第14講直線參數t的幾何意義對于直線的標準參數方程,核心在于理解參數的幾何意義.我們常利用這個幾何意義計算直線上線段的長度和、差、積、商等問題,通常通過方程聯立,湊出韋達定理來求解.過定點,傾斜角為的直線的參數方程為(其中為參數),其中的幾何意義為:是直:線上任一點到的距離,設是直線上任意兩點,對應的參數分別為,則有以下結論.(1)線段相關問題線段積:線段商:線段差:線段和:(2)線段的中點對應的參數.(3)若線段的中點為,則且.注意:求解時需先判斷的正負,再求值,如果點相對于點在直線向上的方向,則為正,否則為負.線段和【例1】在直角坐標系中,直線的參數方程為(其中為參數),在以原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)求直線與曲線的直角坐標方程.(2)若直線與軸的交點為點,直線與曲線的交點為點,求的值.【解析】((1)由直線的參數方程(其中為參數),得直線的直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為,整理得,將代入上式得.曲線的直角坐標方程為.(2)將代入得即.設對應的參數分別為,則...【例2】在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為(其中為參數),在以原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的傾斜角.(2)設點,直線和曲線交于兩點,求.【解析】(1)根據已知,消去參數,整理得,即曲線的直角坐標方程為.根據,得.將代入上式并化簡得.直線的傾斜角為.(2)由(1)題知,點在直線上,設直線的參數方程為(其中為參數)，將上述參數方程代入,化簡得線段差【例1】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(其中為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線和曲線的直角坐標方程.(2)設點,直線與曲線的交點為點和點,求.【解析】(1)由得直線的直角坐標方程為.由,整理得.化簡上式得,由線的直角坐標方程為.(2)由(1)題知直線過點,斜率為傾斜角.中為參數),將代入,化簡得.設兩點的參數分別為,則【例2】在平面直角坐標系中,曲線C的參數方程為(其中為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標方程.(2)已知點,若直線與曲線交于兩點,求||的值.【解析】曲線C的參數方程為，兩式相減得,即曲線的直角坐標方程為.直線的極坐標方程為,整理得,轉換為直角坐標方程為.(2)直線過點,直線的參數方程為(其中為參數),根據直線的參數方程,令點對應的參數分別為,則,線段積【例1】在直角坐標系中,曲線的參數方程是(其中為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(1)求曲線和直線的直角坐標方程.(2)已知點,若和的交點為,求。.【解析】(1)由已知整理得由線的參數方程為(其中為參數),平方后相加得.曲線的直角坐標方程為,直線的極坐標方程為,整理得.將代入即可得到直線的直角坐標方程:.(2)點在直線上,直線的斜率為,傾斜角,中為參數),將上式代入曲的直角坐標方程得 設點對應的參數分別為和,由韋達定理得,.【例2】c的參數方程為（其中為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標方程.(2)直線與軸的交點為,經過點的直線與曲線交于兩點,證明:。為定值.(1)【解析】由題意得,曲線的直角坐標方程為.整理直線的極坐標方程得,故直線的直角坐標方程為.(2)證眀顯然,點的坐標為,不妨設過點的直線方程為（其中為參數,為傾斜角）,將參數方程代入曲線的直角坐標方程得為定值.線段商【例1】在直角坐標系中,直線l的參數方程為(其中為參數,為直線的傾斜角),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程.(2)若點的坐標為,直線與曲線相交于兩點,且,求直線的直角坐標方程.【解析】(1)已知,曲線的極坐標方程:,即，得,即曲線的直角坐標方程為.(2)將代入曲線的直角坐標方程得化簡得.設兩點對應的參數分別為,則,由得,,整理得.解得或1,經檢驗此時(1)對應的,直線的方程為或.線段綜合【例1】在平面直角坐標系中,經過伸縮變換,曲線變為曲線.以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,為極角,直線的極坐標方程為,其中為參數,且.(1)求曲線的直角坐標方程和直線的參數方程.(2)設直線與軸交于點,與曲線交于兩點,求的取值范圍.【解析】(1)將代入1,化簡整理得,即,曲線的直角坐標方程是角為,且經過點.故直線的參數方程為(其中為參數).(2)將直線的參數方程代入到曲線的直角坐標方程,整理得,設兩點對應的參數分別為,則,【例2】已知曲線的參數方程為(其中為參數),以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線和曲線的直角坐標方程.(2)過點的直線與交于兩點,與交于兩點,求的取值范圍.【解析】(1)根據題中已知化簡整理得,曲線的直角坐標方程為,曲線的直角坐標方程為.(2)設直線的參數方程為(其中為參數).直線與曲線存在兩個交點,.聯立直線與曲線得,則.聯立直線與曲線得,則.即.的取值范圍是【例3】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(其中為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(