第第頁【解析】安徽省五校(懷遠一中、蒙城一中、淮南一中、潁上一中、淮南一中、渦陽一中)2023-2023學年高三理數聯考試卷安徽省五校(懷遠一中、蒙城一中、淮南一中、潁上一中、淮南一中、渦陽一中)2023-2023學年高三理數聯考試卷

一、單選題

1．（2023高三上·淮南月考）已知集合，，則不可能是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】并集及其運算

【解析】【解答】依次檢驗：

如果是選項，則只能考慮，集合不滿足元素互異性；

當，選項正確；

當，選項正確；

當，選項正確；

故選：A

【分析】由題選擇不可能的選項，依次檢驗找出矛盾即可.

2．（2023高三上·淮南月考）復數的實部為，且，則復數的虛部為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】復數的基本概念

【解析】【解答】設復數

所以，解得

故選：C

【分析】根據復數實部為1，設出復數，求出模長，便可解得.

3．（2023高三上·淮南月考）《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，你估測一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

（參考數據：）

A．米B．米C．米D．米

【答案】B

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】由題：“弓”所在弧長，其所對圓心角，

兩手之間距離.

故選：B

【分析】由題分析出“弓”所在弧長，結合弧長公式得出這段弧所對圓心角，雙手之間距離即是這段弧所對弦長.

4．（2023高三上·淮南月考）數列的前項和，若，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】數列的遞推公式

【解析】【解答】由題：，,

所以，

當時，，

所以，

，即，

解得：.

故選：A

【分析】通過數列的前項和計算出，再根據求出.

5．（2023高三上·淮南月考）已知向量，若，，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平面向量數量積坐標表示的應用

【解析】【解答】由題：，所以，

化簡得：，即

所以.

故選：A

【分析】兩個向量模長相等，平方處理，即可轉化成通過求的值解得未知數.

6．（2023高三上·淮南月考）曲線，以及直線所圍成封閉圖形的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】利用定積分求封閉圖形的面積

【解析】【解答】由題：，

所以，封閉圖形面積為8.

故選：D

【分析】根據微積分基本定理，求出積分即是封閉圖形面積

7．（2023高三上·淮南月考）已知正項等比數列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由題：，，

即，由于題目給定各項為正，所以等價于公比為.

故選：C

【分析】由題，變形得即可選出選項

8．（2023高三上·淮南月考）函數在區間上的大致圖像為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】奇偶函數圖象的對稱性；函數的圖象

【解析】【解答】由題可得是偶函數，排除A,D兩個選項，

當時，，，

當時，，，

所以當時，僅有一個零點.

故選：C

【分析】根據奇偶性排除A，D，根據，函數值的正負可選出選項.

9．（2023高三上·淮南月考）已知平面有一個公共點，直線滿足：，則直線不可能滿足以下哪種關系（）

A．兩兩平行B．兩兩異面C．兩兩垂直D．兩兩相交

【答案】A

【知識點】空間中直線與直線之間的位置關系

【解析】【解答】取長方體某一頂點處的三個平面內分別檢驗，三條交線就可以滿足兩兩垂直，兩兩相交，也易作出兩兩異面，如圖：平面，平面，平面，取中點，

兩兩異面，兩兩相交，兩兩垂直，

對于兩兩平行，考慮反證法：假設符合題意的三個平面內直線兩兩平行，則任意兩條直線形成的平面共三個，這三個平面要么相交于同一條直線，要么三條交線兩兩平行，均與題目矛盾.

【分析】三個平面一有個公共點說明三個平面兩兩相交，且三條交線交于一點，可以考慮在長方體某一頂點處的三個平面內分別檢驗，發現可以滿足兩兩異面，兩兩垂直，兩兩相交的情況，不能滿足兩兩平行.

