第八章平面解析幾何第3節圓的方程1.理解確定圓的幾何要素，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.考試要求知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.圓的定義和圓的方程知識梳理定義圓是平面上到定點的距離等于______的點的集合方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：__________________圓心坐標：________________半徑r＝定長D2＋E2－4F＞02.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內.圓外圓上圓內[常用結論]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)解析(2)當a＝0時,x2＋y2＝a2表示點(0，0)；當a＜0時,表示半徑為|a|的圓.√診斷自測××√2.已知圓C經過原點和點A(2，1)，并且圓心在直線l：x－2y－1＝0上，則圓C的標準方程為________________________.解析設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，3.已知圓C的圓心在x軸上，且過A(－1，1)和B(1，3)兩點，則圓C的方程是__________________.解析圓C的圓心在x軸上，設圓心為C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，(x－2)2＋y2＝10故圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.4.(選修一P102T7改編)當m∈________時，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圓，半徑最大時圓的一般方程為______________________.解析原方程可化為(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圓時應有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.當－m2＋2m＋3最大時，此時m＝1，故此時圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一圓的方程例1

(1)(2023·深圳模擬)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為________________________.

解析

到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，(x＋3)2＋(y＋1)2＝1又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.

(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為____________________.解析法一設⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(x－1)2＋(y＋1)2＝5∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二設⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三設A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，即3x－y－4＝0.所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解.感悟提升訓練1(1)已知圓E經過三點A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，則圓E的標準方程為_______________.解析法一(待定系數法)設圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

法二(幾何法)因為圓E經過點A(0，1)，B(2，0)，又圓E的圓心在x軸的正半軸上，

(2)在平面直角坐標系xOy中,已知過點M(－2,－1)的圓C和直線x－y＋1＝0相切，且圓心在直線y＝2x上，則圓C的標準方程為_______________________.解析根據題意，圓心在直線y＝2x上，則設圓心為(n，2n)，圓的半徑為r，又圓C過點M(－2，－1)且與直線x－y＋1＝0相切，(x＋1)2＋(y＋2)2＝2則圓C的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.考點二與圓有關的最值問題角度1利用幾何意義求最值

(2)求x＋y的最大值和最小值；解設t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，

求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1，2)的距離的最值，可轉化為求圓心(2，－3)到定點(－1，2)的距離與半徑的和或差.角度2利用對稱性求最值例3

已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，設點A(0，2)關于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，連接A′C交圓C于Q(圖略)，此時，|PA|＋|PQ|取得最小值，角度3建立函數關系求最值12由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，感悟提升

訓練2

(1)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則x2＋y2的最大值為________，最小值為________.解析x2＋y2表示圓(x－2)2＋y2＝3上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖).又圓心到原點的距離為2，

(2)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為________.解析P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關于x軸的對稱點C1′(2，－3)，考點三與圓有關的軌跡問題所以圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.

(2)若線段MN的端點N的坐標為(5，2)，端點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程.解設P(x，y)，由于P是MN中點，由中點坐標公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.感悟提升訓練3(1)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(

)A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0解析由題意，得圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，連接PC，CQ(圖略)，因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0.D

(2)若長為10的線段的兩個端點A，B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為________________.解析設M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，x2＋y2＝25得4x2＋4y2＝100，即點M的軌跡方程為x2＋y2＝25.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.經過坐標原點，且圓心坐標為(－1，1)的圓的一般方程是(

)A.x2＋y2－2x－2y＝0 B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0 D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析設圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，經過坐標原點(0，0)，則R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.C【A級

基礎鞏固】2.(2023·重慶模擬)若點P(1，1)在圓C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實數k的取值范圍是(

)C3.已知圓C經過A(0，0)，B(2，0)，且圓心在第一象限，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為(

)C解析∵圓心在弦的中垂線上，∴可設C(1，m)，∵△ABC為直角三角形，|AB|＝2，∵m＞0，∴m＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.4.已知半徑為1的圓經過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為(

)A.4 B.5 C.6

D.7AA解析方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，

6.(多選)若實數x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，則(

)CD解析由題意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圓心坐標為(－1，0),半徑r＝1的圓，設過點(1，0)的直線為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直線kx－y－k＝0與圓相切時k的值，當直線與圓相切時，圓心到直線kx－y－k＝0的距離d＝r，7.(多選)(2023·濰坊調研)已知△ABC的三個頂點為A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，則下列關于△ABC的外接圓M的說法正確的是(

)ABD解析設△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，所以△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.因為直線x＋y＝0不經過圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關于直線x＋y＝0對稱.因為(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故點(2，3)在圓M內.8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是___________，半徑是________.(－2，－4)5解析依據圓的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心為(－2，－4)，半徑是5；當a＝2時，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，9.(2022·全國乙卷)過四點(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為__________________________________________________________________________________.解析依題意設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若過(0，0)，(4，0)，(－1，1)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；②若過(0，0)，(4，0)，(4，2)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若過(0，0)，(－1，1)，(4，2)，④若過(－1，1)，(4，0)，(4，2)，10.已知兩點A(0，－3)，B(4，0)，若點P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為________.解析求△ABP面積的最小值，即求P到直線AB距離的最小值，即為圓心到直線AB的距離減去半徑.即3x－4y－12＝0，圓x2＋y2－2y＝0，即為x2＋(y－1)2＝1，圓心為(0，1)，半徑為1，11.已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點.(1)求m＋2n的最大值；設m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直線MQ與圓C有公共點，12.已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；解法一設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)，所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).ACD【B級

能力提升】解析因為圓C和兩個坐標軸都相切，且過點M(1，－2)，所以設圓心坐標為(a，－a)(a＞0)，故圓心在直線y＝－x上，A正確；圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把點M的坐標代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，則圓心坐標為(1，－1)或(5，－5)，所以滿足條件的圓C有且只有兩個，故B錯誤；圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，將點(2，－1)代入這兩個方程可知其在圓C上,故C正確；14.(多選)設有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),下列命題正確的是(

)A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經過點(3，0)C.經過點(2，2)的圓Ck有且只有一個D.所有圓的面積均為4π解析圓心坐標為(k，k)，