/專題12一元一次方程實際應用【思維導圖】一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．備注：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；（2）“設”就是設未知數，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數；（3）“列”就是列方程，即列代數式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統一；（4）“解”就是解方程，求出未知數的值．（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．◎考點題型1配套問題例．（2022·四川廣元·七年級期末）有一所寄宿制學校，開學安排宿舍時，如果每間宿舍安排住4人，就會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排住3人，就有100人沒床位，那么在學校住宿的學生有多少人？設在學校住宿的學生有x人，根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據宿舍間數一定即可列出方程．【詳解】解：根據題意得：故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，理解題意，找準等量關系，列出方程是解決本題的關鍵．變式1．（2022·福建三明·模擬預測）用200張彩紙制作圓柱，每張彩紙可制作圓柱側面20個或底面60個，一個圓柱側面與兩個底面組成一個圓柱．為使制作的圓柱側面和底面正好配套，設把x張彩紙制作圓柱側面，則方程可列為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設把x張彩紙制作圓柱側面，則有（200-x）張紙作圓柱底面，根據題意可得：，故選：D．【點睛】題目主要考查一元一次方程的應用，理解題意，列出方程是解題關鍵．變式2．（2022·遼寧阜新·七年級期末）某服裝廠要生產同一種型號的服裝，已知3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．(1)列一元一次方程解決問題：現庫內存有布料200m，應如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產多少套衣服？(2)如果恰好有這種布料327m，最多可以生產多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？【答案】(1)用120米布做上衣，80米布做褲子才能恰好配套，可以生產80套衣服(2)布料327m，最多可以生產130套衣服，余料可以做1件上衣或2條褲子【解析】【分析】（1）設做上衣的布料用x米，則做褲子的布料用

(200-x)米，根據3米長的某種布料可做上衣2

件或褲子3條，得出做上衣與褲子所用的布料關

系，進而得出方程求解即可；（2）由已知先求出一套衣服用料2.5米，用327÷2.5＝130...2，再根據本著不浪費的原則

可以得出結論．(1)解：設做上衣用x米布，則做褲子用（200-x）米布，依題意有：，解得：x=120，則：200-x=80，答：用120米布做上衣，80米布做褲子才能恰好配套，可以生產80套衣服．(2)∵做一件上衣用米布，做一條褲子用1米布，∴一套服裝用2.5米布，3272.5=130剩余2米布，∴布料327米，最多可以生產130套衣服，余料可以做1件上衣或2條褲子．【點睛】本題主要考查的是一元一次方程應用題中的配套問題，根據題意列出對應的方程是解題的關鍵．變式3．（2021·山東煙臺·期末）列方程解應用題某啤酒公司的啤酒車間先將散裝啤酒灌裝成瓶裝啤酒，再將瓶裝啤酒裝箱出車間．該車間有灌裝、裝箱生產線共21條，每條灌裝生產線每小時裝350瓶，每條裝箱生產線每小時裝450瓶．某日，生產前車間內已有未裝箱的瓶裝啤酒5200瓶，8:00開始，車間內的生產線全部投入生產．(1)若當日到10:00時，該車間內未裝箱的瓶裝啤酒達到5500瓶.設灌裝生產線有x條，當日到10:00時，灌裝生產線共裝多少瓶啤酒（用含x的代數式表示）？該車間內灌裝生產線有多少條？(2)若該日車間工作8小時，灌裝生產線設計多少條時？該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱？【答案】(1)灌裝生產線共裝（350×2x）瓶啤酒，灌裝生產線有12條；(2)灌裝生產線設計13條時，該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱．【解析】【分析】（1）灌裝生產線2小時共裝（350×2x）瓶啤酒，根據題意列一元一次方程，求解即可；（2）設灌裝生產線設計y條時，該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱，根據題意列一元一次方程，求解即可．(1)解：當日到10:00時，灌裝生產線共裝（350×2x）瓶啤酒，根據題意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解這個方程，得：x=12答：灌裝生產線共裝（350×2x）瓶啤酒，灌裝生產線有12條；(2)解：設灌裝生產線設計y條時，該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱，根據題意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解這個方程，得：y=11．答：灌裝生產線設計11條時，該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．◎考點題型2工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．