一元二次方程第二十一章一元二次方程

學習目標1.理解一元二次方程的概念.（難點）2.根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.3.理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.(重點）導入新課復習引入沒有未知數1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代數式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我們學過哪些方程？含有未知數的等式叫做方程.我們學過的方程有一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一個未知數，且未知數的次數是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？問題1

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？請根據題意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100-2x)cm,寬為(50-2x)cm,根據方盒的底面積為3600cm2,得整理，得化簡，得該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？一元二次方程的概念一講授新課問題2

要組織要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?解析：設應邀請x個隊參賽，每個隊都要與其他(x-1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共場.解：根據題意，列方程：整理得：化簡，得：該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？觀察與思考方程①、②都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程;②只含一個未知數;③未知數的最高次數是2.知識要點一元二次方程的概念

像這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數一次項系數常數項ax2+bx+c=0強調：“=”左邊最多有三項，一次項、常數項可不出現，但二次項必須有;“=”左邊按未知數

x

的降冪排列;“=”右邊必須整理為0.想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實數.典例精析例1

下列選項中，關于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.例2:a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x∣a∣+1

-2x-7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.方法總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值．

例3：將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數是3；一次項是-8x,系數是-8；常數項是-10.系數和項均包含前面的符號.注意一元二次方程的根二一元二次方程的根

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：下面哪些數是方程x2–x–6=0

的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.

例4.：已知a是方程x2+2x－2=0

的一個實數根,求2a2+4a+

2017的值.解：由題意得方法總結：已知解求代數式的值，先把已知解代入，再注意觀察，有時需運用到整體思想，求解時，將所求代數式的一部分看作一個整體，再用整體思想代入求值．當堂練習

1.

下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項-21313-540-53-23.已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：由題意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-94.若關于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個根為0，求m的值.二次項系數不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.拓廣探索

已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一個根為1,求a+b+c的值.解：由題意得思考:1.若a+b+c=0,你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?解：由題意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?x=2課堂小結一元二次方程概念是整式方程；含一個未知數；最高次數是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；確定一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項要先化為一般式.根使方程左右兩邊相等的未知數的值.第二十一章一元二次方程一元二次方程

理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.(重點）學習目標123理解一元二次方程的概念.（難點）根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.18m2

幼兒園活動教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同，你能求出這個寬度嗎？8m

問題情境1解:設所求的寬度為xm,則中間地毯的寬表示為__________,長表示為________,則方程列為_______________，整理得_________________.

(5-2x)m(8-2x)m(8-2x)(5-2x)=18新課導入4x2

-26x+22

＝05m桌上有一張矩形紙片，長25cm，寬15cm，在它的四角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為300cm2，那么紙片各角應剪去的正方形邊長為多少厘米？

變式：

15㎝

25㎝（25-2x）（15-2x）=

300,

300cm24x2

-8x+75

＝0.設剪去的正方形邊長為x

cm，則無蓋方盒的底面的長為（25-2x）cm，寬為（15-2x）cm，根據題意，可列方程為整理得7m如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻

m,根據題意，可得方程：

72＋(x＋6)2

＝102，(x

＋6)如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？10m數學化問題情境2ABC1mDE整理得x2

+12x-15

＝0.6m要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?分析:全部比賽共4×7=28場.設應邀請x個隊參賽,每個隊要與其他

個隊各賽1場,

由于甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽,所以全部比賽共

場.即(x-1)問題情境3思考探究

這四個方程都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程(方程兩邊的分母中不能含有未知數）;②只含一個未知數;③未知數的最高次數是2.4x2-26x+22

＝04x2-8x+75

＝0x2

+12x-15

＝0知識講解★一元二次方程的概念

像這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程叫做一元二次方程.（1）

只含一個未知數;（2）

未知數的最高次數是2；

（3）

整式方程.滿足的條件:★一元二次方程的一般形式想一想為什么要限制a≠0,b,c可以為零嗎？

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次項系數一次項系數常數項二次項一次項當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

ax2

=0總結：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要滿足a≠0，b

，c

可以為任意實數.為什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以為零呢？當b≠0時，為一元一次方程一元二次方程下列方程中哪些是一元二次方程？是分式－y22（8）

=0(7)4－7x2＝0(6)x2＋2x－3＝1＋x2例1提示：判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再進一步化簡整理使方程等號右邊為0，最后再觀察其是否還具備“只含有一個未知數”“未知數的最高次數是2”這兩個條件，若具備，則是一元二次方程，否則不是.(1)ax2-x=2x2；(2)(a-1)x∣

a

∣+1

-2x-7=0.解：(1)將方程轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程.

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值．

a為何值時，下列方程為一元二次方程？例2解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式為3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數是3；一次項是-8x,系數是-8；常數項是-10.注意：（1）一元二次方程的二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項等都是針對一般形式而言的；（2）系數和項均包含前面的符號.

將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數.例3★一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：

下面哪些數是方程x2–4x+3=0

的解?

-20,1,2,3,4.解：1和3.你注意到了嗎？一元二次方程的根可能不止一個.解：由題意，得方法總結：已知方程的解求代數式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，將所求代數式的一部分看作一個整體，再用整體思想代入求值．3(a2+2a)+2019=3×2+2019=2025.∴3a2+6a+2019=

已知a是方程x2+2x-2=0

的一個實數根,求3a2+6a+2019的值.例4-112★知識拓展

已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一個根為1,求a+b+c的值.解：由題意，得思考:1.若a+b+c=0,你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?解：由題意,得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?x=2或x=-1例51.判斷下列是否為一元二次方程？(1)3x2-x=2()(2)2(x-1)2=3y()(3)3x2-2x+5()()(5)(m2+5)x2+7x-1=0()

√√×××隨堂訓練2.方程（2a-4）x2

-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？解：若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程，則二次項系數不為零，∴2a-4≠0，解得a≠2，即當a≠2時，(2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程；若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程，則二次項系數為零，一次項系數不為零，∴2a-4=0且-2b≠0，解得a＝2，b≠0,即當a＝2，b≠0時，(2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程.3.將下列一元二次方程化成一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數、常數項分別是多少：(1)2x2=3x-1