10．（2023高三上·淮南月考）安徽懷遠石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇樹，天下之名果”的美稱，今年又喜獲豐收.懷遠一中數學興趣小組進行社會調查，了解到某石榴合作社為了實現萬元利潤目標，準備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過萬元，同時獎金不能超過利潤的.同學們利用函數知識，設計了如下函數模型，其中符合合作社要求的是（）（參考數據：）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】回歸分析的初步應用

【解析】【解答】對于函數：，當時，不合題意；

對于函數：，當時，不合題意；

對于函數：，不滿足遞增，不合題意；

對于函數：，滿足：，增函數，

且，結合圖象：

符合題意．

故選：D

【分析】根據獎勵規則，函數必須滿足：，增函數，

11．（2023高三上·淮南月考）設函數（其中為自然對數的底數），則函數的零點個數為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】利用導數研究函數的單調性；函數的零點

【解析】【解答】由題，所以在單調遞增，

，，所以的零點，且，

且當時，，當時，，

即在單調遞減，在單調遞增，

的極小值

，，

，

當時，；當時，；

所以共兩個零點.

故選：C

【分析】利用導函數，得出函數單調性，分析函數極值與0的大小關系即可求解.

12．（2023高三上·淮南月考）銳角的內角的對邊分別為，已知，．則面積的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】向量在幾何中的應用；正弦定理

【解析】【解答】由題，三角形中，，，

結合正弦定理，，，為銳角，

所以，，

，即，

由射影定理：，

作圖：

在中，

在中，

當點在線段之間（不含端點）時，三角形為銳角三角形，

，

所以面積取值范圍

故選：D

【分析】根據三角關系求出角，根據向量數量積求出邊，作出三角形，數形結合求解.

二、填空題

13．（2023高三上·淮南月考）已知不等式組表示的平面區域為，是區域內任意兩點，若，則的最大值是．

【答案】

【知識點】簡單線性規劃的應用

【解析】【解答】作出可行域如圖所示：

解出，結合圖象觀察可得的最大值即.

故答案為：

【分析】平面直角坐標系中作出可行域，觀察圖象即的最大值，由圖便知.

14．（2023高三上·淮南月考）．

【答案】

【知識點】兩角和與差的余弦公式

【解析】【解答】由題：

故答案為：

【分析】三角恒等變換，處理角度即可.

15．（2023高三上·淮南月考）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則.

【答案】1或

【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】設與和的切點分別為，由導數的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或。

【分析】分別設出直線與兩曲線的切點坐標，求出導數值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案。

16．（2023高三上·淮南月考）我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺（兩個底面都是正方形的四棱臺），如果一個方斗的容積為升（一升為一立方分米），上底邊長為分米，下底邊長為分米，則該方斗的外接球的表面積為平方分米.

【答案】

【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】作圖，由臺體體積公式，所以，

如圖所示：

根據正四棱臺對稱性可知，球心在直線上，設，

，解得：，所以，

所以外接球表面積

故答案為：

【分析】正四棱臺中，根據臺體體積公式可求出上下底面距離為3，作圖，外接球心必在上下底面中心連線上，根據球面上點到球心距離相等即可解出半徑.

三、解答題

17．（2023高三上·淮南月考）已知.

（1）求證：；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）解：要證原不等式，即證：，

只需證：，

∵，

∴

∴，故原不等式成立.

（2）解：

，當且僅當，即時取得最小值.

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；分析法的思考過程、特點及應用

【解析】【分析】（1）通過分析法分析要證明的結論，進行等價變形；（2）根據，展開所求代數式，發現可用均值不等式，即可求出最小值.

18．（2023高三上·安徽月考）把正弦函數函數圖象沿軸向左平移個單位，向上平移個單位，然后再把所得曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來，所得曲線是.點是直線與函數的圖象自左至右的某三個相鄰交點，且.

（1）求解析式；

（2）求的值.

【答案】（1）解：由題意可得，

，

∵，且，

∴..

（2）解：設，，

則，

即

則

解得，則，

∵

∴.