例．（2022·山東濟寧·七年級期末）一項工程由甲工程隊單獨完成需要12天，由乙工程隊單獨完成需要16天．甲工程隊單獨施工5天后，為加快工程進度，又抽調乙工程隊加入該工程施工，問還需多少天可以完成該工程？如果設還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設還需x天可以完成該工程，該工程為單位1，根據題意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=單位1，據此列方程．【詳解】解：設還需x天可以完成該工程，由題意得，．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．變式1．（2022·福建三明·七年級期末）某車間原計劃用15小時生產一批零件，實際每小時多生產了10件，用了13小時不但完成了任務，而且還多生產了80件，設原計劃每小時生產個零件，那么下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據題意可得等量關系用了13小時不但完成了任務，而且還多生產了80件列出方程解答即可．【詳解】解：設原計劃每小時生產x個零件，依題意可得：13（x+10）=15x+80，故選：D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，然后再列出方程．變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）整理一批快遞，如果由一個人單獨做要用20小時，現先安排一部分人用1小時整理，隨后又增加4人和他們一起做了2小時，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么應先安排多少人整理這批快遞？【答案】應先安排4人整理這批快遞【解析】【分析】設應先安排x人整理這批快遞，根據等量關系式：開始x人1小時的工作量+后來（x+4）人2小時的工作量=1，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設應先安排x人整理這批快遞，依題意得：解得，

答：應先安排4人整理這批快遞．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．此題用到的公式是：工作效率×工作時間=工作量．變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習）在防疫政策的指導下，疫情得到了全面控制某醫療器械廠計劃在規定時間內完成一批防護服的生產任務，如果每天生產防護服300套，那么就比原計劃生產任務少生產100套；如果每天生產350套，那么可提前一天完成任務，并且還超過原計劃生產任務50套，求這批防護服原計劃生產任務是多少？【答案】3100套【解析】【分析】設這批防護服原計劃生產任為x套，根據完成的時間關系列出等量關系式即可．【詳解】解：設這批防護服原計劃生產任為x套，依題意得：，解得：x＝3100，答：這批防護服原計劃生產任為3100套．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，解答的關鍵是理解清楚題意找到等量關系．◎考點題型3銷售盈虧問題（1）(2)標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)(3)實際售價＝標價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．例．（2022·河北保定·七年級期末）一件上衣標價為225元，若以標價的八折（即標價的80%）出售，仍可獲利20%，則該件上衣的進價為（

）元．A．140 B．150 C．160 D．180【答案】B【解析】【分析】設這件上衣的進價為x元，根據利潤=銷售價格-進價，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設這件上衣的進價為x元，依題意，得：225×0.8-x=20%x，解得：x=150．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式1．（2022·廣東·汕頭市金平區金園實驗中學七年級期末）某商店以120元一件購進一批上衣，提價25%后出售，以8折售出，則在這次買賣中每件上衣（

）A．賺了5元 B．賺了13元 C．賠了9元 D．不賠不賺【答案】D【解析】【分析】根據公式計算出打折后的售價，與進價進行比較，即可判斷．【詳解】售價：（元）利潤：120-120=0（元）所以不賠不賺，故選D．【點睛】本題考查了打折銷售的應用題，計算出售價是本題的關鍵．變式2．（2022·河南駐馬店·七年級期末）某超市用4900元購進甲、乙兩種商品，且購買乙種商品的數量比甲種商品數量的2倍還多10件．甲、乙兩種商品的進價和標價如表：甲乙進價（元/件）3422標價（元/件）5035(1)該超市購進甲、乙兩種商品各多少件？(2)若甲商品打9折銷售，乙商品打8折銷售，這批商品全部售完可獲利多少元？【答案】(1)該超市購進甲種商品60件，購進乙種商品130件(2)這批商品全部售完可獲利1440元【解析】【分析】（1）設該超市購進甲種商品x件，則購進乙種商品（2x+10）件，根據總價=單價×數量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．（2）利用總利潤=每件的銷售利潤×銷售數量，即可求出結論．（1）設該超市購進甲種商品x件，則購進乙種商品（2x+10）件，依題意得：22（2x+10）+34x＝4900，解得：x＝60．2×60+10＝130，答：該超市購進甲種商品60件，購進乙種商品130件；（2）（50×0.9﹣34）×60+（35×0.8﹣22）×130＝11×60+6×130＝1440（元）．