資陽市2022-2023學年度高中二年級第一學期期末質量監測理科數學注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號填寫在答題卡上，并認真校準條形碼上的考號、姓名等信息，在規定的位置貼好條形碼。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區間隨機取一個數，則取到的滿足的概率為（）A． B． C． D．2．橢圓的焦點坐標為（）A． B． C． D．3．某公司有職工340人，其中男職工180人，用分層抽樣的方法從該公司全體職工中抽取一個容量為68的樣本，則此樣本中男職工人數為（）A．40 B．36 C．34 D．324．已知圓的圓心為，且與直線相切，則圓的方程是（）A． B．C． D．5．已知甲、乙兩位同學在一次射擊練習中各射靶10次，射中環數頻率分布如圖所示：令，分別表示甲、乙射中環數的均值；，分別表示甲、乙射中環數的方差，則（）A．， B．，C．， D．，6．已知過原點的直線與圓相交于A，B兩點，則的最小值為（）A．6 B． C． D．7．設為直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）A．133 B．85 C．70 D．509．“木桶效應”是一個有名的心理效應，是指木桶盛水量的多少，取決于構成木桶的最短木板的長度，而不取決于構成木桶的長木板的長度，常被用來寓意一個短處對于一個團隊或者一個人的影響程度．某同學認為，如果將該木桶斜放，發揮長板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水．根據該同學的說法，若有一個如圖①所示圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口的距離為2，若按圖②的方式盛水，木桶傾斜到與水平面成60°時，水面剛好與左邊缺口最低處M和右側桶口N齊平，并形成一個橢圓水面，且為橢圓的長軸，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．某四面體的三視圖如右圖所示（3個三角形都是直角邊為1的等腰直角三角形），則該四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任一點，點的坐標為，則的最大值為（）A． B．5 C．10 D．1112．如圖，已知正方體的棱長為2，點是四邊形的內切圓上一點，為四邊形的中心，則的最大值為（）A．5 B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定是________．14．如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面邊長為2，側棱長為4，則與側面所成角的正弦值為________．15．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優美、和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次數/分鐘）與氣溫（單位：）有較強的線性相關關系．某同學在當地通過觀測，得到如下數據，并利用最小二乘法建立了關于的線性回歸方程．當蟋蟀每分鐘鳴叫52次時，該地當時的氣溫預報值為________．（次數/分鐘）243640602628.63035.416．已知曲線的方程是，給出下列四個結論：①曲線與坐標軸至少有一個公共點；②曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；③若點P，Q在曲線上，則無最大值；④曲線圍成圖形的面積為．其中，所有正確結論的序號是________．三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知．（1）求證：是關于的方程有解的一個充分條件；（2）當時，求關于x的方程有一個正根和一個負根的充要條件．18．（12分）某中學為了解高中一年級學生對《生涯規劃》讀本學習情況，在該年級1500名學生中隨機抽取了40名學生作為樣本，對他們一周內對《生涯規劃》讀本學習時間進行調查，經統計，這些時間全部介于10至60（單位：分鐘）之間．現將數據分組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了研究的方便，該年級規定，若一周學習《生涯規劃》讀本時間多于50分鐘的學生稱為“精生涯生”，若一周學習《生涯規劃》讀本時間小于20分鐘的學生稱為“泛生涯生”．（1）求圖中a的值，并估計該年級學生一周內對《生涯規劃》讀本學習時間的均值；（2）用樣本估計總體，估計該年級“精生涯生”和“泛生涯生”的數量各為多少人？（3）從樣本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任選2名學生，求這兩名學生一周內對《生涯規劃》讀本學習時間的差不超過10分鐘的概率．19．（12分）已知的圓心為坐標原點，上的點到直線的距離的最小值為1．（1）求的方程；（2）過點作的兩條切線，切點分別為A，B．求直線的方程．20．（12分）如圖，四棱錐，平面，為等邊三角形，，B，D位于的異側，．（1）若，求證：平面平面；（2）若二面角的余弦為，求的長．21．（12分）如圖，多面體是將一個平行六面體截去三棱錐后剩下的幾何體，點為三角形的重心．四邊形是邊長為1的正方形，且，．（1）求證：；（2）求線段的長；（3）求異面直線與所成角的余弦值．22．（12分）已知橢圓經過三點，，中的兩點．（1）求的方程；（2）過的右焦點的直線與交于兩點，在直線上是否存在一點，使得是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．資陽市2022-2023學年度高中二年級第一學期期末質量監測理科數學參考答案和評分意見評分說明：1．本解答給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制定相應的評分細則。2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。4．只給整數分。選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。1－5：BCBAD；6-10：DCBCA；11－12：DC二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（或填）14．15．3316．②③三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）（1）當時，，顯然有解，故結論得證．（2）當，是開口向上的二次函數，因為方程有一個正根和一個負根，所以，即．反之，當時，，且，所以有一個正根和一個負根，滿足條件．所以，當，方程有一個正根和一個負根的充要條件為．18．（12分）（1）由直方圖可得，解得；由直方圖可得樣本均值為：，所以，該年級學生一周內對《生涯規劃》讀本學習時間的均值為34.5．（2）由頻率分布直方圖可知，樣本“精生涯生”的頻率為0.1，所以估計該年級學生中“精生涯生”的數量為（人），該年級學生中“泛生涯生”的數量為（人）．（3）在這40名學生樣本中有2名“泛生涯生”，分別記為，；有4名“精生涯生”，分別記為，，，．從這6人中選取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個．這兩名學生一周學習《生涯規劃》的學習時間差不超過10分鐘所含的基本事件為，，，，，，共7個，故所求概率．19．（12分）（1）由題，的圓心到直線距離為，設的半徑為，則上的點到直線距離的最小值為，由，解得，所以，的方程為．（2）方法1：設切點，，由題知，切線，斜率存在，且均不為0，直線的斜率為，則切線斜率為，所以，切線方程為，化簡得，切線的方程為：，同理，切線的方程為：，由于切線，均過點，所以，，，所以，切點，在直線上，所以，直線的方程為．方法2：設切點，，經過切點A，B的直線可以看作是以為直徑的圓與的公共弦所在的直線．以為直徑的圓的圓心為，又，則以為直徑的圓的半徑為，所以，以為直徑的圓的方程為：，即，與的方程聯立，得到，所以，直線的方程為．20．（12分）（1）證明：因為，所以四邊形為平行四邊形，又為等邊三角形，可得，四邊形為菱形，所以，因為平面，所以，所以平面，又平面，所以，平面平面．（2）取的中點，易知兩兩垂直，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系．設的長度為，則，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向量為，由，解得，即滿足題意．21．（12分）由題，設，則，．所以．（1）證明：因為，所以，所以．（2）可得，，所以，線段的長為．（3）設異面直線與所成的角為，因為，，所以，，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為．【說明】本題也可以建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算解決．參考上述解答評分．22．（12分）（1）方法1：根據橢圓的對稱性，橢圓只能經過和這兩點，則，，此時，橢圓的方程為．方法2：若經過，，則，且，此時無解；若經過，，則，且，此時，與橢圓這一條件不符，不合題意；若經過，，則，，此時，橢圓的方程為．（2）假設在直線上存在點，使得是以為斜邊的等腰直角三角形．①當的斜率不存在時，只有當點為，才滿足以為底邊的等腰三角形，此時不妨取，，顯然與不垂直，則不是等腰直角三角形．此時，不