近世代數課程標準一、課程概況

課程名稱近世代數課程代碼20102904適用專業數學與應用數學開課學期第3或4學期課程性質專業必修課程學時/學分68/4預修課程《數學分析》、《高等代數》、《解析幾何》二、課程目標課程目標

1：學生可以闡述近世代數中并能根據定義和性質進行舉例和判斷，以及應用性質對循環群、置換群及對稱群、整環、域、除環給出相應的刻畫；對群的同構以及環的同態能闡述定義及基本性質；對素理想、極大理想、環的特征和素域都能根據定義給出相應的判斷；打好群、環、域基礎，

課程目標

2：學生能夠掌握近世代數課程中對群、環、域的更深一步知識，同時了解近世代數課程的相關歷史背景以及國內外最新發展狀況，具有一定的數學文化素養。學生要明確闡述出子群的陪集和正規子群的定義及正規子群對應的商群的概念，能熟練應用相關性質和相關定理知識來判別是否正規子群；能闡述群同態的定義并舉例說明；能證明同態基本定理；對于多項式環、整環的商域、唯一分解整環、主理想整環以及歐幾里得整環能闡述各自的概念和性質以及相互的聯系；能夠對擴域有進一步了解，理解并掌握代數擴越和有限域定義；能夠理解并掌握重要性質和定理的結論和證明思路，并且可以綜合應用相關性質和定理到實際計算中來解決問題。培養學生嚴密的數學語言表達能力、抽象的邏輯思維能力、嚴謹的推理論證能力以及熟練的抽象運算能力，為后續課程的學習和深造打下堅實的代數學基礎。

課程目標

了解近世代數課程在近（現代數學中的基礎地位和作用，以及與相關學科（如密碼學、計算機科學等）的聯系。

課程目標

4：具有終身學習與持續發展的意識和能力，能夠利用近世代數的相關理以及與近世代數相關的現代數學學科。

三、課程目標與畢業要求的關系1、課程目標與畢業要求的對應關系畢業要求指標點課程目標學會教學學科素養3.1掌握數學學科的基本原理、基礎知識、基本方法、基本思想，了解現代數學分支的基本知識和專業發展趨勢123.2善于整合運用數學知識分析問題、解決問題，具備對數學問題進行抽象概括化和邏輯推理的能力，具備良好的數學表達能力123.3了解數學與物理和計算機等其他相關學科的聯系，理解數學在社會生活的實際應用價值3

學會育人

綜合育人6.1接受數學學科獨有的謹慎細膩，思維嚴密的訓練，能夠將數學課堂教學與思政教育緊密結合。能有效掌握教學案例設計、學生情感價值觀察和分析、掌握靈活多樣化的教學方法4學會發展學會反思7.1掌握數學教學專業發展規律，具有數學教學反思意識，樹立終身學習理念。能夠利用反思改進教學手段、針對教育教學工作中的現實需要與問題和國內外學科發展趨勢做縱深對比，進行探索和研究，初步具備數學教學研究能力1242、課程目標與畢業要求的矩陣關系圖名稱踐行師德學會教學學會育人學會發展師德規范教育情懷學科素養教學能力班級管理綜合育人學會反思溝通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3近世代數HHHLM近世代數HLM課程目標

1HHM課程目標

2HHM課程目標

3H課程目標

4LM注：H

表示高支撐，M

表示中支撐，L

表示低支撐。

四、課程教學要求與重難點

序號課程內容框架教學要求教學重點教學難點

1

群掌握等價關系與集合的分類的定義及關系，為學習全書打好基礎；能夠闡述群的相關定義和性質，并能根據定義、等價定義和性質進行舉例和判斷；能闡述子群等相關定義和性質，并能根據定義和性質進行舉例和判斷；掌握會求元素的階；循環群的定義和性質、判定，會求循環群的全部生成元和子群；掌握置換群和對稱群定義，掌握的性質和刻畫。等價關系與集合的分類的定義及關系；群的定義及其性質；循環群的定義和性質、判定，會求循環群的全部生成元和子群；掌握置換群和對稱群定義，掌握的性質和刻畫。等價關系與集合的分類的關系；群的定義及其等價定義的理解；理解并掌握生成子群的刻畫；凱萊定理；掌握有限和無限循環群的刻畫；變換群、置換群的刻畫。

2

群的進一步討論學生要明確子群的陪集以及正規子群的定義及正規子群對應的商群的概念及性質和相關定理知識；掌握群的同態定義以及同態基本定理。子群陪集的相關理論、有限群的拉格朗日定理；正規子群的定義及判別條件、商群子群的左右陪集的刻畫與聯系；正規子群的判別法則；商群的構造；群同態基本定理的理解及應用。

