§12.3.1

氫原子光譜的規律性§12.3

氫原子光譜——巴耳末公式1853年瑞典人埃格斯特朗(A.J.Angstrom)測得氫可見光光譜的紅線，?即由此得來。

到1885年，觀測到的氫原子光譜線已有14條。瑞士的一位中學教師巴耳末(J.J.Balmer)發現氫原子的線狀光譜可見光部分的波長可歸納為如下公式

氫原子光譜：位置穩定的分立的線狀光譜紅藍紫6562.8?4861.3?4340.5?R稱為里德伯(J.R.Rydberg)常數廣義巴爾末公式為經典物理困難：不能解釋電子軌道運動的穩定性。電子作軌道運動具有加速度，要向外發射電磁波，電子能量逐漸減少，最后電子將落入原子核中。(2)

不能解釋為什么原子光譜是線狀的。電子作軌道運動，由于發射電磁波，能量逐漸減少，軌道半徑逐漸變小，發射的電磁波的波長應逐漸改變，原子光譜應為連續譜。§12.3.2

玻爾量子假設解釋氫原子線狀光譜1.定態假設：原子系統只能有一系列不連續的穩定態，相應的能量取不連續的值E1、E2、

玻爾的基本假設2.頻率規則：原子從一個穩定態躍遷到另一個穩定態，同時發射(或吸收)單色光。3.角動量量子化：電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運動時，只有電子的角動量L等于

?

的整數倍的那些軌道才是穩定的，即n=1n=2n=3n=4從這些基本假設出發，玻爾推導出氫原子的能量公式為

氫原子的能量量子化

當n

時，En

連續值n=1，E1=

-13.6eV

基態

n=2，E2=-3.4eV受激態n=3，E3=-1.5eV受激態0En(eV)r-13.6-3.4-1.5

E>0時氫原子處于電離態，氫原子的電離能為13.6eV。式中叫做玻爾半徑，即玻爾原子理論中第一圓軌道的半徑。其值為氫原子的能量公式也可寫成氫原子的能級公式稍加修改，也適用于類氫離子，例如氦離子He+。He原子核外有兩個電子，當它電離失去一個電子后，其結構類似于氫原子，但核電荷數為+2e。以Z

表示類氫離子的核電荷數，則類氫離子的能級公式為把能量公式代入頻率條件式，則氫原子光譜的波數為:R：里德伯常數賴曼系：巴爾末系：

帕邢系：6562.8紅4861.3藍紫4340.5也稱為里德伯公式

玻爾理論(1913年)是在經典理論基礎上加一些新的量子假設，它成功地解釋了氫原子線狀光譜，作為早期的量子理論，它對量子力學的發展具有重大的先導作用。但是，玻爾理論是有缺陷的，它還遠未能反映微觀世界的本質。例如，它不能解釋多電子原子的光譜，對譜線的強度、寬度也無能為力。討論

正確的原子結構理論要建立在全新的量子力學基礎之上。雖然玻爾理論的一些基本概念，如“定態”、“能級”、“能級躍遷決定輻射頻率”等在量子力學中仍是重要的基本概念，但是從量子力學出發，經典意義的軌道對微觀原子世界已不適用。例1.處于第一激發態(n=2)的氫原子，如用可見光照射，能否使之電離？解：使第一激發態氫原子電離可見光最大能量：故不能。例2：用能量為12.5ev的電子去激發基態氫原子,問:受激發的氫原子向低能級躍遷時,會出現哪些波長的譜線?解:-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eV可見上述電子可把基態氫原子激發到E3能級。由第二激發態(n=3)向低能級躍遷有三種可能；共三條譜線,一條屬于巴耳末系,兩條屬于萊曼系。巴耳末系:(m=2

)萊曼系:(m=1

)§12.4

粒子的波動性與波函數§12.4.1

德布羅意波

(1924年)

(LouisdeBroglie)L.V.deBroglie

(法1892-1986)德布羅意獲得1929年諾貝爾物理學獎

從辯證思維出發，法國青年物理學家德布羅意提出，既然光具有粒子性，是否實物粒子如電子也應當具有波動性？

德布羅意假設：實物粒子具有波動性，與粒子相聯系的波稱為德布羅意波或物質波。——

德布羅意關系

——

德布羅意波長[例]

從德布羅意波導出玻爾角動量量子化條件電子波動反映到原子中，為駐波。解：當電子軌道周長恰為物質波波長的整數倍時，可以形成穩定的駐波(因只有駐波是一穩定的振動狀態，不輻射能量)，這就對應于原子的定態。

物質波的概念可以成功地解釋原子中令人困惑的軌道量子化條件。(n=1，2，……)愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”

“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”由得當

v<<c

時，可以取：其中m0

為物質的靜止質量§12.4.2德布羅意波的實驗驗證1.戴維遜——革末實驗(1927年)

(C.J.Davission)

