第十章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分對(duì)坐標(biāo)曲線積分對(duì)面積曲面積分對(duì)坐標(biāo)曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第1頁9/16/2023阜師院數(shù)科院第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分第十章第2頁9/16/2023阜師院數(shù)科院一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件質(zhì)量采取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁9/16/2023阜師院數(shù)科院設(shè)

是空間中一條有限長(zhǎng)光滑曲線,義在

上一個(gè)有界函數(shù),都存在,

上對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分,記作若經(jīng)過對(duì)

任意分割局部任意取點(diǎn),2.定義以下“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件質(zhì)量和對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁9/16/2023阜師院數(shù)科院假如L是xoy

面上曲線弧,假如L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思索:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).第5頁9/16/2023阜師院數(shù)科院3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁9/16/2023阜師院數(shù)科院二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分計(jì)算法基本思緒:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分依據(jù)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁9/16/2023阜師院數(shù)科院點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁9/16/2023阜師院數(shù)科院說明:所以積分限必須滿足(2)注意到所以上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁9/16/2023阜師院數(shù)科院假如曲線L方程為則有假如方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧參數(shù)方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例2.計(jì)算半徑為R,中心角為圓弧L

對(duì)于它對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例4.計(jì)算曲線積分

其中

為螺旋一段弧.解:

線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例5.計(jì)算其中

為球面被平面所截圓周.解:由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁9/16/2023阜師院數(shù)科院思索:例5中

改為計(jì)算解:

令,則圓

形心在原點(diǎn),故,怎樣機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例6.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁9/16/2023阜師院數(shù)科院例7.有二分之一圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁9/16/2023阜師院數(shù)科院內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁9/16/2023阜師院數(shù)科院3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁9/16/2023阜師院數(shù)科院思索與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提醒:原式=利用對(duì)稱性分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁9/16/2023阜師院數(shù)科院2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L方程為(1)求它關(guān)于z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它質(zhì)心.解:設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L質(zhì)量而(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁9/16/2023阜師院數(shù)科院故重心坐標(biāo)為作業(yè)P1313(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁9/16/2023阜師院數(shù)科院備用題1.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域邊界,求提醒:分段積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束