答：這批商品全部售完可獲利1440元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）利用總利潤=每件的銷售利潤×銷售數量，求出總利潤．變式3．（2022·廣東·汕頭市金平區金園實驗中學七年級期末）某市兩超市在元旦節期間分別推出如下促銷方式：甲超市：全場均按八八折優惠；乙超市：購物不超過200元，不給于優惠；超過了200元而不超過500元一律打九折；超過500元時，其中的500元打九折，超過500元的部分打八折；已知兩家超市相同商品的標價都一樣．(1)當一次性購物總額是400元時，甲、乙兩家超市實付款分別是多少？(2)某顧客在乙超市購物實際付款482元，試問該顧客的選擇劃算嗎？試說明理由．【答案】(1)甲超市實付款是352元、乙超市實付款是360元(2)該顧客的選擇不劃算【解析】【分析】（1）根據甲乙兩超市的促銷方式代入計算即可；（2）根據計算可得該顧客原購物金額超過500元，設原購物金額為未知數，根據乙超市的促銷方式列方程即可求得，再將求出的金額用甲超市促銷方式進行計算后比較，即可判斷．（1）解：由題意可知，一次性購物總額是400元時：甲超市實付款：400×0.88=352（元），乙超市實付款：400×0.9=360（元），答：甲超市實付款是352元、乙超市實付款是360元．（2）解：∵500×0.9=450（元），450＜482，∴該顧客購物實際金額多于500元，設該顧客購物金額為y元，由題意得：500×0.9+0.8（y-500）=482，解得：y=540，若顧客在甲超市購物，則實際付款金額為：540×0.88=475.2元，475.2元＜482元，答：該顧客的選擇不劃算．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，為常見基礎題型，在做題時要把握清楚題目中描述的促銷方式．◎考點題型4比賽積分問題例．（2022·陜西咸陽·七年級期末）某校舉辦班級籃球比賽，每場比賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．如果七年級（1）班在8場比賽中共得13分，設獲勝的場數是x場，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據題意，找出等量關系式：勝場分數+負場分數=13，列出方程，得出結論．【詳解】解：等量關系式：勝場分數+負場分數=13，由題意，得，故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的實際問題，根據題意找到等量關系式是解決問題的關鍵．變式1．（2021·河南安陽·七年級開學考試）在一次數學搶答競賽中，共有20道題，規定每答對一道得10分、答錯一道扣5分，奮斗組最后得分是155分．那么，奮斗組共答錯了（

）道題A．3 B．6 C．9 D．17【答案】A【解析】【分析】設答錯x道，則答對(20-x)道，列出方程-5x+10(20-x)=155求解即可．【詳解】解：設答錯x道，則答對(20-x)道，由題意可得：-5x+10(20-x)=155，解得x=3，故奮斗組在這次比賽中共答錯3道題，故選：A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是找到等量關系，列出等式．變式2．（2022·新疆克拉瑪依·七年級期末）利用二元一次方程組解應用題：為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數．【答案】該隊獲勝7場【解析】【分析】設該隊獲勝x場，則平（11?x）場，利用總得分＝3×獲勝場次數＋1×平的場次數，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設該隊獲勝x場，則平（11?x）場，依題意得：3x＋（11?x）＝25，解得：x＝7，∴11?x＝11?7＝4，答：該隊獲勝7場．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式3．（2022·浙江紹興·八年級期末）為增強同學們垃圾分類意識，某學校舉行了垃圾分類知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．(1)若某參賽同學只有1道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學一共答對了多少道題？(2)若規定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評為“垃圾分類小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“垃圾分類小達人”？【答案】(1)該參賽同學一共答對了22道題(2)參賽者至少需答對23道題才能被評為“垃圾分類小達人”【解析】【分析】（1）設該參賽同學一共答對了x道題，根據題意列出相應的方程，然后求解即可；（2）設參賽者需答對a道題才能被評為“垃圾分類小達人”，根據題意列出不等式，然后求解即可．（1）解：設該參賽同學一共答對了x道題，則答錯了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道題，由題意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：該參賽同學一共答對了22道題；（2）解：設參賽者需答對a道題才能被評為“垃圾分類小達人”，由題意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：參賽者至少需答對23道題才能被評為“垃圾分類小達人”．【點睛】本題考查一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用，詳解本題的關鍵是明確題意，寫出相應的方程和不等式．◎考點題型5方案選擇問題選擇設計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優劣性后下結論．