第33講函數的切線問題求切線方程題型:求曲線在以為切點處的切線方程:.解題核心:曲線在切點處的函數值等于切線的函數值,曲線在切點處的導數值等于切線斜率,可得方程組,進而得到切線方程,其中為切點,一般有以下兩種命題形式:(1)切點已知:直接求導得到切線的斜率,代人點斜式方程化簡即可.(2)切點末知:需設切點,求出在切點處的導數,然后寫出點斜式方程,將所過的點代人直線方程,求解,然后重新代人化簡可求出直線方程.【例1】已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程.(2)求曲線過點的切線方程.【解析】(1),則切線的斜率為,曲線在點處的切線方程為,即.(2)設過點的切線與曲線相切于點,曲線在點處切線斜率為,故切線方程為.又切線過點,.解得或.故切點為和.過點的切線方程為或.過點的切線方程為和.【例2】已知曲線(1)求曲線在處的切線方程.(2)求曲線過點的切線方程.【解析】(1),曲線在處的斜率.時,,曲線在處的切線方程為,即.(2)設過點的切線與該曲線相切于點,則切線的酙率為,.整理得..【解析】得或.所求的切線為和已知切線方程求參數先由方程組求出切線方程,其中為切點,再與題目中所給切線方程對照,求出參數.【例1】已知函數,若曲線在點處的切線方程為,求的值.【解析】,【解析】得.【例2】設函數1),若函數的圖像與直線相切,求的值.【解析】,設?點為,則切線為,即.又切線為,消得.設,易知為減函數,且,.第34講函數的單調性單調性是函數的一個重要性質,對函數作圖起到決定性的作用,而導數是分析函數單調區間的一個便利工具,通過求解一階導函數并判定其正負號,進而得到原函數單調性.利用導函數研究函數單調性是導函數這一塊知識貫穿始終的東西,如果單獨拿出來考查可以分為兩類題型:第一類是求導來討論函數的單調性.第二類是給出函數單調性,然后來求出參數的取值范圍,這一類通常把的單調性問題轉化為導函數的不等式問題,按照不等式問題的解法來求解即可.下面是導函數和原函數單調性之間的聯系,希望讀者認真掌握:(1)函數在可導,那么在上單調遞增.(2)函數在可導,則在上單調遞減.進一步可說,函數在內可導,且在任意子區間內都不恒等于0.則當時,函數在上單調遞增.函數在上單調遞減.求無參函數的單調區間(因式分解法)函數沒有參數的話是相對較簡單的,只需要求導,并判定出導函數的正負號即可判定出原函數的單調性,其中對導函數因式分解后就能判定出每個因式的正負號,進而判定總的導函數的正負號,所以,我們求導后一定要想辦法因式分解,下面給出利用導數求函數單調區間的一般步驟:(1)確定函數的定義域.(2)求出的導函數,并因式分解.(3)令,求出的解集,即可分割出的單調增(或減)區間.(4)列出表格或者進行描述.【例1】已知,求函數的單調區間.【解析】的定義域為,令得或當變化時，，變化如下表所示： 0 2 +0-0+ 單調遞增極大值單調遞減極大值單調遞增的單調遞增區間為和,單調遞減區間為.【例2】已知函數,求的單調增區間.【解析】的定義域為, 由得,或.故所求的單調遞增區間為,求無參函數的單調區間(連續求導法)如果一階導函數無法因式分解,也無法求出的解,則要考慮多次求導,但一定記住,不論求導多少次,怎么求導,最終一定回歸判定一階導函數的正負號,進而得到原函數的單調性.【例1】列已知函數1)(其中為自然對數的底數),求的單調區間。【解析】,令,令,解得.令,解得,在上單調遞減,在上單調遞增.的單調遞增區間為,無單調遞減區間.【例2】設,判斷函數的單調性.【解析】,.設,.在上為減函數...函數在上為減函數.