第一節空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖命題分析預測學科核心素養從近五年的考查情況來看，空間幾何體的三視圖是高考的重點，多以三視圖為背景考查幾何體的結構特征，一般是選擇題、填空題，難度中等．通過空間幾何體的結構、三視圖考查學生的直觀想象核心素養．授課提示：對應學生用書第134頁知識點一簡單幾何體(1)簡單旋轉體的結構特征：①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉得到；②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉得到；③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉得到．(2)簡單多面體的結構特征：①棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；②棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共點的三角形；③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．?溫馨提醒?1．認識棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的結構特征時，易忽視定義，可借助于幾何模型強化對空間幾何體的結構特征的認識．2．臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強調截面與底面平行．1．下列說法正確的是()A．棱柱的側面都是矩形B．棱柱的側棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的側棱總與底面垂直解析：由棱柱的定義知，棱柱的側面都是平行四邊形，不一定都是矩形，故A不正確；因為平行四邊形的對邊相等，故側棱都相等，所以B正確；對選項C，側棱都平行，但底面多邊形的邊(也是棱)不一定平行，所以錯誤；棱柱的側棱可以與底面垂直也可以不與底面垂直，故D不正確．故選B．答案：B2．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是()A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱解析：長方體ABCD-A′B′C′D截去圖中部分后，因為EH∥A′D′，所以FG∥A′D′，所以剩下的幾何體是五棱柱ABFEA′-DCGHD′．答案：C知識點二直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．?溫馨提醒?直觀圖與原圖形面積的關系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行解析：由直觀圖的畫法規則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行性不變．答案：D2．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)解析：由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2)．答案：A知識點三三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說明：主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側視圖．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規則：主左一樣高，主俯一樣長，左俯一樣寬；看不到的線畫虛線．?溫馨提醒?1．畫三視圖時，能看見的線和棱用實線表示，不能看見的線和棱用虛線表示．2．一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同．1．(易錯題)沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析：給幾何體的各頂點標上字母，如圖1．A，E在側投影面上的投影重合，C，G在側投影面上的投影重合，幾何體在側投影面上的投影及把側投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項為B．答案：B2．如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體是()A．四棱柱 B．三棱柱C．長方體 D．三棱錐解析：將三視圖還原為直觀圖，如圖所示，該幾何體為三棱柱．答案：B授課提示：對應學生用書第135頁題型一空間幾何體的結構特征1．下列結論正確的是（）A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線解析：A錯誤．如圖所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯誤．如圖，若△ABC不是直角三角形，所得幾何體不是圓錐；若△ABC是直角三角形，但旋轉軸不是直角邊，所得的幾何體也不是圓錐．C錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長．D正確．答案：D2．設有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題的序號是_________．解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的．底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的．因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的．命題④由棱臺的定義知是正確的．答案：①④空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，根據定義進行判定反例法通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個結論是錯誤的，只要舉出一個反例即可題型二空間幾何體的直觀圖1．如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀為（）A．平行四邊形 B．梯形C．菱形 D．矩形解析：由斜二測畫法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．答案：D2．（2021·桂林模擬）已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（）A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：如圖①、②為所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a．∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2．答案：D畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規則可以用“斜”（兩坐標軸成45°或135°）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變）來掌握．對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關量．題型三空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是考查重點，主要在選擇題、填空題中考查，歸納起來常考角度有：（1）由空間幾何體判定三視圖．（2）由三視圖還原幾何體．（3）空間幾何體的三視圖的計算問題．考法（一）由空間幾何體判定三視圖[例1]（2021·宜賓模擬）已知棱長都為2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖如圖．若正三棱柱ABC-A1B1C1繞著它的一條側棱所在直線旋轉，則它的左視圖可以為（）[解析]由題知，四個選項的高都是2．若左視圖為A，則中間應該有一條豎直的實線或虛線；若左視圖為C，則其中兩條側棱重合，不應有中間豎線；若左視圖為D，則長度應為eq\r(3)，而不是1．[答案]B由空間幾何體判定三視圖的方法（1）根據三視圖的有關定義和規則先確定主視圖，再確定俯視圖，最后確定左視圖．（2）被遮住的輪廓線應為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．考法（二）由三視圖還原幾何體[例2]（2020·高考全國卷Ⅱ）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在主視圖中對應的點為M，在俯視圖中對應的點為N，則該端點在左視圖中對應的點為（）A．E B．FC．G D．H[解析]由三視圖還原幾何體，如圖所示，由圖可知，M點在左視圖中對應的點為E．[答案]A熟練掌握規則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎，在明確三視圖畫法規則的基礎上，按以下步驟可輕松解決此類問題：考法（三）空間幾何體三視圖的有關計算問題[例3]（2021·衡陽模擬）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，B在平面α上，AB＝eq\r(2)．若平面A1B1C1D1與平面α所成角為30°，由如圖所示的俯視方向，正方體ABCD-A1B1C1D1在平面α上的俯視圖的面積為（）A．2 B．1＋eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)[解析]由題意得AB在平面α內，且平面α與平面ABCD所成的角為30°，與平面B1A1AB所成的角為60°，故所得的俯視圖的面積S＝eq\r(2)×（eq\r(2)cos30°＋eq\r(2)cos60°）＝2（cos30°＋cos60°）＝1＋eq\r(3)．[答案]B在求解有關計算問題時，一定要注意抓住三視圖的要求，避免數據讀錯，導致失誤．[題組突破]1．（2021·福州模擬）如圖為一圓柱切削后的幾何體及其主視圖，則相應的左視圖可以是（）解析：圓柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面為橢圓，結合主視圖，可知左視圖最高點在中間．答案：B2．（2021·武漢市高三二調）某幾何體的三視圖如圖所示，則從該幾何體的所有頂點中任取兩個頂點，它們之間距離的最大值為（）A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：由三視圖知，該幾何體是一個四棱柱，記為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，將其放在如圖所示的長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，四棱柱的高為1，連接AC1，觀察圖形可知，幾何體中兩頂點間距離的最大值為AC1的長，即eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6)．答案：B3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）解析：選項A的主視圖、俯視圖不符合要求，選項B的主視圖、左視圖不符合要求，選項C的俯視圖不符合要求，通過觀察，選項D滿足要求．答案：D空間幾何體應用中的核心素養直觀想象——空間幾何體的創新應用[例]（2019·高考全國卷Ⅱ）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖①）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖②是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．[解析]先求面數，有如下兩種方法．法一：由“半正多面體”的結構特征及棱數為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9＋8＝26（個）面．法二：一般地，對于凸多面體頂點數（V）＋面數（F）－棱數（E）＝2．（歐拉公式）由題圖知，棱數為48的半正多面體的頂點數為24．故由V＋F－E＝2，得面數F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26．再求棱長．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設其邊長為x，則正八邊形的邊長即為棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x．又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1．∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1．[答案]26eq\r(2)－1通過直觀想象，化空間圖形為平面問題是求解此題的關鍵．[對點訓練]（2020·高考全國卷Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A．eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4) D．eq\f(\r(5)＋1,2)解析