例．（2021·江蘇蘇州·七年級期末）商店將標價為6元的筆記本，采用如下方式進行促銷；若購買不超過3本，則按原價付款；若一次性購買3本以上，則超過的部分打七折．小明有54元錢，他購買筆記本的數量是（）A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本【答案】C【解析】【分析】易得54元可購買的商品一定超過了3本，關系式為：3×原價+超過3本的本數×打折后的價格≤54，把相關數值代入計算求得最大的正整數解即可．【詳解】解答：解：設他購買筆記本的數量是x本，依題意有3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54，解得x≤．故他購買筆記本的數量是最多11本．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出一元一次方程不等式即可．變式1．（2022·云南文山·七年級期末）某班參加“3.12”植樹活動，若每人植棵樹，則余棵樹；若每人植棵樹，則差棵樹，求該班有多少名學生？若設該班有名學生，則可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據題意找出等量關系列出方程即可得到答案.【詳解】解：∵若每人植2棵樹，則余21棵樹；若每人植3棵樹，則差24棵樹∴2x+21=3x-24故選D.【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵在于能夠根據題意準確找到等量關系求解.變式2．（2022·山東濰坊·八年級期末）某校開展校園藝術節系列活動，派小明到文體超市購買若干個文具袋作為獎品．這種文具袋標價每個10元，請認真閱讀結賬時老板與小明的對話：(1)結合兩人的對話內容，求小明原計劃購買文具袋多少個？(2)學校決定，再次購買鋼筆和簽字筆共60支作為補充獎品，兩次購買獎品總支出不超過500元．其中鋼筆標價每支10元，簽字筆標價每支6元，經過溝通，這次老板給予8折優惠，那么小明最多可購買鋼筆多少支？【答案】(1)17個(2)18支【解析】【分析】（1）設小明原計劃購買文具袋x個，則實際購買文具袋(x+1)個，根據實際打折后比原計劃少花17元，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）設小明購買m支鋼筆，則購買(60－m)支簽字筆，利用總價=單價×數量，結合兩次購買獎品總支出不超過500元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數值即可得出結論．（1）解：設小明原計劃購買文具袋x個，則實際購買了（）個，依題意得：，解得：．答：小明原計劃購買文具袋17個．故答案為：17個（2）解：設小明購買鋼筆m支，則購買簽字筆（）支，依題意得：，解得：，∵m是正整數，∴m最大值為18．答：小明最多可購買鋼筆18支．故答案為：18支【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．變式3．（2022·湖北孝感·七年級期末）一種商品按銷售量分三部分制定銷售單價，如下表：銷售量單價不超過100件的部分3元/件超過100件不超過200件的部分2.5元/件超過200件的部分2元/件如購買120件這種商品，則需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）(1)求購買100件、200件和260件這種商品，分別需要多少元？(2)某人購買這種商品花了400元，求他購買了這種商品多少件？(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好購買了件這種商品，求n的值．【答案】(1)購買100件需要300元，購買200件需要550元，購買260件需要670元(2)他購買了這種商品140件(3)650【解析】【分析】（1）根據總價＝單價×數量結合表格中的數據，即可求出分別購買100件、200件、260件時花費的總錢數；（2）設他購買了這種商品x件，由可得出，根據300＋（購買件數?100）×2.5＝總錢數（400元），即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（3）分、及三種情況，列出關于n的一元一次方程，解之即可得出結論；(1)解：購買100件商品需：（元），購買200件商品需：（元），購買260件商品需：（元）；(2)設他購買了這種商品x件，因為，所以，依題意有：，解之得：，故他購買了這種商品140件；(3)若，則，解之得：，因為n＞0，此種情況不合題意，舍去，若，則，解之得：，因為，所以此種情況不合題意，舍去，若，則，解之得：，綜上所述，．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．判斷購買商品所在的范圍，并能根據不同的范圍計算花費是解決本題的關鍵．◎考點題型6數字問題已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a．例．（2022·四川眉山·七年級期末）如圖，三階幻方中每行、每列及每條對角線上的各數和都相等，則t的值為（

）A．18 B．16 C．12 D．10【答案】A【解析】【分析】根據三階幻方的特點，可得三階幻方的和，根據三階幻方的和，根據有理數的加法，可得答案．【詳解】根據題意得9+t+12=12+11+16，解得t=18．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，解決此題的關鍵利用三階幻方的特點列出方程．變式1．（2022·浙江湖州·七年級期末）數學魔術：魔術師請觀眾心想一個數，然后將這個數按以下步驟操作：魔術師能立刻說出觀眾想的那個數．小玲告訴魔術師的數是2，那么她心里想的數是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設這個數為x，根據程序列出關于x的方程，解方程即可．【詳解】解：設這個數為x，則根據題意可得：，解得：，即她心里想的數是-3，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據題意列出關于x的方程，是解題的關鍵．變式2．（2022·河北·石家莊市第二十八中學二模）數軸上有不同兩點、，點A表示的數是：2+3．

