關于行列式的討論

1按列標排列排列行列公式用于將nn數據表計算為特定算法對應于數字的映射。現舉其中的一個定義如下:定義1由n2個元素aij(i,j=1,2,3,…,n)排成n行n列,記為表示按列標排列形成的n!項代數和,表示行標為標準排列時,n個不同行不同列元素的乘積,表示行標為標準排列時,列標奇排列取負,列標偶排列取正。在行列式定義的教學上該算法本身就是一個難點。而很多的學生常常更要問為什么要定義這樣一個復雜的映射呢?為了讓學生的對行列式的意義有更全面深入的了解,可以結合行列式產生和發展的歷史來為學生講解。2行列式的由來數學開始就是一些數字運算,先有加法及其反運算減法;由于相同的數加起來越來越困難,就誕生了其簡便運算方法乘法,及其反運算除法;隨著數學的發展,相同的數相乘也運到困難,就誕生了乘方及其反運算開方。用數字運算只能解決一些問題,用字母代替數后就能解決同類的問題,這樣代數就產生了,解決物體的形態時產生了幾何;數學是在不斷發展著,由于有了代數,就可以把未知的數用一個字母代替,根據數據的關系列成方程式,也就產生了列方程與解方程。有時一個運動關系不只有一個未知數,就用多個字母分別表示,這樣就有了二元及多元方程組成的方程組。解這些一元的方程比較簡單,借那些多元購的方程就十分復雜,就有人把它們的系數列成方陣,這就是行列式的產生,用這些系數很容易得到未知數的解,并且不需把所有的未知數都解出來,因此解行列式的方法得到推廣,在解行列式的基礎上矩陣也就進一步發展出來。行列式出現于線性方程組的求解,它最早是一種速記的表達式,現在已經是數學中一種非常有用的工具。行列式的概念最早是由十七世紀日本數學家關孝和提出來的,他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作,標題的意思是“解行列式問題的方法”,書里對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。1693年4月,萊布尼茨在寫給洛比達的一封信中使用并給出了行列式,并給出方程組的系數行列式為零的條件。同時代的日本數學家關孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。1750年,瑞士數學家克萊姆(G.Cramer,1704～1752)在其著作《線性代數分析導引》中,對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述,并給出了現在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍后,數學家貝祖(E.Bezout,1730～1783)將確定行列式每一項符號的方法進行了系統化,利用系數行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。總之,在很長一段時間內,行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用。3柯西和雅分析:行列式的發展在行列式的發展史上,第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述,即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人,是法國數學家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735～1796)。他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說,他是這門理論的奠基人。1772年,拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規則,推廣了他的展開行列式的方法。繼范德蒙之后,在行列式的理論方面,又一位做出突出貢獻的就是另一位法國大數學家柯西。1815年,柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統的、幾乎是近代的處理。其中主要結果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一個把行列式的元素排成方陣,采用雙足標記法;引進了行列式特征方程的術語;給出了相似行列式概念;改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等。19世紀的半個多世紀中,對行列式理論研究始終不渝的作者之一是詹姆士·西爾維斯特(J.Sylvester,1814～1894)。他的重要成就之一是改進了從一個n次和一個m次的多項式中消去x的方法,他稱之為配析法,并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結果,但沒有給出證明。繼柯西之后,在行列式理論方面最多產的人就是德國數學家雅可比(J..Jacobi,1804～1851),他引進了函數行列式,即“雅可比行列式”,指出函數行列式在多重積分的變量替換中的作用,給出了函數行列式的導數公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質》標志著行列式系統理論的建成。由于行列式在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應用,促使行列式理論自身在19世紀也得到了很大發展。整個19世紀都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外,還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。4行列式的應用解析幾何的發展必然將行列式這個代數工具應用到幾何之中。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說,在n維歐幾里得空間中,行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數、多項式理論,還是在微積分學中(比如說換元積分法中),行列式作為基本的數學工具,都有著重要的應用。這里以由3個向量構成的平行六面體為例,對行列式的幾何意義作個介紹。由解析幾何可知這3個向量的混合積等于各向量分量構成的行列式值,就是平行六面體的體積。即解析幾何的發展使我們從空間的直觀上可以更好的了解行列式的意義。5法國學者關于行列式的觀點從行列式歷史,我們不難理清行列式在線性代數課程中各個章節里它的作用。行列式的產生是用