課堂探究探究一對(duì)開普勒定律的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)問題導(dǎo)引如圖所示為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的示意圖，圖中橢圓表示地球的公轉(zhuǎn)軌道，A、B、C、D分別表示春分、夏至、秋分、冬至?xí)r地球所在的位置，試分析說明一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因。提示：地球繞太陽(yáng)運(yùn)行時(shí)，對(duì)于北半球的觀察者而言，秋冬季節(jié)地球在近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過CDA這段曲線；在春夏季節(jié)地球經(jīng)過ABC這段曲線，根據(jù)開普勒第二定律，地球在秋冬季節(jié)比在春夏季節(jié)運(yùn)動(dòng)得快一些，時(shí)間相應(yīng)就短一些。一年之內(nèi)，春夏兩季共184天，秋冬兩季只有181天。名師精講1．從空間分布認(rèn)識(shí)：行星的軌道都是橢圓的，所有橢圓有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，太陽(yáng)就在此焦點(diǎn)上。因此第一定律又叫橢圓軌道定律，如圖所示。特別提醒(1)各行星的橢圓軌道盡管大小不同，但是太陽(yáng)總處在所有軌道的一個(gè)共同焦點(diǎn)上，又稱焦點(diǎn)定律；(2)不同行星軌道的半長(zhǎng)軸是不同的(例如冥王星軌道半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為水星軌道半長(zhǎng)軸的100倍)；(3)行星的橢圓軌道都很接近圓(例如地球繞太陽(yáng)橢圓軌道半長(zhǎng)軸為×102km，半短軸為1.4948×102km)中學(xué)階段在分析處理天體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，可以將行星軌道作為圓來處理。這是一種突出主要因素、忽略某些次要因素的理想化方法，是研究物理問題的常用方法。2．從速度大小認(rèn)識(shí)：如圖所示，如果時(shí)間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開普勒第二定律，面積SA＝SB，可見離太陽(yáng)越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，即行星的速率就越大。特別提醒該定律反映出同一行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)速率小于近日點(diǎn)速率，又稱為速度定律。3.對(duì)eq\f(a3,T2)＝k的認(rèn)識(shí)：在圖中，半長(zhǎng)軸是AB間距的一半，不要認(rèn)為a等于太陽(yáng)到A點(diǎn)的距離；T是公轉(zhuǎn)周期，不要誤認(rèn)為是自轉(zhuǎn)周期，如地球的公轉(zhuǎn)周期是一年，不是一天。特別提醒(1)高中階段，如果將行星軌道看作圓，則R為圓的半徑；(2)該定律不僅適用于行星，也適用于其他天體，例如，對(duì)于任何一個(gè)行星的不同衛(wèi)星來說，它的(eq\f(r3,T2)＝k)k值是相同的，也是一個(gè)與衛(wèi)星無(wú)關(guān)只與被衛(wèi)星所環(huán)繞的行星有關(guān)的常量(例如地球的k值為1.008%)；(3)開普勒研究所依據(jù)的資料都是憑肉眼觀察的，隨著望遠(yuǎn)鏡等精密儀器的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)開普勒定律只是近似的，行星實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況與開普勒定律有少許的偏離；(4)開普勒定律只闡述了行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而沒有說明行星運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變化的“動(dòng)力學(xué)”原因。【例1】(多選)關(guān)于公式eq\f(a3,T2)＝k，下列理解正確的是()A．k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的量B．若地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸為a地，周期為T地；月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸為a月，周期為T月，則eq\f(a地,T地)＝eq\f(a月,T月)C．T表示行星運(yùn)動(dòng)的自轉(zhuǎn)周期D．T表示行星運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期解析：公式eq\f(a3,T2)＝k中的k為一常數(shù)，與中心天體有關(guān)，與行星無(wú)關(guān)，所以選項(xiàng)A正確。地球是太陽(yáng)的行星，月球是地球的衛(wèi)星，比例常數(shù)不同，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。公式中的T應(yīng)表示繞中心天體的周期，而不是自轉(zhuǎn)周期，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。答案：AD題后反思開普勒定律是通過對(duì)行星的觀測(cè)得出的規(guī)律，它同樣適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。應(yīng)注意的是k的數(shù)值不同。探究二天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及分析方法問題導(dǎo)引如圖是火星沖日年份示意圖，觀察圖中地球、火星的位置，請(qǐng)思考地球和火星誰(shuí)的公轉(zhuǎn)周期更長(zhǎng)？提示：將地球和火星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題圖可知，地球到太陽(yáng)的距離小于火星到太陽(yáng)的距離，根據(jù)開普勒第三定律可得：火星的公轉(zhuǎn)周期更長(zhǎng)一些。名師精講1．天體雖做橢圓運(yùn)動(dòng)，但它們的軌道一般接近圓。中學(xué)階段我們?cè)谔幚硖祗w運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，一般把天體的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作圓周運(yùn)動(dòng)來研究，并且把它們視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．在處理天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，開普勒第三定律表述為：天體軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值為常數(shù)，即eq\f(r3,T2)＝k，據(jù)此可知，繞同一天體運(yùn)動(dòng)的多個(gè)天體，運(yùn)動(dòng)半徑r越大的天體，其周期越長(zhǎng)。3．表達(dá)式eq\f(a3,T2)＝k中的常數(shù)k，只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)。如研究行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，常數(shù)k只與太陽(yáng)的質(zhì)量有關(guān)，如果研究衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，常數(shù)k只與地球的質(zhì)量有關(guān)。4．天體的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，與一般物體的運(yùn)動(dòng)在應(yīng)用這兩規(guī)律上沒有區(qū)別。【例2】有一行星，距太陽(yáng)的平均距離是地球到太陽(yáng)平均距離的8倍，則該行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期約是多少年？點(diǎn)撥：解答本題時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)將地球和行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)軌道視為圓軌道；(2)地球的公轉(zhuǎn)周期為1年。解析：由開普勒第三定律得行星的運(yùn)行半徑r1與其周期T1的關(guān)系為eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝k(常量)同理，地球的運(yùn)行半徑r2與其周期T2(1年)的關(guān)系為eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))＝k(常量)又由于行星和地球都繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，則兩式中的k值相同，則eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))解得T1＝16eq\r(2)T2≈年答案：年題后反思(1)計(jì)算太陽(yáng)系中除地球以外的七大行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期時(shí)