點B表示的數是：3-2．(1)若點表示的數是-1，求點表示的數；(2)若點在點的左側，求的取值范圍．【答案】(1)點B表示的數是-8(2)當x＜5時，點在點A的左側【解析】【分析】（1）根據點A表示的數，列一元一次方程，解方程求出x的值，然后求代數式的值即可；（2）根據點在點A的左側，列不等式3-2＜2+3，然后解不等式即可．(1)解：∵點A表示的數是-1，∴2+3=-1，解得x=-2,當x=-2時，3-2=3×（-2）-2=-6-2=-8，∴點B表示的數是-8；(2)解：∵點在點A的左側，∴3-2＜2+3，移項得3x-2x＜3+2，合并得x＜5，∴當x＜5時，點在點A的左側．【點睛】本題考查數軸上點表示數，一元一次方程，一元一次不等式，掌握數軸上點表示數的大小與位置關系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解題關鍵．變式3．（2022·江蘇·七年級專題練習）已知一列數2，0，﹣1．﹣．(1)求最大的數和最小的數的差；(2)若再添上一個有理數m，使得五個有理數的和為0，求m的值．【答案】(1)3；(2)m=-．【解析】【分析】（1）首先得出最大數和最小數，進而得出答案；（2）根據題意列出方程，解方程即可求解．(1)解：∵最大的數是2，最小的數是-1，∴最大的數與最小的數之差為2-（-1）=2+1=3；(2)解：根據題意得：2+0+(-1)+(-)+m=0，解得：m=-．【點睛】本題考查有理數的運算，一元一次方程的應用；熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解本題的關鍵．◎考點題型7幾何問題例．（2022·河南許昌·七年級期末）在如圖所示的數軸上，，A、B兩點對應的實數分別是和-1，則點C所對應的實數是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設點所對應的實數是，根據和數軸的性質建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設點所對應的實數是，由題意得：，解得，故選：D．【點睛】本題考查了實數與數軸、一元一次方程的應用，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．變式1．（2022·遼寧大連·七年級期末）一個長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個正方形，則這個長方形的面積是（

）A．48 B．45 C．40 D．33【答案】B【解析】【分析】設這個長方形的長為xcm，寬為（14-x）cm．則根據題意列出方程組，解可得到長方形的長，進而得到正方形的邊長，再計算面積即可．【詳解】解：設這個長方形的長為xcm，寬為（-x）cm，即（14-x)cm，依題意得：x-1=14-x+3，解得x=9．所以-x=14-9=5（cm），故該長方形的面積=9×5=45（cm2）．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．變式2．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，有甲、乙兩個容器，甲容器盛滿水，乙容器里沒有水，現將甲容器中的水全部倒入乙容器，問：水會不會溢出？如果不會溢出，請你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水會溢出，請你說明理由．（容器壁厚度忽略不計，圖中數據的單位：cm）【答案】水不會溢出，理由見解析【解析】【分析】根據兩個圓柱體的體積進行計算即可解答本題．【詳解】解：水不會溢出．設甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，由題意，得，解得，所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，因為，所以水不會溢出．【點睛】本題考查圓柱體的體積，有理數的運算，關鍵是分別求出兩個圓柱體的體積進行比較，然后再根據體積相等進行計算．變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習）用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形，若該長方形的長比寬多2米，長方形的長、寬各為多少？【答案】長是3.5米，寬是1.5米【解析】【分析】設長方形的寬為x米，則長為（x＋2）米．根據題意列一元一次方程,求出x的值即可求出長、寬的值．【詳解】設長方形的寬為x米，則長為（x＋2）米．由題意可列出方程，，解得x=1.5，則x+2=3.5．答：這個長方形的長是3.5米，寬是1.5米．【點睛】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確的列方程是解題的關鍵．◎考點題型8和差倍分問題（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現有量＝原有量+增長量，現有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．例．（2022·黑龍江黑河·七年級期末）遜克縣中小學校的第二課堂活動開展的有聲有色．某校合唱團30人，舞蹈隊20人要共同外出表演，現根據演出需要，從舞蹈隊中抽調了部分同學參加合唱團，使合唱團的人數恰好是舞蹈隊人數的4倍．設從舞蹈隊中抽調了x人參加合唱團，可列方程為（