【知識點】正弦函數的性質；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

【解析】【分析】（1）根據平移變換和伸縮變換得出解析式，結合幾何意義即可求出；（2）根據函數性質，求出三點橫坐標之間關系，代入函數即可求解.

19．（2023高三上·淮南月考）已知數列和滿足，，.

（1）證明：是等比數列，是等差數列；

（2）若，求數列的前項和.

【答案】（1）證明：由題意可知，，，，

∴，

即，

∴數列是首項為、公比為的等比數列，

故，

∵，

∴數列是首項、公差為等差數列，

故.

（2）解：由(1)可知，，，

∴，

①

①式兩邊同乘，得

②

①－②得

∴

【知識點】等差關系的確定；等比關系的確定；數列的求和

【解析】【分析】（1）根據題意兩式相加、相減，即可得出，相鄰兩項遞推關系，根據定義可以證明；（2）由第（1）問是等比數列，是等差數列可以解出數列和通項公式，得出，錯位相減法即可求出前項和.

20．（2023高三上·淮南月考）如圖1，在直角梯形中，分別為的三等分點，，，，若沿著折疊使得點重合，如圖2所示，連結.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明：取的中點分別為，

連結.且，

又∵，且

∴且

∴四邊形是平行四邊形，故

∵是的中點，三角形為等邊三角形，

故

∵平面平面

∴平面，因此平面

故平面平面

（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

，，，

故，，

設平面的法向量為，則

，即，

令得，

設平面的法向量為，則

，即，

令得，

∵二面角的平面角是銳角，設為

∴

【知識點】直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）證明面面垂直，只需在一個平面內尋找一條直線垂直于另一個平面即可；（2）建立空間直角坐標系，用向量方法求二面角的大小.

21．（2023高三上·淮南月考）的內角的對邊分別為，設.

（1）求；

（2）若為邊上的點，為上的點，，.求．

【答案】（1）解：由，

得，即

∴

（2）解：令，則在中，

由正弦定理得：，

即

在中，

由正切定義：

在中，

由正切定義：，

∴

【知識點】正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）根據正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理即可求解；（2）設，將三角形中其余角用表示出來，結合，表示邊長，即可解出.

22．（2023高三上·淮南月考）已知函數.

（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）當

時，若實數滿足，求證：.

【答案】（1）解：

由在上單調遞增，

故當時，恒成立

即

設，，

∵，∴

∴，即在上單調遞增，

故

∴

（2）解：當時，，

∴在上單調遞增，

又∵且，

故

要證，只需證

即證，只需證

即證

令，

令

∴在上單調遞增

∴，故在上單調遞減，

∴，故原不等式成立.

【知識點】函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調性；分析法的思考過程、特點及應用

【解析】【分析】（1）函數單調遞增即導函數大于等于零，轉化成不等式恒成立求參數范圍；（2）容易分析出當時，單調遞增，將要證明的式子等價轉化成，證明即證，只需證，即證，構造新函數即可證明.

1/1安徽省五校(懷遠一中、蒙城一中、淮南一中、潁上一中、淮南一中、渦陽一中)2023-2023學年高三理數聯考試卷

一、單選題

1．（2023高三上·淮南月考）已知集合，，則不可能是（）

A．B．C．D．

2．（2023高三上·淮南月考）復數的實部為，且，則復數的虛部為（）

A．B．C．D．

3．（2023高三上·淮南月考）《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，你估測一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

（參考數據：）

A．米B．米C．米D．米

4．（2023高三上·淮南月考）數列的前項和，若，則（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·淮南月考）已知向量，若，，則的值為（）

