線性代數的行列式

列是研究線性方程組的重要工具，用于簡化線性方程組的解的結構。學生們通常認為它很抽象，對它的理解也不是很深刻。實際上行列式的作用不僅僅只是一個記號,它在很多方面都有重要應用,甚至它的引入可以讓一個理論體系重構。此文具體探討行列式在解析幾何中的應用,由于學生在中學接觸過解析幾何,很多結論是他們熟知的,現在這些結論被換作行列式來重新描述,讓學生體會到結構化語言的妙處,從而深刻體會到數學的簡潔美。1角形的面積和相定理1(三角形的面積)已知ΔABC在平面直角坐標系中的三頂點坐標:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則ΔABC的面積為:的絕對值.顯然由定理1可有如下推論1:推論1(三點共線的條件)設有三點的坐標分別為:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則這三點共線的充要條件是:定理2(三角形的面積)若ΔABC的三邊是由方程aix+biy+ci=0(i=1,2,3)給出,則ΔABC的面積為:顯然由定理2可有如下推論2:推論2(三直線共點的條件)設有三條互不平行的直線為:aix+biy+ci=0(i=1,2,3),則這三條直線共點的充要條件為:更一般地,我們有如下結論:定理3(多邊形的面積)如果多邊形的各頂點在平面內的坐標分別為:p1(x1,y1),p2(x2,y2),…,pn(xn,yn),則此多邊形的面積為:2極坐標推論3(直線的兩點式方程)在坐標平面內,經過兩點p1(x1,y1)和p2(x2,y2)的直線方程為:注:若設該直線上任一點的坐標為(x,y),則由推論1即可得到推論3.顯然由直角坐標與極坐標之間的關系,可有如下推論4:推論4(直線的極坐標方程)已知直線l通過兩點p1(ρ1,θ1)和p2(ρ2,θ2)的極坐標方程為:3提出這件的三矢量共面的條件由三矢量混合積定義的幾何意義,我們有如下定理4:定理4(平行六面體的體積)設不共面的三矢量分別為:ue5c6→v1=x1ue5c6→i+yue5c6→1j+z1ue5c6→k,ue5c6→v2=x2ue5c6→i+yue5c6→2j+z2ue5c6→k,ue5c6→v3=xue5c6→3i+yue5c6→3j+z3ue5c6→k,則以這三個矢量為棱的平行六面體的體積為:顯然由定理4可有如下推論5:推論5(三矢量共面的條件)設有三矢量分別為:ue5c6→v1=x1ue5c6→i+yue5c6→1j+z1ue5c6→k,ue5c6→v2=x2ue5c6→i+yue5c6→2j+z2ue5c6→k,→ue5c6v3=x3ue5c6→i+yue5c6→3j+z3→ue5c6k,則此三矢量共面的充要條件為:推論6(平面的三點式方程)設平面上不在同一直線上的三點:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),則此平面的方程為:注:若設該平面上任一點的坐標為(x,y,z),則由推論5即可得到推論6。推論7(平面的截距式方程)特別地,過三點A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(且abc≠0)的平面方程為:(此形式稱為平面的截距式方程)。根據四面體與平行六面體體積之間的關系,由定理4進一步可得到定理5:定理5(四面體的體積)設以不在同一平面的四點分別為:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),p4(x4,y4,z4)為頂點的四面體的體積為:顯然由定理5有如下推論8:推論8(四點共面的條件)設有四點:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),p4(x4,y4,z4),則此四點共面的充要條件為:4兩平行直線間的距離公式定理6(點到直線的距離公式)設點p0(x0,y0,z0)和直線,則點p0到直線l的距離為:顯然由定理6可得如下推論9:推