）．A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）【答案】B【解析】【分析】設從舞蹈隊中抽調了x人參加合唱團，根據“合唱團的人數恰好是舞蹈隊人數的4倍”列出一元一次方程即可求解．【詳解】解：設從舞蹈隊中抽調了x人參加合唱團，根據題意得，30＋x＝4（20﹣x），故選B.【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找到等量關系列出方程是解題的關鍵．變式1．（2022·重慶市第七中學校七年級期中）學校在舉辦“讀書月”的活動中，將一些圖書分給了七年級一班的學生閱讀，如果每人分2本，則剩余15本；如果每人分3本，則還缺20本．若設該校七年級一班有學生人，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據“每人分2本，則剩余15本；如果每人分3本，則還缺20本”列出一元一次方程即可．【詳解】解：∵該校七年級一班有學生人，∴由題意可知，根據圖書總數相等，列出方程：，故選：A．【點睛】本題考查列一元一次方程，讀懂題目意思是解答本題的關鍵．變式2．（2022·河南鄭州·七年級期末）某校組織七年級（）班學生分成甲、乙兩隊參加社會勞動實踐，其中甲隊人數是乙隊人數的倍，后因勞動需要，從甲隊抽調人支援乙隊，這時甲隊人數是乙隊人數的一半，則甲、乙兩隊原來各有多少人？【答案】甲隊有人，乙隊有人【解析】【分析】設乙隊有人，則甲隊有人，根據“從甲隊抽調人支援乙隊，這時甲隊人數是乙隊人數的一半”列方程求解即可．【詳解】解：設乙隊有人，則甲隊有人，根據題意的，得：，解得：，所以，答：甲隊有人，乙隊有人．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，列出一元一次方程是解題的關鍵．變式3．（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）請根據圖中提供的信息，回答下列問題：(1)分別求每個水瓶和每個水杯的錢數．(2)王老師購買了6個水瓶和20個水杯，商家打八折，求王老師花的錢數．【答案】(1)一個水瓶40元，一個水杯是8元(2)王老師花的錢為320元【解析】【分析】（1）設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48-x）元，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果；（2）直接列式即可計算出費用．(1)設一個水瓶x元，表示出一個水杯為（48﹣x）元，根據題意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，答：一個水瓶40元，一個水杯是8元；(2)由題意得：（元）．答：王老師花的錢為320元．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，根據題意得出正確的等量關系是解題關鍵．◎考點題型9電費水費問題例．（2022·云南文山·七年級期末）為鼓勵居民節約用水，某市對居民用水實行“階梯收費”，規定每戶每月用水量不超過10噸，水價為每噸2元；超過10噸的部分每噸3.5元．已知小莉家某月交水費34元，則小莉家該月用水多少噸？若設小莉家該月用水x噸，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設小莉家該月用水x噸，根據水費的計算方法，每戶每月用水量不超過10噸，水價為每噸2元，超過10噸的部分每噸3.5元，將x噸水分為兩部分，10噸和超過10噸的部分，分別算出水費相加，列出關于x的方程即可．【詳解】解：設小莉家該月用水x噸，根據題意得：，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據題意找出等量關系，是解題的關鍵．變式1．（2022·山東·濰坊市寒亭區教學研究室二模）濰坊出租車采用階梯式的計價收費辦法如下表：行駛里程計費方法不超過3公里起步價8元超過3公里且不超過7公里的部分每公里按標準租費收費超過7公里且不超過25公里的部分每公里再加收標準租費的50%超過25公里且不超過100公里的部分每公里再加收標準租費的75%超過100公里的部分每公里再加收標準租費的100%說明：行駛里程不足1公里，按1公里計算；行駛里程超過3公里時的標準租費為1.8元/公里．若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【解析】【分析】設行駛里程為x公里，乘車費用為26元．根據題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設行駛里程為x公里，乘車費用為26元．若，根據題意得，不成立．若，根據題意得．解得（舍）．若，根據題意得．解得．若，根據題意得．解得（舍）．若時，根據題意得．解得（舍）．∴若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為11公里．故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，熟練掌握該知識點是解題關鍵．變式2．（2022·江蘇·七年級專題練習）某市收取水費按以下規定：若每月每戶不超過20立方米，則每立方米水價按1.2元收費；若超過20立方米，則超過部分按每立方米2元收費，那么(1)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x≤20，則所交水費為；(2)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x＞20，則所交水費為元；(3)如果某戶居民在某月所交水費的平均水價為每立方米1.5元，設這戶居民這個月共用了x立方米的水，請寫出x的范圍，并列出方程．