A．B．C．D．

6．（2023高三上·淮南月考）曲線，以及直線所圍成封閉圖形的面積為（）

A．B．C．D．

7．（2023高三上·淮南月考）已知正項等比數列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

8．（2023高三上·淮南月考）函數在區間上的大致圖像為（）

A．B．

C．D．

9．（2023高三上·淮南月考）已知平面有一個公共點，直線滿足：，則直線不可能滿足以下哪種關系（）

A．兩兩平行B．兩兩異面C．兩兩垂直D．兩兩相交

10．（2023高三上·淮南月考）安徽懷遠石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇樹，天下之名果”的美稱，今年又喜獲豐收.懷遠一中數學興趣小組進行社會調查，了解到某石榴合作社為了實現萬元利潤目標，準備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過萬元，同時獎金不能超過利潤的.同學們利用函數知識，設計了如下函數模型，其中符合合作社要求的是（）（參考數據：）

A．B．

C．D．

11．（2023高三上·淮南月考）設函數（其中為自然對數的底數），則函數的零點個數為（）

A．B．C．D．

12．（2023高三上·淮南月考）銳角的內角的對邊分別為，已知，．則面積的取值范圍是（）

A．B．C．D．

二、填空題

13．（2023高三上·淮南月考）已知不等式組表示的平面區域為，是區域內任意兩點，若，則的最大值是．

14．（2023高三上·淮南月考）．

15．（2023高三上·淮南月考）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則.

16．（2023高三上·淮南月考）我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺（兩個底面都是正方形的四棱臺），如果一個方斗的容積為升（一升為一立方分米），上底邊長為分米，下底邊長為分米，則該方斗的外接球的表面積為平方分米.

三、解答題

17．（2023高三上·淮南月考）已知.

（1）求證：；

（2）若，求的最小值.

18．（2023高三上·安徽月考）把正弦函數函數圖象沿軸向左平移個單位，向上平移個單位，然后再把所得曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來，所得曲線是.點是直線與函數的圖象自左至右的某三個相鄰交點，且.

（1）求解析式；

（2）求的值.

19．（2023高三上·淮南月考）已知數列和滿足，，.

（1）證明：是等比數列，是等差數列；

（2）若，求數列的前項和.

20．（2023高三上·淮南月考）如圖1，在直角梯形中，分別為的三等分點，，，，若沿著折疊使得點重合，如圖2所示，連結.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

21．（2023高三上·淮南月考）的內角的對邊分別為，設.

（1）求；

（2）若為邊上的點，為上的點，，.求．

22．（2023高三上·淮南月考）已知函數.

（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）當

時，若實數滿足，求證：.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】并集及其運算

【解析】【解答】依次檢驗：

如果是選項，則只能考慮，集合不滿足元素互異性；

當，選項正確；

當，選項正確；

當，選項正確；

故選：A

【分析】由題選擇不可能的選項，依次檢驗找出矛盾即可.

2．【答案】C

【知識點】復數的基本概念

【解析】【解答】設復數

所以，解得

故選：C

【分析】根據復數實部為1，設出復數，求出模長，便可解得.

3．【答案】B

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】由題：“弓”所在弧長，其所對圓心角，

兩手之間距離.

故選：B

【分析】由題分析出“弓”所在弧長，結合弧長公式得出這段弧所對圓心角，雙手之間距離即是這段弧所對弦長.

4．【答案】A

【知識點】數列的遞推公式

【解析】【解答】由題：，,

所以，

當時，，

所以，

，即，

解得：.

故選：A

【分析】通過數列的前項和計算出，再根據求出.

5．【答案】A

【知識點】平面向量數量積坐標表示的應用

【解析】【解答】由題：，所以，

化簡得：，即

所以.

故選：A

【分析】兩個向量模長相等，平方處理，即可轉化成通過求的值解得未知數.

6．【答案】D

【知識點】利用定積分求封閉圖形的面積

【解析】【解答】由題：，

所以，封閉圖形面積為8.

故選：D

【分析】根據微積分基本定理，求出積分即是封閉圖形面積

7．【答案】C

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由題：，，

即，由于題目給定各項為正，所以等價于公比為.

故選：C

【分析】由題，變形得即可選出選項

8．【答案】C

【知識點】奇偶函數圖象的對稱性；函數的圖象

【解析】【解答】由題可得是偶函數，排除A,D兩個選項，

當時，，，

當時，，，

所以當時，僅有一個零點.