(L.H.Germer)f真空電子槍掠射角INi

單晶U實驗裝置示意圖

電子束在晶體表面上散射的實驗，觀察到和X

射線衍射相似的電子衍射現象。

使一束電子投射到鎳晶體特選晶面上，探測器測量沿不同方向散射的電子束的強度。得由及散射電子束具有波動性，像X射線一樣，電子束極大的方向滿足布喇格方程晶面間距代入布喇格公式l

=1.65?鎳單晶的原子間距取k=1，由實驗公式可得電子的波長該電子的德布羅意波長為當入射電子的能量為54eV時，在f=50o

的方向上，散射電子束強度最大。在實驗中，由分析衍射條紋得出的波長與德布羅意波長公式計算結果符合得很好。這證明電子象X

射線一樣具有波動性，也同時證明了德布羅意公式的正確性。實驗原理2.G.P.湯姆遜(1927年)

電子通過金屬多晶薄膜的衍射實驗

同年，英國的G.P.

湯姆遜觀察到電子束通過金屬箔時產生的圓環形條紋。

十年后，戴維遜、湯姆遜因電子衍射實驗的成果共獲1937年度諾貝爾物理獎。3.

電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗(C.約恩遜1961)單縫雙縫三縫四縫1961年，約恩遜進行了電子的單縫、雙縫和多縫衍射實驗，得出了衍射條紋的照片。4.一切實物粒子都有波動性后來實驗又驗證了：質子、中子和原子、分子等實物粒子都具有波動性，并都滿足德布羅意關系。

自從發現電子有波動性后，電子束德布羅意波長比光波波長短得多。而且極方便改變電子波的波長。這樣就能制造出用電子波代替光波的電子顯微鏡。

從波動光學可知，由于顯微鏡的分辨本領與波長成反比，光學顯微鏡的最大分辨距離大于0.2mm，最大放大倍數也只有1000倍左右。由代入解：靜止電子經電壓U加速后的動能[例]計算被15000V電場加速運動電子的德布羅意波長。電子的德波波長很短，用電子顯微鏡衍射效應小，可放大200萬倍。★一顆子彈、一個足球有沒有波動性呢？[例]求

m=0.01kg，v=300m/s

的子彈的德布羅意波長。h

極其微小

宏觀物體的波長小得實驗難以測量

“宏觀物體只表現出粒子性”問題：那么，粒子性和波動性這兩個完全不同的性質又是如何統一到了微觀粒子上呢？

12.4.3波函數的統計解釋(Probabilitywaveandamplitudeofprobabilitywave)

量子力學建立初期，人們對德布羅意波的意義提出過各種猜測，例如:

電子波是一個代表電子實體的波包，電子本身是彌散于空間的物質波動，電子的波動性是大量電子之間的相互作用等。這些猜測最終都因不能圓滿地解釋實驗現象而不得不放棄。德布羅意波是概率波1926年，玻恩（M.Born）對波粒二象性給出了一種統計詮釋，他認為一、德布羅意波是概率波

當入射電子流密度很小時，電子幾乎是一個一個入射，在屏上只能觀察到幾個亮點，它們落在屏上位置是隨機分布的，如圖(a

)。由于每次電子打在屏上時總是出現一個亮點，所以電子總是“整個”地到達接收點，這顯示了電子的粒子性。1.電子雙縫干涉實驗

但隨著時間的推移，打到屏上的電子越來越多，漸漸顯現了與光的雙縫實驗相同的干涉圖樣,

如圖(b

),(c

),(d

)，而干涉現象是波動的主要特征，這顯示電子又是一種波動。圖12-13電子雙縫干涉實驗結果(d)(c)(b)(a)電子雙縫干涉實驗結果(1)入射強電子流(2)入射弱電子流

:底片上很快出現衍射圖樣，許多電子在同一個實驗中的統計結果.

:開始時點子無規分布，隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣，一個電子重復許多次相同實驗表現出的統計結果2.結論：

概率波的干涉結果根據玻恩概率波的觀點，干涉圖樣中強度大的明紋地方，就是到達那里的電子多，或者說，電子到達那里的概率較大。相反地，暗紋處就是到達那里的電子少,或者說,電子到達暗紋處的概率小。2)

波動性它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”“衍射”“偏振”現象不是經典的波不代表實在物理量的波動1)

粒子性它與物質相互作用的整體性與顆粒性不是經典的粒子沒有“軌道”概念3.正確理解微觀粒子的波粒二象性要描述微觀粒子的運動，應該用一個函數（波函數），它必須能把顆粒性與可疊加性統一起來！少女？老婦？兩種圖像不會同時出現在你的視覺中粒子,還是波動?3)對比子彈、水波和電子分別通過雙縫的理想實驗

費曼曾經設計了一個對比子彈、水波和電子分別通過雙縫的理想實驗，來說明微觀粒子與經典粒子和經典波的區別?

