空間向量及其加減運算AB用字母

等或者用有向線段的起點與終點字母表示．⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示；字母表示法：相等的向量：長度相等且方向相同的向量．ABCD

復習2平面向量的加減法與數乘運算（1）向量的加法：平行四邊形法則三角形法則

復習（2）向量的減法三角形法則3平面向量的加法運算律加法交換律：加法結合律：

復習平面向量概念加法減法運算運算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量的加法、減法運算空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結合律加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結合律成立嗎？ababab+OABbC空間向量的加減法abOABba結論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們平面向量概念加法減法運算運算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量的加法、減法運算空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結合律加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結合律成立嗎？abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+加法結合律（1）加法交換律：（2）加法結合律：abcabcabcabcabbc空間向量的加法、減法運算對空間向量的加法、減法的說明⒈空間向量的運算就是平面向量運算的推廣．⒉兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．⒊空間向量的加法運算可以推廣至若干個向量相加．

說明（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：

推廣（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：

推廣A’B’C’D’ABCDa平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱．平行四邊形ABCD平移向量a到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—

．

平行六面體ABCDA’B’C’D’例

例題解：ABCDA’B’C’D’

例題ABMCGD空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：

練習ABMCGD(2)原式

練習參考答案312空間向量的數乘運算———共線向量與共面向量平面向量概念加法減法數乘運算運算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數乘:a,為正數,負數,零加法交換律加法結合律數乘分配律加法交換律數乘分配律加法結合律類比思想數形結合思想數乘:a,為正數,負數,零回顧回顧aOBb結論：空間任意兩個向量都可平移到同一個平面內，成為同一平面內的向量ba一、空間向量數乘運算1實數與空間向量的乘積仍然是一個向量當時，當時，與向量方向相同；與向量方向相同；是零向量當時，（1）方向：（2）大小：的長度是的長度的倍2空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律問題：平面向量中，的充要條件是：存在唯一的實數，使能否推廣到空間向量中呢？零向量與任意向量共線二、共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作作用：由此可判斷空間中兩直線平行或三點共線問題共線向量定理:對空間任意兩個向量，。存在實數λ,使如圖，l為經過已知點A且平行已知非零向量的直線，a對空間任意一點O,所以即若在l上取則有①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量唯一決定由此可判斷空間任意三點共線。alABPO若點P是直線l上任意一點，則由知存在唯一的t,滿足①②因為所以特別的，當t=時，則有aABPO進一步，t1-tP點為A,B的中點練習1.對于空間任意一點O，下列命題正確的是：A.若，則P、A、B共線B.若，則P是AB的中點C.若，則P、A、B不共線D.若，則P、A、B共線A、B、P三點共線AOABP三、共面向量:1共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量既可能共面，也可能不共面dbac如果空間向量與兩不共線向量，共面，那么可將三個向量平移到同一平面，則有那么什么情況下三個向量共面呢？反過來，對空間任意兩個不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關系？C2共面向量定理：如果兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在實數對,y使推論:空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對,y,使C對空間任一點O,有填空：1--yyC③式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線的向量唯一確定③作用：由此可判斷空間任意四點共面P與A,B,C共面例1已知A、B、C三點不共線，對于平面ABC外的任一點O，確定在下列各條件下，點P是否與A、B、C一定共面？例2如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA、OB、OC、OD，在四條射線上分別取點E、F、G、H，并且使求證：⑴四點E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC

OBAHGFECD

共線向量

共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運用判斷三點共線，或兩直線平行判斷四點共線，或直線平行于平面小結共面1.回顧1.回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量b與非零向量a是否共線？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使b=λa

,稱平面向量共線定理.1.回顧2.必修④《平面向量》，平面向量的一個重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．1.回顧

例如:2空間向量的數乘運算2空間向量的數乘運算空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律FEDCBAOLAPB3.向量的平行與重合點P在直線L上點P在直線L上AMCGDB4.例題1已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的的值ABCDA1B1C1D14.例題1在正方體AC1中,點E是面AC’的中心,若，求實數,yABCDDCBAE4.例題2共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量OA5.共面向量

共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量P與向量共面的充要條件是存在實數對使

推論:空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對x,y使

OP=xAB+yAC或對空間任一點O,有

OP=OA+xAB+yAC已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，求證：1

四點E、F、G、H共面；2平面EG∥平面ACHGFEODCBA6.例題4ABMCGD空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：7.練習1ABMCGD(2)原式空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：7.練習1AB