3

環學生能夠熟悉并闡述環、子環定義及對應等價定義并會用性質進行判定；學生能夠熟悉并闡述理想定義并會用性質進行判定，掌握商環定義和性質；別；環的特征的定義、性質及求法，素域的定義和基本性質。

環、子環的定義、判別條件及基本性質；理想和商環的定義、判別條件及初步性質；別；環的特征的定義、性質及求法，素域的定義和基本性質。理想和商環的定義、判別條件；整環、域的性質及判別；素理想和最大理想的定義及判別；環的特征的定義及求法。序號課程內容框架教學要求教學重點教學難點

4

環的進一步討論學生能夠理解在整環上討論整除的概念以及多項式環的概念、性質、理解整環的商域的概念、構造過程及性質、對整環上討論整除理論有比較系統的了解，并能用所學的理論解決一些簡單的與環和域性質有關的問題。多項式環的概念及性質；理解整環的商域的概念、構造過程及性質；素元和不可約元的定義及關系，唯一分解整環的概念及性質；主理想整環以及歐幾里得整環的定義及相關性質以及他們之間的聯系。多項式環的性質；整環的商域的構造過程及性質；素元和不可約元的定義及關系；唯一分解整環、主理想整環以及歐幾里得整環之間的聯系。

5

域的擴張學生掌握域的一些基本結果，在域上有向量空間的定義上，掌握擴域的定義和基本性質，了解域的代數擴張含義及性質，對多項式的分裂域有所理解，對有限域進一步了解，了解用直尺和圓規作圖的背景。擴域的概念及性質；代數擴張的定義及性質；多項式的分裂域的定義及判定條件；有限域的基本性質和刻畫；了解用直尺和圓規作圖的背景。擴域的概念及性質；代數擴域的定義及判定，極小多項式的求法；有限域的刻畫；尺規作圖。

五、課程教學內容、教學方式、學時分配及對課程目標的支撐情況序號課程內容框架教學內容教學方式學時支撐課程目標1群課程簡介；代數運算；等價關系與集合的分類：等價關系與集合的分類各自的定義及關系講授、課堂討論21234群的概念：群的定義及其幾個等價定義的證明；交換群，有限群和無限群及群的階的概念、例子以及群的基本性質講授、課堂討論4134子群：子群的定義及其等價定義及判別法；子群的交與生成子群講授、課堂討論4134同構、自同構的概念與性質及判定；交換群和一般群的關系；凱萊定理講授、課堂討論214循環群：元素的階的定義、性質及求法；；求有限循環群的全部子群的方法講授、課堂討論4

1

序號課程內容框架教學內容教學方式學時支撐課程目標講授、課堂討論4134習題課講授、課堂討論214

2

群的進一步討論子群的陪集：集合的積的定義及群里子集的積的性質；子群的左右陪集、定義及相同和不同之處；Lagrange定理講授、課堂討論22正規子群與商群：正規子群的定義、例子；正規子群的判別條件和性質；商群的定義及性質講授、課堂討論2234群同態性質及同態基本定理講授、課堂討論2234習題課講授、課堂討論224

3

環環的定義與基本性質：環、子環的定義、例子及基本性質講授、課堂討論2134整環、域、除環：零因子、無零因子環的概念及判定；整環、域、除環的定義及例子講授、課堂討論2134理想與商環：理想的定義及判定；理想的性質；主理想的定義及構成；商環的定義及性質講授、課堂討論213本定理以及環的第二同構定理；環的擴張定理講授、課堂討論213素理想與極大理想：素理想與極大理想的定義、例子、判定及簡單性質講授、課堂討論213環的特征與素域：環的特征的概念、性質及求法，素域的概念、例子講授、課堂討論21習題課講授、課堂討論214序號課程內容框架教學內容教學方式學時支撐課程目標

4

環的進一步討論多項式環：講授、課堂討論

224整環的商域：商域的概念、存在性、唯一性及構造方法及例子、基本性質講授、課堂討論2234唯一分解整環：唯一分解整環的定義、性質及例子講授、課堂討論22主理想整環與歐幾里德整環：主理想整環的定義、例子與基本性質；歐幾里德整環的概念、性質與例子講授、課堂討論22習題課講授、課堂討論224

5

域的擴張向量空間：向量空間簡介講授、課堂討論12

擴域：擴域、單擴域及有限擴域的概念、例子及基本性質講授、課堂討論32

代數擴張：代數元、超越元及代數擴張的概念、基本性質和典型例子講授、課堂討論224多項式的分裂域：多項式的分裂域簡介講授、課堂討論22

有限域：有限域的基本性質及例子

講授、課堂討論123幾何作圖：尺規作圖背景講授、課堂討論124習題課講授、課堂討論2246綜合復習綜合復習（全部內容）講授、課堂討論4課程目標1234

六、課程目標與考核內容

課程目標考核內容課程目標

1：學生可以闡述近世代數中并能根據定義和性質進行舉例和判斷，以及應用性質對循環群、置換群及對稱群、整環、域、除環給出相應的刻畫；對群的同構以及環的同態能闡述定義及基本性質；對素理想、極大理想、環的特征和素域都能根據定義給出相應的判斷；打好群、環、域基礎，1、