對比子彈、水波和電子通過雙縫的實驗裝置原理圖：關下縫，子彈通過上縫到達屏上，觀察到的子彈密度分布如曲線P1所示。反之,關上縫開下縫，得子彈密度分布曲線P2。將P1與P2疊加，得到曲線P1＋P2。

同時打開縫1和縫2，發射兩倍數目的子彈，最后得到的子彈數目分布曲線是曲線P3。顯然，曲線P3與P1+P2完全一樣，稱為“非相干疊加”。即主要表現了粒子性。

設想一下，對于水波的雙縫實驗，屏上觀察到的分布是否與子彈實驗結果一樣？

因為水波通過雙縫時被分為兩個相干的次波源，它們在空間將進行相干疊加，所以在屏上將呈現出雙縫干涉圖樣。

電子通過單狹縫后,當時間足夠長，屏上接收的電子數越來越多，其分布將形成有規律的單縫衍射圖樣。

同時打開雙縫，電子象子彈那樣，只能通過其中一條縫；但是，電子在接收屏上出現的結果卻顯示出了確定分布的波的干涉圖樣。

實驗結果表明：電子的行為既不等同于經典粒子，也不等同于經典波動，它兼有粒子和波動的某些特性，這就是波粒二象性。二、玻恩對波函數的統計詮釋

本身并無物理意義，而波函數的模的平方(波的強度)代表時刻

t、在空間

r

點處，單位體積元中微觀粒子出現的概率。——稱為“概率幅”，——稱為概率密度。1954年玻恩獲諾貝爾物理學獎。1.玻恩假定

為了定量地描述微觀粒子的狀態，量子力學中引入了波函數。波函數由來描述，它是時間和空間的復函數。在一般情況下，微觀粒子的波函數是復函數，它本身并不代表任何可觀測的物理量。

那么，波函數是如何描述微觀粒子運動狀態的？它和粒子在空間各處出現的概率有什么聯系？2.波函數應滿足的條件：(1)

自然條件：單值、有限、連續(2)

歸一化條件：粒子在空間各點的概率總和應為1，即(3)

狀態疊加原理：若體系具有一系列不同的可能狀態，

1，

2···

，則它們的線性組合

=C1

1+C2

2+···

也是該體系的一個可能的狀態。其中C1、C2···為任意復常數。

這里是的復共軛，將中的i變成–i即得到。在體積元dV=dxdydz中發現粒子的概率3.對電子雙縫衍射實驗的說明：

在電子雙縫干涉實驗中，用波函數和分別表示從縫1、縫2通過電子的狀態。兩縫同時開啟時，電子的波函數為根據玻恩統計假設，屏上發現電子的概率分布為只開縫1時電子出現的概率密度只開縫2時電子出現的概率密度兩縫同時打開時還有干涉項，正是產生雙縫干涉的原因

玻恩用概率解釋把微觀粒子的波動性和粒子性統一起來，他的統計詮釋可圓滿地解釋所遇到的實驗現象，玻恩的統計詮釋成為量子力學的一個基本假設。

波函數本身“測不到，看不見”，是一個很抽象的概念，但是它的模方給我們展示了粒子在空間分布的圖像，即粒子坐標的取值情況。當測量粒子的某一力學量的取值時，只要給定描述粒子狀態的波函數，按照量子力學給出的一套方法就可以預言一次測量可能測到哪個值，以及測到這個值的概率是多少。

對波恩的統計詮釋是有爭論的，愛因斯坦就反對統計詮釋。他不相信“上帝玩擲骰子游戲”，認為用波函數對物理實在的描述是不完備的，還有一個我們尚不了解的“隱參數”。雖然至今所有實驗都證實統計詮釋是正確的，但是這種關于量子力學根本問題的爭論不但推動了量子力學的發展，而且還為量子信息論等新興學科的誕生奠定了基礎。§12.4.4自由粒子波函數表達式為：

(x,y,z;t)它是由經典力學的波函數引申而來的。一維平面簡諧行波寫成復數形式將有考慮實物粒子的波粒二象性，有為與經典力學加以區別，

取代y，

0取代A三維空間一維空間運動的自由粒子波函數式中Y0代表歸一化常數，E是自由粒子的動能。在非相對論情況下式中m為粒子質量。因為自由粒子不受外力場作用，其動能就是總能量。

在量子力學中，設自由粒子以動量px

沿x

軸方向運動，其德布羅意波的波函數可以寫成類似經典平面波表達式的復數形式，只要把其中描述波動性的參量w

和k表示成描述粒子性的參量E和px就可以了。則自由粒子波函數可以寫成如下形式[例]

將波函數歸一化。計算積分得：則歸一化的波函數為:歸一化它解：設歸一化因子為

A，則波函數為3.分別以頻率為n1

和n2

的單色光照射某一光電管。n1>n2(均大于紅限頻率n0)；則當兩種頻率的入射光的光強相同時，所產生的光電子的最大初動能E1

E2；為阻止電子到達陽極，所加的遏制電壓|Uc1|

|Uc2|所產生的飽和光電流im1

im2。(填>或<或=)l4.以波長為2.0mm的光照射一銅球，銅球放出電子。若將銅球充電，問至少充到