【答案】(1)1.2x(2)（2x﹣16）元(3)x＞20，20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x【解析】【分析】（1）根據“若每月每戶不超過20立方米，則每立方米水價按1.2元收費”即可得出答案；．（2）根據題意列出代數式，化簡即可得出答案；（3）根據“平均水價為每立方米1.5元”可知，用水量x＞20，根據題意列出方程即可得出結果（1）由題意得：x≤20時，所交水費為1.2x元，故答案為：1.2x；（2）由題意得：x＞20時，所交水費：20×1.2+2（x﹣20）＝（2x﹣16）元；故答案為：（2x﹣16）（3）由題意可得：x＞20，設這一月共用水x立方米，根據題意得：20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x，化簡可得2x﹣16＝1.5x，解得：x＝32．即他這一個月共用了32立方米的水．【點睛】本題考查代數式、一元一次方程，根據題意列出方程是解題的關鍵．變式3．（2022·浙江寧波·七年級期末）一家電信公司推出兩種移動電話計費方法，如下表所示：計費方法A計費方法B每月基本服務費（元/月）58元88元每月免費通話時間（分）150分350分超出后每分鐘收費（元/分）0.25元0.20元(1)若月通話時間是3小時，則使用計費方法A的用戶話費為_______元，使用計費方法B的用戶話費為_______元；(2)若月通話時間是x分鐘（x>350），則按A、B兩種計費方法的用戶話費分別是多少？（用含x的代數式表示）(3)當通話時間為多長時，按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等？【答案】(1)65.5；88(2)按計費方法A的用戶話費為（0.25x+20.5）元，按計費方法B的用戶話費為（0.2x+18）元；(3)270分鐘【解析】【分析】（1）利用使用計費方法A的用戶話費=58+0.25×超過150分的時間，可求出使用計費方法A的用戶話費；由3小時=180分<350分，可得出使用計費方法B的用戶話費為88元；（2）利用按計費方法A的用戶話費=58+0.25×超過150分的時間，即可用含x的代數式表示出按計費方法A的用戶話費；利用按計費方法B的用戶話費=88+0.2×超過350分的時間，即可用含x的代數式表示出按計費方法B的用戶話費；（3）設當通話時間為y分鐘時，然后分150<y≤350及y>350兩種情況考慮，根據按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論．(1)解：依題意得：使用計費方法A的用戶話費為58+0.25×（60×3-150）=65.5元，3小時=180分<350分，所以使用計費方法B的用戶話費為88元．故答案為：65.5；88(2)解：依題意得：按計費方法A的用戶話費為58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，按計費方法B的用戶話費為88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；(3)解：設當通話時間為y分鐘時，按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等．若150<y≤350，58+0.25（y-150）=88，解得：y=270；若y>350，0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合題意，舍去）．答：當通話時間為270分鐘時，按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數式，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，列式計算；（2）根據各數量之間的關系，用含x的代數式表示出各數量；（3）找準等量關系，正確列出一元一次方程．◎考點題型10行程問題（1）三個基本量間的關系：路程=速度×時間（2）基本類型有：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．例．（2021·湖北黃石·七年級期末）汽車以72千米/時的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷多遠？已知空氣中聲音的轉播速度約為340米/秒．設按喇叭時，汽車離山谷x米，根據題意，可列出方程為（）A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340【答案】C【解析】【分析】設聽到回響時，汽車離山谷x米，首先理解題意找出題中存在的等量關系：汽車離山谷距離的2倍+汽車前進的距離=聲音傳播的距離，根據等量關系列方程即可．【詳解】解：設汽車離山谷x米，則汽車離山谷距離的2倍即2x，因為汽車的速度是72千米/時即20米/秒，則汽車前進的距離為：4×20米/秒，聲音傳播的距離為：4×340米/秒，根據等量關系列方程得：2x+4×20=4×340，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關鍵是找出題目中的相等關系，列方程．變式1．（2022·河北邢臺·七年級期末）某學校七年級進行一次徒步活動，帶隊教師和學生們以4km/h的速度從學校出發，20min后，小王騎自行車前去追趕．如果小王以12km/h的速度行駛，那么小王要用多少小時才能追上隊伍？設小王要用xh才能追上隊伍，那么可列出的方程是（