期末考試：5)

元素的階的定義、性質及求法；；求有限循環群的全部子群的方法；7)

環、子環的定義、例子及基本性質；8)

零因子、無零因子環的概念及判定；9)

整環、域、除環的定義及例子；10)

理想的性質；主理想的定義及構成；商環的定義及性質；本定理以及環的第二同構定理；環的擴張定理；12)

素理想與極大理想的定義、例子、判定及簡單性質；13)

環的特征的概念、性質及求法，素域的概念、例子；2、課堂出勤和課堂表現、平時作業、期中測試等課程目標2：學生能夠掌握近世代數課程中對群、環、域的更深一步知識，同時了解近世代數課程的相關歷史背景以及國內外最新發展狀況，具有一定的數學文化素養。學生要明確子群的陪集以及正規子群的定義及正規子群對應的商群的概念及性質和相關定理知識；掌握群的同態定義以及同態基本定理；對于多項式環、整環的商域、唯一分解整環、主理想整環以及歐幾里得整環能明白各自的概念和性質以及相互的聯系；能夠理解并掌握重要性質和定理的結論和證明思路，并且可以綜合應用近世代數中的性質和定理到實際計算中來解決問題。培養學生嚴密的數學語言表達能力、抽象的邏輯思維能力、嚴謹的推理論證能力以及熟練的抽象運算能力，為后續課程的學習和深造打下堅實的代數學基礎。1、

期末考試：1)

集合的積的定義及群里子集的積的性質；2)

子群的左右陪集、定義及相同和不同之處；Lagrange定理的應用；3)

正規子群的定義、例子；正規子群的判別條件和性質；商群的定義及性質；群同態性質及同態基本定理；6)

商域的概念、存在性、唯一性及構造方法及例子、基本性質；7)

唯一分解整環的定義、性質及例子；主理想整環的定義、例子與基本性質；8)

歐幾里德整環的概念、性質與例子；9)

向量空間定義及性質；10)

擴域、單擴域及有限擴域的概念、例子及基本性質；11)

代數元、超越元及代數擴張的概念、基本性質和典型例子；12)

多項式的分裂域例子；13)

有限域的基本性質及例子；14)

幾何作圖；2、課堂出勤和課堂表現、平時作業、期中測試等課程目標考核內容課程目標3：了解近世代數課程在近（現）代數學中的基礎地位和作用，以及與相關學科（如密碼學、計算機科學等）的聯系。1、期末考試：1)

代數運算、同態、同構、等價關系與集合的分類；2)

群的概念與證明；3)

子群的概念及判別條件；4)

變換群、置換群的相關理論；5)

正規子群的概念及判別條件，商群的概念與構造，拉格朗日定理；6)

群的同態性質；7)

環的概念及證明，子環的相關概念及判別方法，8)

環同態基本定理；9)

理想、主理想、最大理想的概念及判別條件；10)

剩余類環、最大理想構造域的方法；11)

商域的構造等；12)

有限域的基本性質及例子；2、課堂出勤和課堂表現、平時作業、期中測試等課程目標

4：具有終身學習與持續發展的意識和能力，能夠利用近世代數的相關理論指導中學數學中代數方面的教學實踐，并能夠在中學數學教學實踐中客觀、真實地介紹近世代數史以及與近世代數相關的現代數學學科。

1期末考試：1)

代數運算、映射、同態、同構、等價關系與集合的分類；2)

群的概念與證明；3)

子群的概念及判別條件；4)

變換群、置換群的相關理論；5)

環、整環、域的概念及證明，整環、域的性質；6)

多項式環；7)

商域的構造；8)

代數元，代數擴張的定義；9)

幾何作圖等。2、課堂出勤和課堂表現、平時作業、期中測試等

七、考核方式與評價細則考核方式比例考核/評價細則

課堂出勤

10%評價標準：根據學生上課出勤情況1)

全勤

100

分；103)

遲到、早退、事假一次扣54)

病假、公假、喪假不扣分；5)

曠課三次以上不及格。

平時作業、課堂表現

10-20%評價標準：根據學生提交的作業情況。每個班每次批改二分之一的作業，根據學生作業完成情況給出A+、A、A-、B、C、D等級，一學期一個學生大約上交12次左右作業。全部為A計100分；兩次及以上A+，95分；兩次及以上