討論含參函數的單調性(一次函數型)當函數含有參數時,函數的圖像是不確定的,我們討論的核心在于討論不同參數取值范圍時函數的單調性是什么,更進一步說,我們討論的是不同參數下,導函數的正負號如何,在討論的時候一定要注意定義域問題.以下例題是導函數為一次函數結構的類型,要注意總結方法.【例1】已知函數,討論函數的單調區間.【解析】,,當時,在上單調遞減.當時,.當時,單調遞減.當時,單調遞增.綜上所述,當時,單調遞減區間為,無單調遞增區間.當時,單調增區間為,單調減區間為.【例2】已知函數,討論的單調性.【解析】,當時,,在上單調遞減.當時,令得.令得.的單調遞減區間為,單調遞增區間為.當時,令得.令得.的單調遞減區間為,單調遞增區間為.【例3】已知函數,討論函數在內的單調性.【解析】由題意得,..當時,,此時在內單調遞增.當時,由得,此時單調遞增.由得,此時單調遞減.綜上,當時,在內單調遞增.當時,在內單調遞減,在內單調遞增.討論含參函數的單調性(二次函數型)如果決定一階導函數正負號的是一個含參數的二次函數,則我們討論的邏輯層次是:(1)討論二次函數開口.(2)討論二次函數的判別式.(3)討論兩個根大小和是否在定義域范圍.具體步驟如下:討論在上的正負號.(1),則,按一次函數討論.(2),開口向上,討論.①在上,在時單調遞增.②會有兩個根:,進一步比較兩個根的大小和討論兩個根是否在定義域內(結合開口方向,對稱軸和縱截距綜合考慮).(3),開口向下,討論.①在上在時單調遞減.②會有兩個根:,進一步比較兩個根的大小,討論兩個根是否在定義域內.注意:如果可以通過因式分解求出兩個根,則只需根據開口,比較兩個根的大小,討論兩個根是否在定義域內.【例1】已知函數,求函數的單調區間.分析:（1）首先確定函數定義域和導函數.當時,,得到函數單調遞增.當時,分兩種情況討論,根據導函數的符號得到原函數的單調區間.【解析】(1)由題意得定義域為令,則.(1)若,則,則,此時函數在上單調遞增.(2)若或有兩個零點,則,其中.①若,則,此時,故此時函數在上單調遞增.②若,則,此時當和時,.當時,.此時函數在和上單調遞增,在上單調遞減.綜上所述,當時,函數的單調遞增區間為.當時,的單調遞增區間為.當時,單調遞增區間為.單調遞減區間為.【例2】已知函數,討論函數的單調性.【解析】定義域為,當時,在上,此時在定義域上單調苐增.當時,令有,令有,此時在上單調遞減,在上單調遞增.【例3】已知函數,,討論的單調性.【解析】.當時,,此時在上單調遞減.當時,由解得或,是增函數,此時在和單調遞減,單調遞增.【例4】已知函數,討論的單調性.【解析】(1)若恒成立,此時在上單調遞增.（2）若,當時,在上單調遞增.當時,此時在上單調遞增.當時,此時在上單調遞減.(3)若恒成立,此時在上單調遞增.(4)若,當時,此時在上單調遞增.當時,此時在上單調遞減.當時,在上單調遞增.綜上,當或時,在上單調遞增.當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.由單調性確定參數的取值范圍已知單調性反解參數取值范圍其實就是轉化為導函數不等式成立時求解參數取值的問題.如果對不等式不是很熟悉,可以先看后面的章節,再回來看這一部分,我們的解題思路是把原函數單調性問題轉化為一階導函數不等式問題,當函數在內可導,且在任意子區間內都不恒等于0時,轉換方式如下:(1)函數在區間上單調遞增在區間上恒成立.(2)函數在區間上單調遞減白在區間上恒成立.(3)函數在區間上不單調在區間上存在異號零點.(4)函數在區間上存在單調遞增區間,使得成立.(5)函數在區間上存在單調遞減區間,使得成立.【例1】已知函數,若為上的增函數,求的取值范圍.【解析】.若在上為增函數,則0恒成立,即恒成立,設,則,當