第一章集合與常用邏輯用語141充分條件與必要條件我是湖南人情景引入我是湖南人充分的說明了我是中國人如果沒有水，魚兒就不能生存141充分條件與必要條件一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．強調判斷命題的兩個基本條件：①必須是一個陳述句；②可以判斷真假．思考下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（１）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（２）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（３）若2－４＋３＝０，則＝１；（４）若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b．真命題真命題假命題假命題1、4是真命題2、3是假命題條件p通過推理可以得出結論q條件p通過推理不能得出結論q若我是湖南人，則我是中國人。條件p：我是湖南人結論q：我是中國人探究一：充分條件真命題若我是湖南人，則有充分的理由說明我是中國人一般地，“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件（“若p則q”為假命題,記作p?q，就說p不是q的充分條件）（1）平行四邊形的對角線互相垂直，是這個平行四邊形是菱形的（）條件（2）兩個三角形的周長相等，是這兩個三角形全等的（）條件練習充分不充分p?qp?q我是湖南人，是我是中國人的充分條件。探究二：必要條件我是中國人，是我是湖南人的什么條件？條件p：我是中國人結論q：我是湖南人我是中國人是我是湖南人的必不可少條件我是中國人，是我是湖南人的必要條件。一般地，“若p則q”為真命題，由p可推出q，記作p?q，并且說q是p的必要條件，（“若p則q”為假命題記作p?q，并且說q不是p的必要條件）若沒有水則魚兒不能生存，只有水魚兒就能生存嗎？水是魚兒生存的必要條件魚兒能生存?有水3a∥b是平面內兩條直線a和b均垂直于直線l的（）條件4＝１是2－４＋３＝０的（）條件練習：填“必要”“不必要”必要不必要定義:“如果若p則q”為假命題是指由條件p不能推出結論q，記作pq此時，我們說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件定義:“如果若p則q”為真命題是指由p通過推理可以得出q,這時我們就說，由p可以推出q，記作并且說p是q的充分條件sufficientcondition,q是p的必要條件necessarycondition學習新知①認清條件和結論。②考察pq和qp的真假。①可先簡化命題。②否定一個命題只要舉出一個反例即可。1、判別步驟：2、判別技巧：判別充分條件與必要條件學習新知解：（1）這是一條平行四邊形的判定定理，所以p是q的充分條件。（2）這是一條相似三角形的判定定理，所以p是q的充分條件。（3）這是一條菱形的性質定理，所以p是q的充分條件。解：（4）由于所以p不是q的充分條件。（5）由等式的性質知，，所以p是q的充分條件。（6）為無理數，但為有理數，，所以p不是q的充分條件。思考：例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能給出不同的充分條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其充分條件。思考：你能說出幾個兩條直線平行的充分條件？一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件。解：（1）這是一條平行四邊形的性質定理，所以q是p的必要條件。（2）這是一條相似三角形的性質定理，所以q是p的必要條件。（3）如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形，，所以q不是p的必要條件。解：（4）顯然所以q不是p的必要條件。（5）由于，，所以q不是p的必要條件。（6）為無理數，但不全是無理數，，所以q不是p的必要條件。思考：例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出幾個其它的必要條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其必要條件。一般地，數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件。綜合應用：例3如圖,直線a與b被直線l所截,分別得到了∠1,∠2,∠3和∠4．請根據這些信息，寫出幾個“a∥b”的充分條件和必要條件．abl1234解：1“a∥b”的充分條件可以是：∠1=∠2；∠1=∠4；∠1∠3=180°2“a∥b”的必要條件可以是：∠1=∠2；∠1=∠4；∠1∠3=180°拓廣探索練習下面給出的選項中，≤2成立的充分條件有__________,必要條件有__________①<1②<2③≤2④<3⑤<4解：≤2成立的充分條件有①②③;≤2成立的必要條件有③④⑤

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的

p是q的必要條件？(1)若a+5是無理數，則a是無理數。(2)若(x-a)(x-b)=0，則x=a。解：命題12的逆命題都是真命題，所以命題12中的p是q的必要條件。分析：注意這里考慮的是命題中的p是q的必要條件所以應該分析下列命題的逆命題的真假性。練習：應用新知判斷下列命題的真假：

（1）=2是2–44=0的必要條件；

（2）ab≠0是a≠0的充分條件。真命題。練習：真命題：用符號“充分”或“必要”填空：（1）“0<x<5”是“x–2<3”的

條件。（2）“四邊形的對角線相等”是“這個平行四邊形為正方形”的

條件。（3）“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的

條件。（4）“個位數是5的整數”是“這個數能被5整除”的

條件。充分必要充分充分應用新知課本第20頁第1題課本第20頁第2題思考：若p?q，但q?p，稱p是q的條件，若q?p，但p?q，稱p是q的條件充分不必要必要不充分（3）“p?q，q?p”，（2）“pq，q?p”，（1）“p?q，qp”，（4）“pq，qp”，?/?/?/?/p是q充分不必要條件；p是q必要不充分條件；p是q充要條件p是q既不充分也不必要條件；推進新課:從集合角度看幾種邏輯推理關系：1)若AB且BA，則A是B的

.充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件4若A=B，則A是B的充要條件2)若AB且BA，則A是B的

.3)若AB且BA，則A是B的

.AB(1)BA(2)即學即練:必要不充分條件充分不必要條件充要條件充要條件例4：指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：（1）p：-1=0；q：-12=0（2）p：兩條直線平行；q：內錯角相等（3）p：a>b；q：a2>b2（4）p：四邊形的兩組對角分別相等；q：四邊形是平行四邊形應用新知p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分且必要條件，q是p的充分且必要條件p是q的既不充分也不必要條件，q是p的既不充分也不必要條件p是q的充分且必要條