）A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（+x）C．12x＝4×+x D．4x＝12（x）【答案】B【解析】【分析】由小王比隊伍晚出發h，可得出小王追上隊伍時隊伍出發了（+x）h，利用路程=速度×時間，結合小王追上隊伍時他們的路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：∵小王比隊伍晚出發h（20min），且小王要用xh才能追上隊伍，∴小王追上隊伍時，隊伍出發了（+x）h．依題意得：12x＝4（+x）．故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式2．（2022·山東濰坊·七年級期末）甲車和乙車分別從A，B兩地同時出發相向而行，分別去往B地和A地，兩車勻速行駛2小時相遇，相遇時甲車比乙車少走了20千米．相遇后，乙車按原速繼續行駛1.8小時到達A地．(1)乙車的行駛速度是多少千米/時？(2)相遇后，甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續行駛，剛好能和乙車同時到達目的地，試求相遇后，甲車以100千米/時的速度行駛的路程和以120千米/時的速度行駛的路程各是多少千米？【答案】(1)100千米/小時(2)甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米【解析】【分析】（1）設乙車速度為x千米/時，根據題意列方程求解即可；（2）設甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，根據“甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續行駛，剛好能和乙車同時到達目的地，”列方程求解即可．（1）解：設乙車速度為x千米/時，依題意得：1.8x＝2x－20，解得，答：乙車速度為100千米/小時．（2）設甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，則依題意得：解得∴（千米）答：甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，列出方程是解題的關鍵．變式3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）已知甲、乙兩地相距80千米，小明從甲地出發，開車去乙地．小軍從乙地出發，開車去甲地．若小明與小軍同時出發，且小明的平均車速是每小時45千米，小軍的平均車速是每小時55千米，問經過多少小時兩人相遇？（請列方程并求解）【答案】方程為，經過0.8小時兩人相遇【解析】【分析】設經過x小時兩人相遇，根據“小明走的路程+小軍走的路程=80”列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設經過x小時兩人相遇，∴列方程為：，解得：．答：經過0.8小時兩人相遇．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是正確分析出題目中的等量關系．◎考點題型11比例分配問題尋找相等關系的方法：抓住調配后甲處的數量與乙處的數量間的關系去考慮．例．（2023·福建·泉州五中三模）明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差半斤（注：明代時1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個成語）．設總共有x個人，根據題意所列方程正確的是（

）A．7x-4=9x+8 B．7x+4=9x-8C． D．【答案】B【解析】【分析】直接根據題中等量關系列方程即可．【詳解】解：根據題意，7x+4=9x－8，故選：B．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解答的關鍵．變式1．（2021·江蘇·七年級專題練習）“和尚分饅頭”問題是我國古代的數學名題之一，它出自明代數學家程大位寫的《算法統宗》．書中的題目是這樣的：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？設有小和尚人，根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設有小和尚人，則大和尚的人數為（）人，然后根據三個小和尚一個饅頭，一個大和尚三個饅頭即可列出方程．【詳解】解：設有小和尚人，則大和尚的人數為（）人，由題意得，故選B．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵在于能夠根據題意找到等量關系列方程．變式2．（2021··期中）六年級和七年級分別有192人和133人，現在需要從兩個年級選出133人參加“讀書節”活動，并且要使六年級，七年級剩余學生數之比為2：1，問應從六年級，七年級各選出多少人？【答案】從六年級抽出64人，從七年級抽出69【解析】【分析】總人數不變，抽出的人數加上為抽出的人數等于總人數，設未知數，由題意列出一元一次方程即可．【詳解】解：設從六年級抽出x人，則應從七年級抽出（133-x），由題意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1，即（192-x）：x=2：1，解得：x=64，∴133-64=69（人）．答；應從六年級抽出64人，從七年級抽出69人．【點睛】本題是一元一次方程的應用，考查的是人員調配問題，關鍵知道調配后的數量關系從而可列方程求解．變式3．（2022·山東泰安·期末）白菜是泰安特產之一，去年泰安白菜大豐收．某鄉鎮要把116噸白菜運往某市的A，B兩地，用大、小兩種貨車共10輛，恰好能一次性運完這批白菜，已知這兩種貨車的載重量分別為14噸/輛和10噸/輛，求這兩種貨車各有多少輛？【答案】大貨車用4輛．小貨車用6輛【解析】【分析】設載重量為14噸的大貨車x輛，根據兩種車型共10輛則需要載重量為10噸的小貨車為(10-x)輛，然后再根據所有車輛一共運輸白菜等于116噸這個等量關系列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設