩塊，因此增加了個區域，所以條直線把平面分成了個區域.這說明時命題也成立.由（1）（2）可知，對于一切,命題成立.點評：這些存在正整數的題目，往往可以用數學歸納法證明.利用數學歸納法的注意事項利用數學歸納法證明命題注意事項：數學歸納法只能解決與自然數有關的命題；數學歸納法證題的基本結構是兩個步驟，一個結論.數學歸納法證題的兩個步驟是缺一不可的，因為只有第一步沒有第二步，我們就無法遞推下去，所以對于取以后的值我們就無法判斷命題是否正確；同樣的只有第二步而沒有第一步，就是缺少了遞推依據，那么第二步就沒有意義了.四、總結通過上述論證可以看出，數學歸納法是十分有效和廣泛的方法，也是一種認識可數無限集合性質的重要方法.使用數學歸納法進行論證，將會更加深刻的理解所要論證的命題，實現有限到無限的飛躍.當然，并非一切與自然數有關的命題的證明都一定要采用數學歸納法，有些命題雖與自然數有關，但不用數學歸納法也可證明.另外，對于有些問題運用數學歸納法比較簡單，而另一些則以不用數學歸納法較為方便，因此在具體問題中，何時運用數學歸納法比較捷，必須根據具體情況來定，而題設命題的可數性則是用數學歸納法的必要條件.總之，盡管數學歸納法是一種證明方法，但實質是遞推思想，只要把握住“遞推”，巧妙地進行轉化，以遞推分析為主，這樣就可以理解其實質