故選：C

【分析】根據奇偶性排除A，D，根據，函數值的正負可選出選項.

9．【答案】A

【知識點】空間中直線與直線之間的位置關系

【解析】【解答】取長方體某一頂點處的三個平面內分別檢驗，三條交線就可以滿足兩兩垂直，兩兩相交，也易作出兩兩異面，如圖：平面，平面，平面，取中點，

兩兩異面，兩兩相交，兩兩垂直，

對于兩兩平行，考慮反證法：假設符合題意的三個平面內直線兩兩平行，則任意兩條直線形成的平面共三個，這三個平面要么相交于同一條直線，要么三條交線兩兩平行，均與題目矛盾.

【分析】三個平面一有個公共點說明三個平面兩兩相交，且三條交線交于一點，可以考慮在長方體某一頂點處的三個平面內分別檢驗，發現可以滿足兩兩異面，兩兩垂直，兩兩相交的情況，不能滿足兩兩平行.

10．【答案】D

【知識點】回歸分析的初步應用

【解析】【解答】對于函數：，當時，不合題意；

對于函數：，當時，不合題意；

對于函數：，不滿足遞增，不合題意；

對于函數：，滿足：，增函數，

且，結合圖象：

符合題意．

故選：D

【分析】根據獎勵規則，函數必須滿足：，增函數，

11．【答案】C

【知識點】利用導數研究函數的單調性；函數的零點

【解析】【解答】由題，所以在單調遞增，

，，所以的零點，且，

且當時，，當時，，

即在單調遞減，在單調遞增，

的極小值

，，

，

當時，；當時，；

所以共兩個零點.

故選：C

【分析】利用導函數，得出函數單調性，分析函數極值與0的大小關系即可求解.

12．【答案】D

【知識點】向量在幾何中的應用；正弦定理

【解析】【解答】由題，三角形中，，，

結合正弦定理，，，為銳角，

所以，，

，即，

由射影定理：，

作圖：

在中，

在中，

當點在線段之間（不含端點）時，三角形為銳角三角形，

，

所以面積取值范圍

故選：D

【分析】根據三角關系求出角，根據向量數量積求出邊，作出三角形，數形結合求解.

13．【答案】

【知識點】簡單線性規劃的應用

【解析】【解答】作出可行域如圖所示：

解出，結合圖象觀察可得的最大值即.

故答案為：

【分析】平面直角坐標系中作出可行域，觀察圖象即的最大值，由圖便知.

14．【答案】

【知識點】兩角和與差的余弦公式

【解析】【解答】由題：

故答案為：

【分析】三角恒等變換，處理角度即可.

15．【答案】1或

【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】設與和的切點分別為，由導數的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或。

【分析】分別設出直線與兩曲線的切點坐標，求出導數值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案。

16．【答案】

【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】作圖，由臺體體積公式，所以，

如圖所示：

根據正四棱臺對稱性可知，球心在直線上，設，

，解得：，所以，

所以外接球表面積

故答案為：

【分析】正四棱臺中，根據臺體體積公式可求出上下底面距離為3，作圖，外接球心必在上下底面中心連線上，根據球面上點到球心距離相等即可解出半徑.

17．【答案】（1）解：要證原不等式，即證：，

只需證：，

∵，

∴

∴，故原不等式成立.

（2）解：

，當且僅當，即時取得最小值.

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；分析法的思考過程、特點及應用

【解析】【分析】（1）通過分析法分析要證明的結論，進行等價變形；（2）根據，展開所求代數式，發現可用均值不等式，即可求出最小值.

18．【答案】（1）解：由題意可得，

，

∵，且，

∴..

（2）解：設，，

則，

即

則

解得，則，

∵

∴.

【知識點】正弦函數的性質；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

【解析】【分析】（1）根據平移變換和伸縮變換得出解析式，結合幾何意義即可求出；（2）根據函數性質