試論梁的合理設計【摘

要】文章闡述了梁設計討論的依據，提出并說明了根據內力圖選擇梁的受力形式，根據應力分布規律選擇截面形狀和尺寸，根據慣性矩Iz選擇梁的截面形狀和尺寸，根據梁的撓度公式選擇梁的形式等幾個問題。

【關鍵詞】梁；設計；剛度；截面

根據梁的強度和剛度要求，結合實際對梁進行合理設計，是材料力學的研究任務。梁設計的基本問題是如何保證在滿足強度、剛度和穩定性要求的前提下，以最經濟的代價，對梁進行合理設計，即滿足實用又經濟的要求。

一、梁設計討論的依據

設計梁，實用上的要求就是跨度和承載能力。我們作強度和剛度計算的時候，梁的跨度和承受的載荷應視為給定條件，也是我們討論的前提。關于經濟的要求，要考慮施工條件、材料選擇、截面尺寸、技術經濟指標等幾個方面，這里只能考慮材料和截面尺寸兩個因素。下面幾個公式作為我們討論的根據：

1.正應力公式：

2.剪應力公式：

3.曲率公式：

從公式上可以看出，和強度、剛度有關的就是M（x）、Q（x）、E、Iz和S這幾個因素。M（x）、Q（x）與梁的跨度、載荷的種類（集中載荷或分布載荷）和作用的位置有關；E（還有[σ]）與所選用的材料有關，機器中的梁大多用鋼材，鋼結構中用型鋼或用幾根型鋼制成組合鋼梁。近代結構中廣泛采用鋼筋混凝土梁，在工程上，材料選擇的范圍是有限的。材料力學研究梁的一般理論，作強度、剛度的設計計算時，卻是面對一根具體的梁。

二、根據內力圖選擇梁的受力形式

從內力圖上看出，梁的各個截面上的內力一般是不相等的，設計時，首先要保證內力最大處（如Mmax作用的截面）的安全，似乎梁的截面也應該隨著內力而變化才是最合理的，然而總不能把梁設計成錐形的或橄欖的形狀，工程上大多設計成等截面梁，只在特殊情況下才設計成變截面梁，所以，梁在工作時，一般總是個別地方緊張，大部分地方不緊張，這是等截面梁固有的“缺點”。

受均布載荷作用的簡支梁，在剪力為零的地方，彎矩為最大值，在彎矩為零的支座處，剪力又是最大值，這是一種“自然分工”。因此，在彎矩很小的地方，不能忽略剪力的影響，受均布載荷作用的很短的簡支梁，如滑輪的軸和曲柄銷等，設計時要按剪切強度計算。懸臂梁Qmax和Mmax產生在同一截面上，從這個意義上說，懸臂梁不是一種合理的結構形式。

載荷的布置一般是由使用要求確定的，但如有可能，改變載荷的位置或分布情況，將使梁的內力分布變得較為有利一些。

如圖1所示：

Mmax=Pab/L；

圖1

如圖2所示：

Mmax=PL/4；

圖2

圖2把集中載荷P作用在梁的中點，Mmax=PL/4＞Pab/L，可見載荷偏離中點將對梁產生有利的影響。

如圖3所示：

Mmax=PC/2

圖3

圖3梁的中間一段為純彎曲，Mmax=PC/2＜PL/4；若將載荷P均勻分布于梁上如圖4所示：

Mmax=qL2/8=PL/8

圖4

與圖2所示的情報況相比，彎矩則減少一半。

如將支座向里移動如圖5所示，成外伸梁：

Mmax=0.0214qL2

圖5

如取x=0.207L，可使支座彎矩與中間截面的彎矩數值相等，Mmax=0.0214qL2，此值約為圖4的1/6，是最有利的。

圖6

圖7

圖6、圖7所示的超靜定梁，和前面幾種靜定梁相比，顯然要堅固得多，所以超靜定梁結構在工程上有廣泛的應用。

三、根據應力分布規律選擇截面形狀和尺寸

梁截面上的正應力和剪應力都不是均勻分布的，正應力在上下邊緣處為最大，在中性層上正應力為0。剪應力在上下邊緣處為0而中性層上為最大，為了增強鋼梁的抗彎能力，以加強兩翼，將梁做成工字形或箱形橫截面為最合理。

一根梁，只有上下兩條線上甚至只有兩個點上的應力達到了最大值，是很不經濟的，所以有些跨度大、荷載大的梁，人們常設計成桁架形式，如圖8所示：

圖8

桁架與梁起相同的作用，每一個截面上也有M(x)和Q(x)兩個內力分量，不過它改變了內力分布的情況，使每一根桿的截面上基本上是均勻分布著正應力，并且可以根據各桿內應力的大小選用不同的截面，因而桁架的自重比用相同材料做成的梁要輕得多。

四、根據慣性矩Iz選擇梁的截面形狀和尺寸

從梁的正應力公式和曲率公式可知，改變梁的截面形狀和尺寸以增大慣性矩Iz，對梁的強度和剛度產生非常有利的影響。下表是幾種簡單截面圖形面積相等時的慣性矩之比：

從表中慣性矩之比可知，圓形截面是最不合理的，但是，圓形截面不但有良好的工藝性，而且具有各向同性的幾何性質，這是其他形狀所不能相比的。以圓形截面和環形截面相比較，在面積相等，當α=0.2時，圓形和圓環形的直徑之比為D圓∶D環=1∶1.02，慣性矩之比為1∶1.08，所以環形截面比圓形截面更經濟。將矩形和與之等面積等高的工字鋼截面相比，Iz之比為1∶1.7～2.05，可見工字鋼截面的慣性矩大得多，但也不能大很多倍，以保證有足夠的穩定性和抗剪強度。

五、根據梁的撓度公式選擇梁的形式

例如簡支梁的撓度公式：

梁中作用集中載荷P：